Voici plusieurs conséquences importantes (fig
■t”. L értuâtion (5) donne r — ;
, • COS»-f-COS« COS COS (p
et en vertu des éq. 1 1 et ta, p. 35, comme c =ip + ç>Von a tang i ($>' — p) = tang^ (a +6). tang ~ (a — b) . cot £ c . . . (1 o) Connaissant les trois côtés a,b ,c, .d’un triangle, cette équation fait connaître la demi-différence des segmens p et p' , et par suite ces segmens mêmes, puisque •* c est leur detnisomine. Eh résolvant les triangles rectangles ACD,BCD, on obtient les angles A et B, savoir :
cos A = tang p cot b, cos B = tang p' cot a. . . (t 1)
20. L’équation (7) donne de même ( vojr . éq, 14 et t5, p- 35)
tang A —r tang B sin p' — sin p tang { (p' — p)
tang A -1- tang B sin p'+ sin p tang { (f'-h p) ’
; ‘ang ’-c (12)
V , ' , sin (A
tang s (p — <P) = -y
sin (A+B)'
Quand On connaît deux angles A, B et le côté adjacent c, cette équation donne p et p' (fig. 53); les équations (11) déterminent ensuite a et A. >
3°. L’équation (6) donne , en opérapt de la même manière,
tang [ (6'— 8) = tang i (A+B) . tang i (A— B) . tang £ C... (i3)
Lorsque les trois angles A,B,C, sont donnés, cette équation
fait connaître 0 et ; on a ensuite les côtés a et b\ en résolvant les triangles Ad>,BCD : • ■"
cos b — cd*0 cot A , cos a — cot t' cot B ; (i^)
4°. Enfin j l’éqùation (8) donne de même, ‘
tang 1(6'— 0) = “in (a~T~lyCOt^C (,5) ’
Connaissant deux côtés a , b , et l’angle compris C , on obtiendra 0 et t’ , puis A et B par les équations (i 4)-
85. Les équations que nous venons d’établir servent à démontrer les thébrèmés connus sous le nom A* analogies de Néper. Égalons les valeurs (i.o) et (12) de tang t (<p' — ; nous aurons, à cause de sin 2« = 2 sin a. cos «,
*ang »(a^^)'tan8»(a-^)—
sina— sinA , sinA— sinB
.sina+sinô * tang j {a—b\
sinA-f-sinB ’ tang^A—B)
Or, l’équation (9) donne
dou (i5, p. 35) tang ^(p+b) tang j(A-fB)'
Multipliant l’équation (16) membre à membre par cette dernière, tous les facteurs qui aie sont pas détruits sont au carré; prenant la racine, il vient • ' •. '
,, ». sin-5 (A — B)
tang J (a b) — -j— rrrnTRÏ r tangue, .
et tang i (a-f- b) =
sin t (A -f- B) cos | (A — B)
•tangue (*),
cos^ (A + B)
en divisant l’équation (16) par la précédente.
Égalons les valeurs (i3 et i5) de tang \ ($' — 0), et opérons
(*) Comme tang - c . cos - (A — B) est une quautité positive, il faut que
tang i {a H- è ) cl eos - { A -+■ B ) aient mime signe , d’oà l'on conclut que
7n demi-somme de deux angles quelconques est toujours de la même espèce que la demi-somme des deux côtes opposés , et réciproquement.
8o gIomohphie.
de la même manière sur l’équation résultante, ce qui revient à changer A et B ci-devant eu à et b , et réciproquement, puis c en C ; nous avons ^
tang;(A — B) tang£(A-+-B)
sin J (a — b) sinf(a + £) cos \ (a — b) cos±(a-fr- b)
. cot JC, . cot JC,
Telles sont les analogies de Néper t on s’en sert principale» ment pour trouver deux côtés a et b d’uti triangle , lorsqu’on connaît le 3* côté c et les deuj angles adjacens A et B (éq. 17), ou bien, pour trouver deux angles A et B, connaissant les deux côtés opposés a, b, et l’angle compris C (éq. 18).
Triangles isosçèles.
86. Soient C et B les deux angles égaux d’ùn triangle isoscèle ( fig. 54), b et c les deux côtés égaux , A l’angle du sommet, a la base; l’arc perpendiculaire qui va du sommet au milieu de la base, forme deüx triangles rectangles symétriques, dans lesquels on trouve les relations suivantes , formées des combinaisons 3 à 3 des quatre élémens A, B, a, b ; ces équations font connaître Bun quelconque de ces arcs , quand on
" a les deux -autres.. Ainsi , de ces quatre parties d’un triangle Sphérique isoscèle, V angle A du spmmet, la base a, fwn b des côtés égaux, et Tun B des angles égaux, deux étant données, ou peut trouver les deux autres.
sin J a— sin -J A sin b, . . . .(n) cos b = cot B cot J A , .... (q) tangja — tang b cos B ,i.,.(p) cos J A =cos \a sin B, . . . .(,i)
Des problèmes qui ont deux solutions .
87. Tout triangle sphérique résulte de la section d’une sphère par trois plans qui passent au centre. La figure 55 a pour base le cercle KM K', et représente un hémisphère produit par l’an de ces plans : les deux autres plans donnent les demi-
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQCE. 8l
circonférences ACet , BCB* qu’on voit ici en perspective ; leurs plans se coupent selon le rayon CO, et déterminent le triangle sphérique ABC. Les arcs CA, C#, sont supplémentaires ; l’angle A est l’inclinaison du plan AC# sur la base KK'. En menant le plan MCm , par le rayon CO , perpendiculairement à cette base KK', puis prenant MA' ==MA , de part et d’autre de ce plan MCm , on obtient un deuxième plan A'C#' symétrique à ACa, et l’on a •.
mu — ma! , AC = A'C, C«=C#', A A'=t *cc
Si l’on fait tourner le plan AC# autour du rayon CO , pour prendre toutes les positions CK , CB , Ç/| ... ce plan sera perpendiculaire à la base quand il coïncidera avec MCm ; puis , dans l’une quelconque de ses positions , il formera avec la base deux angles supplémentaires , l’un en-dessous , l’autre en-dessus de ce plan. Les arcs CB, CA , Qf, . . . croissent en s’écartant de l’arc perpendiculaire CM = 4 , qui est le plus petit de tous, jusqu’à l’arc perpendiculaire opposé Cm, qui est le plus grand. En effet , le triangle rectangle ACM , où CA = b , donne cos ACM = cot b tang 4 , et le facteur- tang 4 est constant.
Quand l’angle ACM est devenu de 90° , comme pour l’arc CK' , dont le plan est perpendiculaire à MCm, on a cot5 = o , et l'arc CK = go°. Le plan continuant ensuite de tourner vers Ca', cos ACM devient négatif et croît ainsi que cotù ; en sorte que l’arc Cot continue d’augmenter. Tout est d’ailleurs symétrique des deux côtés du plan MCm ; ainsi les arcs et les inclinaisons seront deux à deux égales, pour des arcs égaux MA = MA', savoir CA = CA', angle A = A'.
En tournant ainsi, le plan coupant s’incline d’abord de plus en plus sur la base KMK', en devenant CB, CA, CK, car le triangle rectangle ACM donne encore
sin4==sin b sin A, ... .(16)
équation dont le premier membre est constant , et où sin b va d’abord en augmentant , comme on vient de le dire : ainsi sin A décroît en même temps. Mais dès que le côté b atteint
©2 CtOMORPHlE.
go* (allât» CB devient CKsn90“=aMH}, sin b diminué ; donc sin A augmétite, et l’angle A artgutà la bas*, a pria sa moindre valent ail point K , et commence à croître. Ce point K est le pôle de la demi-ci ^conférence MCm ; l’angle K est mesuré pat Tare CM « 4 *** K on de fautre côté du plan coupant , par
Cmî=i8o0^4- •
On Voit doué qoe ton» les arcs partant de G(fig. 55) pour aboutir en quelque point delà base demi-circulaire KMK' rsont <90° ; tandis que les autres qui vont en KmK' sont >90°, et que CK = CK' =90°. Déplus, CM = 4'» et Cm= 180° — 4* (valeurs de -4 que donne l’e'quation 16) sont les limites entre lesquelles ces arcs CA sont renfermes. Plus un arc approché de CM , et plus il est petit; plus il approche de Cm, plus, dit contraire , il est grand.
L’inclinaison des plans sur la base , de go6 qu’elle est éti MCm, diminue en prenant les positions CB, CA,. . . jusqu’en CK où elle devient K = 4> puis elle croît dé K versm, jusqu’à redevenir de 90* en Cm. L'angle est aigu du côté de CM, mais il est obtus du côté de Cm , ces derniers angles étant supplémens respectifs des premiers : tous ces angles obtus sont < 1800 — 4-
Enfin, tout est symétrique de part et d’autre dé MCm , en sorte que pour deux arcs égaux MA et MA', les inclinaison» de CA, CA' sont égales , et ces arcs sont égaux.
D’après cela , il est aisé de reconnaître si, pour un triailglé quelconque BCA , ou B'CA , l’arc AM perpendiculaire sur la base AB , tombe au dedarls ou du dehors de ce triangle , et l’on vérifie les corollaires donnés n° 7* , relatifs aux grandeurs des côtés et des angles des triangles rectangles.
Les problèmes qui ont des solutions doubles, et qu’on a coutume d’appeler cas douteux, sont ceux où, parmi les données , il y a un côté et l’angle qui lui est opposé , ce qui arrivé dans deux problème» 3° et 4“, p. 77 •
88. t,r Cas* On donne deux eôtét a et b, et V angle opposé B.
Gdüpez l'hémisphère KMK' (fig. 55) par un plan AC« , pas-
TRIGONOMÉTRIE SMArIQUE. 83
saut par le centre O , et qui soit incliné de l’angle A sur la base ; pais prenez AC = b ; C sera le sommet du triangle , lequel doit être fermé par un arc CB = a, dé grandeur connue. Analysons cés conditions.
Supposons d’abord que Vangtè'k soit aigu , CA= A est l’urt des côtés du triangle que ferme le côté a qui doit tomber dans la région «A'MA , puisque si lé côté a tombait comme Cf, C»',... le triangle CA/, CA*'..., au lieu dé l’angle aigu A , aurait celui qui,. de l’autre côté du plan CA , en est le supplément. Ce côté terminal a , partant du sommet C , doit donc se rendre en quèlque point de l’arc AM A'*. Les arcs , tels que CB, CB' sont deux à deux égaux ét autant inclinés sur Ta base, lorsqu’ils Vont en des points B, B*, à égale distance de M. Prenons MA' = MA , MB' = MB , les arcs Seront CA'=CA=A,CB'=CB.
Or, si le côté a est < b, a tombé dans l’angle A'CA , comme CB , CB', et l'on a deux triangles BCA , B'CA , composés des trois élémens donnés A , b ét a , c’est-à-dire deux solulions du problème. Alors l'un des angles B à la base est obtus, l’autre B' est aigu. Au contraire , si a >• b , l’arc a tombe comme Cf, et le triangle AC f est le seul qui réunisse les trois élémens donne's , attenduque l’arc Cf, symétrique à Cf, se trouve exclus, comme étant situé au-dessus du plan CA. Il n’y à donc qu’une solution , et l’angle B du triangle AC f est aigu en f, ainsi que b. Enfin, quand le côtéa>G* = i8o°— ‘ô, l'arc a tombe comme CB", en-dessus du plan AC«, qt il n’y a aucune solution possible.
Dans tout ceci , l'arc b go°, puisqu’on a pris CA ±= b s mais si l’on avait b = Ca > go°, et que le côté a tombât comme CB ou CB', on aurait encore deux solutions BCa,B'C* , ayant à la base, l’un l’angle B aigu, l’autre l’angle B' obtus : tandis qu’on n’en aurait qu’une seule otC f, si ce côté a tombait en Cf dans l’espace A'C«, avec un angle f obtus aussi bien que b : enfin, il n’y aurait aucune solution, si ce côté a tombait en CB* au-dessus du plan AC*.
Ainsi, quand l’angle A est aigu, b étant ou go , il n’y
84 GÉOMOBPHIE.
a qu’une solution , lorsque le côté b tombe dans l'espace «CA',
c’est-à-dire quand la valeur de l’arc a est entre b et t8o°— b-. jpt alors l’angle à la base est aigu ou obtus avec b : hors de ces limites, il y a deux solutions, ou il n’y en a aucune; deux, quand a tombe sur l’arc AMA', circonstance où a < go°; aucune, quand a tombe sur l’arc *mu , où a> go°.
Venons-en maintenant au cas où Yangle A est obtus., cas où le côté a qui ferme le triangle, en partant de C, doit être audessus du plan «CA, tels que C f , CB". . . Le même raisonnement montre que si a = C« > go°, et si le côté terminal a (tombe dansl’espace «C«', il y a deux solutions , telles que «CB", , ayant à leur base , l’une un angle B* aigu , l’autre un ahgle B" obtus : qu’i/ rijr en ail qu'une seule KC«, quand ce côté a tombe, comme ci-devant, dans l’angle «'CA, l’angle K à la base étant aigu ou obtus en même temps que b ; et enGn qu’il ri j en a pas de possible, lorsque a tombe sur l’arc A'MA.
On opérera de même pour le cas de a = CA < 90°.
Que l’angle' A soit aigu ou obtus , on voit donc que la solution est unique, quand le côté terminal a, opposé à l’angle donné A, a sa valeur entre b et 180° — b. : hors de ces limites , la question admet deux solutions ou aucune ; deux , quand A et a sont de même espèce (ensemble ou < 90°), et aucune, lorsque ces arcs sont d’espèces différentes. Et s’il n’y a qu’une solution,, B et b sont de même espèce. Or, on sait (110 81) que la perpendiculaire abaissée du sommet C sur la base d , tombe au dedans ou au dehors du triangle ( ce que d’ailleurs ou reconnaît bien sur la figure 55), selon que les angles A et B à la base , sont d’espèces semblables ou différentes ; donc dans les équations c ç', C = 8 rt 6', on prendra le signe -f- quand
les arcs A et b seront de même espèce, et — dans le cas contraire, condition qui détermine la solution. L’analyse du troisième cas du n° 83 est ainsi complétée, puisqu’on sait quelle est celle des deux solutions qu’ou doit admettre.
Donc lorsqu’on aura un triangle à résoudre, connaissant deux côtés a, b et un angle opposé B , on comparera a à b et à 1 8o° — b j si a est l’une de ces limites ou compris entre elles
TRIGONOMÉTRIE SPÎ1ÈRIQCE. '85
il n’y a qu'une seule solution ; B et b sont de même espèce; G et t • seront la somme ou la différence de leurs segmens , selon que les arcs A et b seront dé espèces semblables ou différentes . Hors de ces limites, on a deux solutions, quand A et a. sont de même espèce, et aucun triangle n’est possible dans le cas contraire.
Observez que la moindre et la plus grande valeur que le côté terminal a puisse recevoir sont GM et Cm, l’une 4> l’autre.i8o° — 4ï s* a n’était pas compris entre ces limites, c’està-dire entre les deux valeurs supplémentaires de 4 que donne l’équation (16), p. 81, le problème proposé serait absurde, parce qu’on ne pourrait former aucun triangle avec les trois élémens donnés A , b et a. Au reste , ce cas n’exige pas de calcul spécial pour être reconnu , attendu qu’il se manifeste de lui-même par une.opération impraticable.
89. 2e cas. On donne deux angles A et B, avec un côté opposé b.
En raisonnant comme ci-dessus, 011 arriverait à une conséquence qu’on obtient plus facilement par la considération du triangle supplémentaire A'B'C' (fig. 48, n° 65). On y connaît les côtés a’ = 1800 — A, ô'=i8o°~ B, et l’angle B'=i8o° — b ; et il suit de ce qu’on vient de dire que ces élémens appartiennent à deux triangles dont un seul convient à la question , quand b’, côté opposé à l’angle B', est compris entre a' et i8o°-a'j ou , ce qui équivaut, quand B est entre A et 1800 — A (en retranchant chaque arc de 180°). Alors A et a doivent être de même espèce ; C et c seront la somme ou la différence de leurs segmens, selon que les arcs A et b serout d’espèces semblables ou différentes.
Ainsi lorsqu’on voudra résoudre un triangle oit A , B et b seront donnés , on comparera B à A et 1 8o° — A ; si B est F un de ces arcs ou intermédiaire entre eux , il n'y aura qu’une seule solution; A et a seront de même espèce; dans les équations C = i ±: 0', c = ±: y on prendra le signe 4- quand
les arcs A et b seront de même espèce , et — dans l’autre cas .
GÉOMOKJ’UIE.
ce qui apprendra quelle est celle qu'on doit -adopter ou rejeter des deux solutions que donne le calcul n° 83 , 4°- Hors de ces limites , il y a deux solutions, quand B et b sont de même espèce, et aucune lorsque ces arcs sont tf espèce différente.
En outre,. l’angle JB doit être compris entre les deux valeurs supplémentaires de 4 données par l’équation ( r6) ; car sans «eb, 911 ne pourrait former aucun triangle avec les données,
' 'i^^^blèuu; «WÙ absurde-
' go. Quand le triangle est rectangle, CM ou Cm (fig. 55) est l’un des' côtés , et si l’on donne un angle et un côté opposé, il y a deux ablutions qui *e réduisent à une seule dans certains cas.
t°. Étant donné l’hypoténuse a et un côté b, trouver l’angle opposé B? L’équation (/»), p. 6g , fait connaître B par un sinuk, qui répond à deux arcs supplémentaires. De même , étant donnés l’hypoténuse «et l’angle B, trouver le côté opposé bl La même équation donue deux arcs supplémentaires pour le côté opposé b. Mais dans ces deux cas, on n’admet qu’une seule solution , parce que les deux arcs CA ou CA’ qui ferment le triangle CMA, CMA', sont symétriques : ainsi B et l> sont de^nême espèce , et il n’y a plus d’indécjsion.
2°. Étant donnés un côté b de l’angle droit et l’angle opposé B , la troisième partie cherchée admet deux valeurs : car si l’on demande l’hypoténuse a , l’équation (n) donne sin a ; si l’on cherche le troisième côtéc, l’équation (r) donne sine; enfin , pour trouver l'angle Ç adjacent au côte" connu b, l’équation (s) donne sin C. Ainsi l’inconnue reçoit deux valeurs supplémentaires pour l’arc correspondant à chacun de ces sinus.
gi. Voici quelques applications numériques.
I. Soient a = i33° ig b = 5y“28', A =45*23'. Le .triangle est impossible , parce que a n’est pas entre 5 y0 28' et son supplément 129° 32', et qu’eu outre A et « ne sont pas de même espèce.
II, 11 en faut dire autant si l’ou a A = 120°, B=5i“, b — iot° ; car on trouve que B n’est pas entre 120° et6o°, et que B et.ô ne sont pas de mémo espèce.
Les exemples suivans sont établis sur un triangle spl rique dont voici les côtés et les angles.
a=’]6°35'36; log.sin=i. 988000751 2>log.cos=i .3652278723;
b = So.io.3o, 1.88536 35668,
c= 4o. o.io, 1.80809 a588o,
( Voy . Connaissance des Terris de 1819, p. 322 .)
III. Soient b == 4o°o' 10", a = 5o° io'3o", A = 42° 1 ^ *4“; il n’y a qu’une solution , attendu que a est entre b et 180° — b ; B est < 90°, et l’arc perpendiculaire abaissé du sommet tombant dans le triangle , ç et sont positifs ; c est la somme de ces çrcs. jbe c^Jcul des équations (1 , 5 et 3), page 77, donne
tang b. . . .T.QÎÎ8563 cos a.... T. 8064817 p = 3i“6o'46" cos A. . . .?.86g333o coup ., .. 1.9391471 j? = 44-44tang o. , . ,T.7g3i8g3 cos b. . — T.884a363 e 76.35.36
cosp'... T. 85i39î6
Pour trouver l’angle C dû sommet, les équations (3, 8 et 4) donnent
ços i.... T. 8843363 tangè.... T. 9238563 S= 55» g' 59'
tangA...T.g583o58 cot a . . . .T.gan 182 6' — 66.2621
cot8 . . • .T.84a54?i cosfl ... .T. 7667861 C = 121.36.20
cos S*. .. .T. 60 17696
Enlin , la règle des quatre sinus ( p.- 68) donne B =346i5'3".
IV. Pour B = 42°i5'i4", A= i2i°36'2o", b =5o°to'3o", on a deux solutions , parce que B n’est pas compris entre A et son supplément , et que B et b sont de même espèce. Les e'qua-
Digilized by Googl
88 GÉOMOBPHlE.
lions (2, 6 et 9) conduisent aux calculs suivans.
cos b. . . .T. 8064817 cosB. .. T. 8693340 sin b ... .T. 8653636
tangA ... o ■ a i 08864 — sin 8 . ■ 1.8406562 — «inA .. ..T. 930274s
cof 8.... o. 0173681— cosA. . .— T.7193880— sinB.— T. 8276379
8 =s — 43*5>'i6* sin 8'.... T. 99057 12-t-si 00 1.9880002
8' = 70. 6.19 ou ioi°53'4i' a= 76035' 36"
C= 34 - 1 5 . 3 bu C = 58.2.25 on = io3.24.a4
lang b 0.0788818 notB. . .0.0416956
coi A. .*. . .T. 7193874— tang.^. .0. 2108873 —
„ lang » 1.7982692 — lin <4 ,.. | . 7259905 —
• s= — 3a*8'5o" lin g'. .. 1.9785734 ~h
