cos A cos B coi C (tangB tangCcosa

80. 5e cas. De deux cçlés et les angles opposés , connaissant trois élémens , trouver te quatrième? fV": "

•]6 GÉOMORPHIE.

Il faut recourir à la règle des quatre sinus (e'q. 5), p. 68.

Si. Excepté lorsqu’on connaît les trois côtés ou les trois angles d’un triangle, tout problème de trigonométrie sphérique comprend au rang des données un angle et un côté adjacent , outre un troisième élément : dans ce qui suit , nous désignerons toujours cet angle par A, et cè côté par b. Abaissons de l’un des angles C (fig. 53) un arc CD perpendiculaire sur le côté c : ce côté c sera coupé en deux segmens <p et ç', et l’angle C en deux angles 6 et 6', savoir :

Bien entendu que Vune de ces parties sera négative dans chaque équation , si l'arc perpendiculaire tombe hors du triangle, cas qui se présente lorsque V un des angles A et B de la base est-aigu et l’autre obtus : cet arc tombe, au contraire , aù dedans du triangle quand ces deux angles sont de même espèce. En effet, des deux triangles rectaugles ACD., BCD, tirons les

valeurs de l’arc perpendiculaire CD, par l’équation (r) , p. «9»

* ‘ • • tangCD = tang A sin <p = tangB sinp'.

Si les angles A et B sont de même espèce , leurs tangentes ont même signe; sin ç et sin <p‘ sont donc dans le même tas : mais quand. A et B sont d’espèces différentes, leurs tangentes, et par suite sin$ et sin doivent avoir des signes contraires ; alors l’arc perpendiculaire CD tombe hors du triangle, et l'un des segmens çi et p' a seul le signe — .

82. Dans la figure 53, on voit que le triangle ABC est décomposé en deux, ACD, BCD, qu’on. peut traiter séparément, et dont la résolution fait connaître les élémens non donnés, à l’aide de ceux qui le sont. Ce procédé conduit à des équations simples ,- auxquelles le calcul des logarithmes s’applique facilement. C’est ce que nous allons montrer.

On résout d’abord les triangles ACD , BCD , pour en tirer l’qne des parties tp ou 8, du côté c ou de l’angle C , en supposant connus l’ànglc A et le côté adjacent b. Les équations

{p et q) p. 69, conduisent aux équations (1 et 2). Puis tirant de chacun de ces triangles les valeurs de Tare perpendiculaire CD, et égalant ces valeurs, on obtient les équations (5, 6, 7 et 8) , lesquelles viennent respectivement des équations {m , •>r et p), . v

Tang p

= tang b cos A , .

cot 6 ;= cos b tang A , .

cos a

cos p'

cos A sin ô

(ft\

cos b

co s p * *

• Wf

cos B sin f” "

tang A

sin p'

tang a cos 8

tang B

sin p ’ '

tang b cos â'-’ " ’

' sin A sin B

sinC

sin a sin b sin c

83. Voici les divers cas qui peuvent se présenter, et ,1a manière de les traiter par ces équations, en ayant soin d’ailleurs d’avoir égard aux signes des cos. et des tang. , signes qui sont positifs ou négatifs, selon que ces lignes appartiennent à des arcs ■< on > 90°. <■

Outre les données A et b , on a encore nn 3* élément. .

i°. Si l'on connaît c ( deux côtés b et c, et V angle compris A) , l’équation (1) donne p, (3) donne (p'), et ces arcs peuvent recevoir le signe — ; (5) donne a y (3), B; enfin (9), C, dont l’espèce est d’ailleurs connue (u° 81).

20. Si l’on a C {deux angles A et C, et le 'côté adjacent b) , l’équation (2) donne â; (4), 6', qui peut être négatif; (6), B; (8) , a ; (9) , c , qui est d’espèce connue.

3°. Quand on connaît <1 {deux "côtés a et b, et V angle opposé A) l’équation (il donne p ; (5), p'; (3), c ; (7 et 9), B etC.

Ou bien , (2) donne i ; (8) , S' j (4)> c ; (6 et 9), B et c.

Dans ce cas, le problème a en général deux solutions ; car p' ou <' étant calculé par un cosinus , l’arc a le double signe rh ; c et C ont donc deux valeurs , à moins qu’on ne soit conduit à en rejeter une comme négative, ou > 1800. Les équations (6 et 7) donnent p' et (f par leurs sinus et il en résulte deux valeurs de B ; de même pour G et c.

78 GÉOMORPIIIÉ. ", '

4°. Quand on connaît B ( deuic angles. A et 15, ef. le côté opposé 5) l’équatiôn (2) donne 9 ; (6) , 6' ; (4) , C ; (8 et 9) , a et c. Ou bien -fi) don ne p ; (7), p' ; (3), c;f(5 et g), a’et C.

Il existe- encore ici deux solutions; car p' ou 6' étant donné par un sinus, Tare a deux valeurs supplémentaires; ainsi c dans l’équation (3), et a dans l’équation (8), reçoivent deux valeurs : de même pour n et c daus (5 et /[), etc.

Observez que dans chacun des quatre cas que nous venons d’analyser, on ne se sert que des équa thons marquées de numéros soit pairs, soit impairs; et lorsqu’on a le choix des deux systèmes , on préfère celui qui conduit à des calculs pjus simples bu plus précis. ‘