STATIONS , SIGNAUX. | I

Au reste, comme on ne peut pas toujours remplir cette condition , on fera bien de peindre en blanc les signaux qui se projettent sur la terre ou les forêts , et en noir ceux qui se peignent sur le ciel .

u 6. On est souvent obligé de construire exprès des observatoires pour y abriter l'ingénieur , lorsque aucun édifice ne peut servir en même temps de signal et de logement On donne à ces constructions la forme d’une pyramide quadrangulaire tronquéeprès du sommet(fig.64) : le prolongement supérieurs de l’axe sert de signal , et l’observateur place son instrument au point C de projection de cet axe sur le sol. Les arêtes sont en bois de charpente, solidementplantées enterre, etliéespar des traverses qu’on assemble à tenons et mortaises avec un poinçon central. On recouvre les quatre faces d’une toiture en planches, qu’on faitdescendre jusqu’à a mètres de terre, afin de laisser voir les lieux circonvoisins. Des toiles tendues du côté du veut complètent l’abri. Quaud l’opération est terminée , on détruit ce signal ; mais on implante une borne carrée en C, sur laquelleon sculptedeux diagonales, dont la croisée est dansl’axc du signal.

Les vérifications qu’on peut être dans la nécessité de faire par la suite , exigent qu’on puisse retrouver exactement les points C de station, et les extrémités des bases. Des bornes ainsi fixées solidement en terre sont des témoins peu dispendieux et faciles à découvrir.

Lorsqu’on jugera nécessaire de construire un signal , on devra l’élever assez haut pour qu’on puisse le distinguer des stations environnantes. Or, l’expérience apprend qu’il faut que ce signal apparaisse de ces lieux sous un angle d’au moins 3i": et comme tang 3i" = o,oooi5 , la hauteur AB (fig. 56) du signal étant AB=AC tang C = AC X o,oooi5, on voit qu’il faut que cette hauteur soit d’au moins quinze fois la cent millième partie de la distance d’où l’on doit l’observer. Si cette distance est, par exemple , de 5 lieues , 20000 mètres , qui est une portée assez ordinaire , il faut que le

Itfi GÉOMORPH1E.

signal soit élevé de plus de 3 mètres. Dans la triangulation française , on a donné aux signaux le sept-millième de la distance d’où l’on devait les voir. La base du signal est environ la moitié de sa hauteur.

117. Il arrive souvent que le signal A qu’on a visé des stations B et C (fig. 65), n’est pas de nature à permettre qu’on s’y place. Il faut alors établir l’instrument en un lieu voisin O , d’où l’on mesure l’angle BOC = O : mais il faut ensuite corriger cet angle O , pour le ramener à la valeur BAC==A, qu’on aurait trouvée si l’on avait stationné en A. C’est ce qu’on appelle réduire à Taxe du signal. Appelons a, b, c, les trois côtés (qu’on suppose connus ou A fort peu près ) du triangle ABC.

‘ Supposons d’abord qu’il s’agisse du triangle B' AC, en sorte que le point 0 soit situé dans la direction du côté B'A. Menons OE parallèle à AC , et faisons AO=m , et l’angle ACO=â=COE. Nous connaissons l’angle B'OC = «, et il s’agit de trouver l’angle A =* + 6. Or, le triangle CAO donne

sin C sin*

m AC ’

d’où sinC = sin 6

m sin a

Comme m est toujours très petit par rapport à b , sinô est très petit , et peut être remplace par 6 , ou plutôt par 9 sin i", pour que S désigne le nombre de secondes de cet arc(p. 37). Ainsi,

rasm a A = * j—, — ;.

ostnt

Maintenant, si le triangle est ABC, et que la station 0 ne soit située dans la direction d’aucun côté de ce triangle , on a

m sin*

encore

donc

B'AC = <t + 0 = • B' AB = •' + 8' = «'

A=0+s"î?rî(

b sim"’ m sin «' c sin 1*

m /c sin « -f- b sin m'

oc

stations, signaux.

Pour appliquer cette formule , il faut observer que si la station O est situe'e de manière que l’un des angles 0 ou fl', soit dispose' de l’autre côté de la ligne AC , ou AB, cet angle devient soustractif. Ainsi les deux termes c sin a. , b sin a' ne sont ensemble positifs qu’autant que la station 0 est comprise dans l’angle pAq que forment les côtés prolongés du triangle ; ils sont tous deux négatifs, quand O est situé daus l’angle BAC : enfin leurs signes sont contraires, quand O est situé dans l’angle CAq ou B A p, comme figure 63.

1 18. C’est même ce dernier cas qu’on préfère , quand on le peut , afin d’affaiblir la correction de l’angle observé 0, et de se placer en un lieu d’où l’on puisse plus facilement apercevoir à la fois les trois points A , B et C. Et même il peut arriver que les deux termes s’entre-détruisent , et que la correction soit nulle. Cela a lieu quand on a c sin « = b sin d’où

sin B siu(A-f-C)

sm«

: - ; or , on a - :

sin « c ' c sin C sinC ’

avec 0.=; A = <*—•'; donc on trouve * = A + » ,

sin (A -f- C) sin <* sin (A H- *) sinC sina'- ' ” sin«’

développant et faisant les réductions ,

sin A cos C -f- sin C cos A sin A cos « + sin a cos A ,

sinC

sin<

d’où

, cotC = cota’.

Ainsi (fig. 63 ) l’angle observé 0 n’exige aucune correctionpour devenir A , toutes les fois que C = a ou = 180° -f- Alors le quadrilatère ABCO est inscriptible au cercle , puisque les angles BCA et BOA ont même mesure dans le cercle circonscrit au triangle ABC. On peut choisir la station 0 , de manière à remplir cette condition.

1 19. Mais dans tout autre cas, et c’est ce qui arrive le plus souvent , l’angle 0 doit subir une correction que détermine l’équation (1) Voyons à préparer cette expression pour le taïaut.

n8 cf.omorpiiie.

des logarithmes. Le triangle ABC donne .

b sin (A C) c sin C ’

d’ailleurs O = et -f- a! ( fig. 65) est sensiblement = A, surtout dans la petite fraction de correction : ainsi À — »' j eu substituant, l'équation (i) devient

b sin

jjiin (A — «0 4

sin (A 4- C) sin»

sinC

Réduisant au même dénominateur, développant, etc.,

m sin A sin (C -f- «')

ùsinC sin i"

Ce dernier terme exprime , en secondes , la correction que doit recevoir l’angle observé O = BOC , pour devenir A = BAC. Dans tout ceci , « et a! sont les distances angulaires des points B

et C au signal A, au centre duquel on devrait stationner.

120, Quand le signal A (fig. 70) est l’axe d’une tour cylihdrique où l’on ne peut stationner, le centre A n’est pas visible du point voisin 0 où l’on se place. Alors les distances angulaires a et a.' des lieux B et C (fig. 65) au point A ne peuvent être mesurées. Voici ce qu’on doit faire dans ce cas. On mène deux tangentes OU, 07, à la tour (fig. 70) et la ligne OA qui coupe l’angle 7'07 par moitiés, détermine le point k sur la direction OA. Ainsi l’on mesure les angles BO/', B07, dont la moyenne ou demi-somme est l’angle BOA- = ». Voilà donc la direction OA connue. . , t.

Quant à la distance OA es m , si l’on ne peut obtenir directement le rayon A k — r, on mesurera 0A.=s i = m — r, et l’une des tangentes 07= t = 0/ ' : on aura

07* = OA* — A?, ou t% = m* — r* = (m -j- O1"*

Cette éq. donne m -j- r = - ; et comme m — r—ï, en ajou-

tant ces eq., on a 2 m as t -j- -r.

U AS lis.

Ou peut donc appliquer la théorie précédente. Observez que « et m n’entrant que dans des termes forts petits , il n’est pas nécessaire d’en avoir les valeurs bien exactement. Les éq. contiennent b et c, que les angles B et G ont fait connaître : d’ailleurs on est en droit de supposer A = O partout où l’on n’exige pas une grande précision , et la théorie qui nous occupe est dans ce cas.

De la mesure des bases.

121. De toutes les opérations géodésiques, celle qui parait la plus facile , et qui cependant présente le plus de difficultés , est la mesure d’une longueur, lorsqu’on veut l’obtenir avec une grande précision, à cause des soins infinis qu’il faut prendre. Il ne suffit plus alors , comme en Topographie (*), d’évaluer la distance soit au pas, soiten portant une chaîne métrique ; car nous savons que les plus légères erreurs s’agrandissent sur les c A tés du réseau qu’on obtient par le calcul (n° 112). Après avoir exploré les localités , on choisit un terrain uni et découvert, à peu près horizontal et rectiligne , de la longueur d’environ 10000 mètres. On y trace une ligne droite avec des piquets ou jalons verticaux et bien dressés. Ces jalons sont ferrés au bout qui entre en terre; l’autre bout est peint en blanc, pour qu’on l’aperçoive de loin. Comme l’ingénieur est pourvu , pour son opération , d’un cercle répétiteur ou d’un théodolite , il s’en sert à la manière d’une lunette des passages : la colonne

(*) Poor mesurer l’erreur dont la chaîne d’arpenteur est susceptible, M. Moynet a fait diverses expériences à 1*1 le d’Elbe, et il n’a trouve que 56 centimètres d’erreur sur une base de 5 1 65", 8a ( du fanal h Castellq).

Les lèves au pas, qu’oit fait surtout en présence de l’ennemi, se font en comptant 3 pieds par pas , ou 1 toise pour chaque double pas. Au reste, chaque personne peut , par des épreuves, s’assurer de la longueur de scs

pas , car le plas souvent le double pas n’a que 5 pieds , ou 1 toise moins g«.

Le temps que le bruit du canon met à sc faire entendre est d’une seconde par 180 toises, par un temps calme; mais ces évaluations sont très défectueuses.

130 CK0M0KPIIIE.

ainsi que le limbe de l’instrument, étant disposés verticalement, le tube de la lunette peut basculer, de manière que son axe optique décrive un plan vertical. Les bis du réticule sont susceptibles de mouveinens qui leur ôtent toute parallaxe, ainsi qu’il a été expliqué page 100. Les ingénieurs sont très exercés à régler cet instrument. On l s’en sert pour aligner tous les jalons de 200m en 200"’, dans une ligne exactement droite.

On porte ensuite le long de cette ligne des règles dont la longueur est exactement connue. On a deux de ces règles égales entre elles, ou doul la différence est fort petite , et l’on prend pour longueur de chacune leur moyenne. On dispose ces règles bout à bout et successivement selon la direction jalonnée, transportant en avant celle qui se trouvait en arrière, alignant avec un grand soin , sur les jalons , et mettant les bouts en contact immédiat.

122. Les règles de bois sont préférables, parce que la dilatation paraît agir dans le sens transversal, et que la chaleur ne les allonge pas. On les garantit des effets de l’humidité en les trempant dans l’huile de lin bouillante , et les enduisant d’un vernis. On les construit en assemblage, comme le montre la bgure 68, abu qu’elles ne se déjettent pas. La longueur en est connue avec précision , par un étalonnage dont nous traiterons plus loin. Aux deux bouts sont des lames de fer, pour que le frottement ne les use pas; et l’on taille ces bouts en biseau , à tranchant mousse, afin de rendre le contact facile à opérer. Quelquefois on préfère conserver à ce bout la forme parallélépipède , et l’on implante un dow de métal à tête convexe : c’est sur cette espèce de segment sphérique qu’on établit le contact. La longueur de la règle est alors la distance entre les deux points les plus éloignés des convexités de ces surfaces. ( Voy . les profils fig. 68.)

123. On a deux trépieds très solides, sur lesquels on pose un madrier un peu plus court que la règle ; on place ensuite la règle sur ce support. La plate-forme du trépied est percée d’un trou prismatique dans lequel entre une tige de bois moulée

BASES

sur ce trou , et l’on peut arrêter la tige par une vis de pression à différentes hauteurs. Le madrier étant porté sur une tablette fixée à cette tige , on conçoit qu’on peut le disposer horizontalement. Ainsi la règle sera amenée à être alignée, horizontale, et affleurant le bout de la règle déjà établie précédemment. On fixe la règle sur le madrier, dans sa position définitive , avec des courroies.

Lorsque le sol fait des plis , comme on ne pourrait faire affleurer les bouts contigus , on dispose l’une des règles plus bas que l’autre et l’on s’assure que les deux bouts sont exactement dans la même verticale , en les mettant en contact avec un til-à-plomb fort délié. Le poids plonge dans un verre d’eau pour que le vent ne le balance pas. Ce procédé est même plus sûr que le contact même, parce qu’on doit éviter le recul, produit par quelque petit choc involontaire. Il faut, dans ce cas, ajouter à la longueur de la règle, l’épaisseur du fil-à-plomb; quantité qui, bien que minime, n’est pourtant pas négligeable, attendu qu’elle se répète autant de fois que la longueur même de la règle.

124. On adapte souvent à la règle un appareil qui rend le contact très facile à opérer. C’est une réglette logée dans l’épaisseur du bois, retenue entre deux rainures : elle est mobile à l’aide d’un pignon et d’une crémaillère, en sorte qu’on peut en faire saillir une partie au bout de la règle, par un mouvement très lent. Cette réglette porte une ligne de foi et un vernier, qui glisse le long d’une échelle divisée en parties égales et tracée sur la règle même , ce qui permet de lire la longueur dont on a fait saillir la réglette. La longueur totale de la règle se compose de sa longueur primitive d’étalonnage, plus de la longueur saillante de la réglette. Telles étaient les règles qui ont servi à mesurer les bases de Melun et de Perpignan. A l’aide d’une loupe, on lisait la longueur de la réglette jusqu’aux 100000' de toise. On donne le nom de languette à cette pièce mobile. ( [Voy . la description de cet appareil dans la Base du système métrique et la Géodésie de M. Puissant.)

CEOMOKPIIIE.

125. On donne aux règles la position horizontale en se servant d’un niveau à perpendicule perfectionné (vojr. n° 48) : il est plus facile à employer que le niveau à bulle d’air. Les règles égalés AC,BC (fig. 67) forment un triangle isoscèle ACB, et sont maintenues à distance par un arc de métal àEb. Au centre C de cet arc, est suspendue une alidade CD qui tourne autour de C, et porte en D une ligne de foi et un vernier. L’arc est divisé en degrés, et l’on peut lire la minute à l’aide du vernier (n° 9).

Dans une direction perpendiculaire à l’alidade , est fixé un petit niveau à bulle d’aire/", sur lequel on voit tracées des divisions égales, afin de pouvoir juger quand les deux extrémités de la bulle répondent à des points de même numéro, les divisions étant numérotées à partir de zéro au milieu du tube , et dans les deux sens. Les graduations de l’arc ab ont aussi le zéro au milieu E de cet arc.

L’instrument est construit de manière que l’alidade marque zéro quand la base AB est horizontale , et que la bulle est entre ses repères ; et il faut qu’en retournant l’instrument jambe pour jambe, les mêmes conditions subsistent. Car si la ligne AB u’étant pas horizontale, on y applique l’instrument et que, la bulle étant amenée entre ses repères, on lise 3° par exemple , en retournant l’instrument on devrait encore lire 3°, sous les mêmes conditions, si le niveau est bien réglé. Mais admettons qu’on lise i° ; on en conclura que la somme 3° + i° est le double de l’inclinaison de AB, parce que , dans les deux situations , l’alidade a pris la même direction par rapport à la verticale. Ainsi cette inclinaison est ici 2°, du côté où la 1" graduation a été lue sur l’arc.

IL faudrait aussi parler de la vis de rappel qui donne les petits mouvemens à l’alidade , et de quelques autres détails de construction. Mais on devine aisément ces modifications, qu’on trouve décrites T. 2, p. 9, du Système métrique.

• ■ . -nîqniî-')' 5 ''«TV ' . ■<' vnri S ’irtAtf’ËT

126. Comme on perdrait beaucoup de temps à donner aux règles des positions horizontales, on préfère leur laisser

RASES

prendre une petite inclinaison (de 2 à 3 degrés au plus), qu’on mesure ainsi qu’on vient de le dire. On lit la graduation indiquée par l’alidade, tant avant qu’après le retournement; ajoutant les deux indications, on a le double de l’inelinaison 8. Il reste ensuite à réduire la règle à l’horizon par le calcul, c’est-à-dire à en calculer la projection horizontale.

127. Réduction des règles à T horizon. Soit CB (fig. 56) la règle, CA sa projection horizontale , AB la verticale, 6 l’angle C d’inclinaison : ou cherche CA et AB, connaissant CB et l’angle C. Le triangle ABC donne CA = CB cos 6. Or 6 est un très petit angle, et cette valeur de CA, ne serait pas calculée avec assez de précision. 11 est donc plus convenable de chercher l’excès x de la longueur CB sur CA x CB — CA ; on a cos 0 = 1 — i 0“, au 3' ordre près, d’où CA = CB (1 — j S2) et x — | L 8* , en faisant CB = L, longueur de la règle, ou plutôt, en exprimants par son nombre de minutes {vojr. p. 37) :

x = — j L (28)* sin3 1'= — PL (26)*.

On trouve de meme pour la différence AB de niveau jr = L sin S=s~ L (28) sin 1'.

L’instrument fait connaître l’arc (28) par le retournement, et les calculs sont très faciles. La constante Ps=g sin2 i', et l’on trouve log P = 8.0243622 ; log (j sin 1') —, 4. 1626961. On exprime l’arc (28) par son nombre de minutes.

Ou abrège les calculs en construisant une table d’où l’on peut tirer les valeurs de x et de y pour toutes les inclinaison (20).

128 . Correction de température. Les variations de température du matin au soir font éprouver aux règles des changemens de longueur, quand elles sont en métal : cet effet ne doit pas être négligé. On note les températures aux époques où elles ont le plus varié, par exemple de 2 à 3 degrés, et l’on suppose que dans chaque intervalle de temps, il a régné une température constante égale à la moyenne entre les deux

124 CÉ0M0RPH1E.

extrêmes. Un tliennoinètre loge' dans la règle même sert à connaître les changemens qu'elle éprouve , ainsi qu'on va le dire. .

Dans les règles employées pour la grande triangulation française, le thermomètre était métallique. C’était une réglette de laiton , logée dans une espèce de canal pratiqué le long et dans l’épaisseur de la règle , où cette réglette était maintenue entre deux rainures. L’ua des bouts de la réglette était invariablement fixéà la règle par des vis ou une soudure,, l’autre était libre. Comme les métaux de la règle et de la réglette étaient diflcrens (en platine et en cuivre), leur dilatation n’était pas la même pour la même variation de température. Deux traits qui se trouvaient en coïncidence sur l’une et l’autre à un certain degré thermométrique, cessaient d’y être à un autre degré. On conçoit qu’à l’aide d’une loupe et d’un vernier, on pouvait aisément lire sur les divisions de la règle, la quantité dont d’égales longueurs de cuivre et de fer se sont plus allongées l’une que l’autre, sous l’influence de la chaleur, et par conséquent les variations de température. Tel est le système qu’on a adopté pour mesurer les changemens de longueur des règles, à l’aide d’un thermomètre métallique que porte la règle dans son épaisseur : les degrés y sont gravés , et l’on n’a que la peine de lire. Il reste ensuite à calculer les longueurs correspondantes à ces températures, ainsi qu’on va l’expliquer.

Il importe d’abriter les règles des rayons solaires ; on les recouvre d’une espèce de toit en planches posé sur le madrier : les deux bouts de ce toit sont armés de pointes verticales qui servent à aligner les règles dans la direction voulue.

Pour éviter les erreurs, chaque lecture est faite deux fois, pour la languette , le thermomètre métallique et l’inclinaison de la règle. Les mesures sont inscrites sur deux registres , qu’on a soin de collationner avant de passer outre à une nouvelle mesure.

129. Étalonnage. Donnons connaissance des procédés qui servent» déterminer la longueur exacte des Tègles. Il faut pour cela les comparer à quelque autre longueur connue. On sa

BASES

sert d’un instrument appelé comparateur, qui mesure, en les agrandissant , les plus petites différences de longueur entre deux règles superposées l’une à l’autre , et ayant up de leurs bouts appuyé sur un arrêt fixe. Nous ne décrirons pas cet instrument (voy. le Système métrique , T. 3, p.’464) ; nous dirons seulement qu’un levier portant sur les extrémités libres, amplifie considérablement les plus petites différences de longueur, et en donne la mesure. Ainsi l’on saura quelle est la longueur de la règle comparée à celle de l’étalon. Mais il faut avoir égard à la nature de leurs substances et à la température.

130. On a reconnu que pour un changement de i” centigrade l’unité de longueur varie de la quantité «, donnée par la table suivante :

Platine » — o,ooooo85655.

Laiton a == 0,0000187785.

Fer doux forgé a = 0,0000122045.

Acier non trempé. . . « = 0,0000107915.

C’est ce qu’on appelle la dilatation linéaire. Ainsi le mètre de cuivre qui passe de o à ioo°, s’allonge de om,oo\8^r)85, ou près de 2 millimètres. Un effet aussi considérable ne peut être négligé dans la mesure des bases ; c’est au reste ce dont on jugera bientôt.

Soit l la longueur d’une règle de métal à une température donnée , l désignant un nombre quelconque de mètres , toises, pieds, etc. Si le thermomètre monte de t degrés centigrades, on a l’allongement de l’unité par la proportion i° l *'.'.t ; at, a étant le nombre qui répond dans la table au métal de la règle. Ainsi la longueur /s’allonge de «t/,'e t devient pour t degrés

L = l(l+Mt) (,)

131. iw Cas. Si la règle est en bois et l’étalon en métal, on commence par calculer la longueur L de cet étalon , sous la température actuçlle, connaissant celle l qu’il avait à zéro :

CÉOMOhPHlE.

Ce nombre l est ordinairement gravé à la surface. Ainsi L est la longueur de la règle de bois, si on l’a amenée à être la même que celle de l’étalon , en usant l’extrémité ; ou bien , à l'aide du comparateur, on en counaît la différence avec l’étalon , et par suite la longueur de la règle de bois qui est invariable ainsi qu’on l’a déjà fait remarquer. C’est ce nombre qu’on inscrit à la surface de la règle.

2* Cas. Si la règle est de même métal que l’étalon, il n’y a aucun calcul à faire. Car lorsque l’un est égal à l’autre, on grave sur la règle le nombre l qui est la longueur de l’étalon à zéro s et quand les longueurs sont très peu différentes , on évalue cette différence <T avec le comparateur et l + J' est la longueur de la règle à zéro. La température actuelle est inutile à considérer ici.

3' Cas. Enfin , lorsque les métaux sont de différente nature , et qu’on a coupé la règle de même longueur que l’étalon, sous la température t, voici ce qu’on observera. Quand la température redeviendra zéro, l’étalon sera réduit à l, et la règle à la longueur inconnue a:, qu’il s’agit de trouver. L’équation (1) apprend que de o à t degrés centigrades , ces règles longues de l et x, doivent devenir

l’étalon

la 2' règle x(i +«'<);

« et a! désignant les dilatations linéaires de l’unité des métaux respectifs : et comme alors les règles sont égales, on a

/(i -f a.t) = x (i -f ct’t),

d’où x = l(L±£)=l[i-V-m)l] (2),

en développant la puissance — 1 de (1 -j- et'/), et négligeant les termes du 2* ordre en « et a'. Telle est la longueur x que la règle se trouvera avoir à zéro. Sa longueur à la température centigrade ô sera donc

BASES

et si elle n’a pas e'té taillée exactement sur la longueur de l’étalon, £ étant la petite différence des deux, la longueur de la règle sera x ±

C’est ce nombre x rt S' qu’on gravera sur la règle, et qui sera pris pour valeur de x dans l’équation (3). Lorsqu’on aura mesuré une ligne avec cette règle, sous une température centigrade ô, il faudra en calculer la longueur x par le secours de l’équation (3), • étant alors la constante propre an métal employé.

1 32. Observez que cette méthode a l’inconvénient de donne,, pour la longueur x de la règle, un nombre embarrassé de fractions , parce que celle l de l’étalon à zéro est un nombre entier (de 4 mètres ordinairement). Si l’on tenait à réduire x à n’avoir pas de fractions, il faudrait diminuer la règle de la quantité (« — «') il, et alors elle aurait, comme l’étalon , la longueur l à zéro : mais comme cette diminution serait trop difficile à faire , qu’elle peut d’ailleurs devenir une augmentation qu’il serait impossible de produire,' voici comment on peut opérer.

Admettons que notre règle ait même longueur que l’étalon à la température t, savoir L = l(i + »t). Quand la température s’abaissant deviendra T, c’est-à-dire décroîtra de t — T, celte règle diminuera de La’ ( t — T) ; ainsi sa longueur sera L[i — *\t — T )] = /f 1 —J- «0(i — •t + * T).

Or, cherchons quelle doit être cette température T , pour que la règle ait précisément la même longueur l que l’étalon avait à zéro : en égalant à Z , et négligeant les termes du second ordre , on a

On inscrit alors sur la règle la longueur l de l’étalon , mais avec la température T sous laquelle cette longueur existe. On a dans ce cas pour l un nombre entier.

Pour calculer ensuite la longueur x de la règle à toute autre

128 OlOMORPHIE.

température , on emploie la formule (3) , 6 étant l’excès de la température actuelle sur T.

133. Supposons, par exemple , que l’étalon ait 5 mètres à zéro , et soit en platine , et que la règle à étalonner soit en laiton et ait été taillée de même longueur , le thermomètre marquant ioo° : on a 1=5,* — *= o ,ooooio2i3 ; ainsi la longueur de la règle à zéro serait x = 4"‘;99948935. Et si l’on trouve incommode de se servir de ce nombre fractionnaire , on verra que la température sous laquelle la règle de laiton a aussi 5 mètres est T = 5°, 44 : alors on graverait sur la règle ces deux nombres 5 mètres et 5°, 44* Les calculs seraient les mêmes en partant de l’une ou l’autre de ces deux déterminations.

D’après cela, supposons qu’on ait reconnu qu’une longueur est composée de 2000 fois la règle ci-dessus , la température étant de 180, on pourra trouver cette distance totale de deux manières : soit en faisant dans l’équation (1), Z=4“, 9994^935, »= 0,0000187785, et r = 18; soit en prenant dans l'équation (3) 1=5, ce même nombre et avec 8=i2°56, excès de 180 sur T = 5",44- Ces calculs donnent également L = 5*1,ooii7g :

ainsi la base formée de 2000 fois cette longueur est

r= 10002°*, 358. Si l’on eût négligé d’avoir égard à la dilatation des métaux , on aurait réputé la règle de 5 mètres et la base de 1 0000 mètres ; on aurait donc commis une erreur par défaut de 2m,358, ce qui eût été une faute considérable.

134. Réduction d'une base brisée à la ligne droite. Il est à désirer que la base soit une ligne droite ; mais les localités ne permettent pas toujours de trouver un sol rectiligne à peu près horizontal de dix mille mètres environ. O11 est alors obligé de faire mesurer des longueurs formant une ligne brisée. C’est ce qui est arrivé pour les bases de Melun et de Perpignan.

Soit donc la ligne brisée ACB (fig. 77) , dont on connaît les longueurs AC, CB, ainsi que l’angle C que nous supposerons voisin de 180°, savoir C= i8o° — 0 , en faisant â = BCI , très petit angle ; on fera AC = b, BC = a; il s’agira de trouver

BASES. I29

AB = c, qu’on regardera ensuite comme étant la base mesurée. On a (*) y

- c* ■+■ 6’ + 20b cos 9,

et cos9 = i — ifl*, en négligeant les quatrièmes puissances de fl. Donc

c» = (a+b)% — ûAfl* , c = (a -f $)£i — J* »

, aAfl’sin’i'

enEn c = fl + 6- a^pp . . . .(5)

en développant la puissance ; jusqu’au second ordre , et désignant par 9 le nombre de minutes de cet arc ( p. 37 ).

Et quand on n’a pu voir le signal B de la station A , mais le signal C , pour rapporter les points circonvoisins à la base B, comme les angles ont été mesurés par rapport à AC , il faut les rapporter à AB , et par conséquent connaître l’angle A.

sin A a . . . i „

Or on a — — = - , avec sin# = 6 — ^8 ;

sin S c O

d’où sin A = 1 — £ 9a et substituant pour c la première

valeur ci-dessus , sin A =

Or, on a trouvé que A = sin A -J- 1 sin3A ( éq. 18, p. 36); substituant pour sin A sa valeur, puis changeant les petits arcs A et fl , en A sin 1' et 6 sin 1' pour les exprimer en minutes , on a

ai ab(a — A)(3sinai'

(*)Lc triangle ABC est sphérique ; mais on le ramène à être rectiligne, en retranchant de l'angle observe' C, le tiers de l’excès sphérique ( voy . no 1$o), et prenant le reste pour valeur de C. Dans la réalité, une base est une ligne à double courbure, que nous considérons comme étant nn arc de cercle dans un plan vertical, comme si la terre était nne sphère ; mais l’erreur est intenable. ( Voy. la Rase du Système métrique , T. Il, p G83.)

,3o GÉOMORPHIE.

i35. Réduction au niveau de la mer. Nous connaissons ,

par le calcul , la différence de niveau des deux extrémités de la base ( n° 127 ) : abaissons par la pensée le bout élevé d’autant que nous élèverons le bout inférieur , en faisant tourner la ligne autour de son milieu 5 nous pourrons regarder cette base comme un arc de cercle très peu courbe , dont le centre coïncide avec celui de la terre. Soit AA' (6g. 76) cet arc=B , dont la longueur est connue ; ad l’arc concentrique décrit au niveau de la mer; Ca = Rle rayon terrestre (ou plutôt la normale du lieu, vojr. n° 177); Aa = h la hauteur des extrémités au-dessus de ce niveau.

Il s’agit de trouver l’arc ad = b, et la base B sera réduite au niveau des mers. Il suit des procédés dont nous ferons usage par la suite, que le réseau de triangles ,'géodésiques qu’on observe doit être projeté sur la surface de niveau dont il s’agit, et c’est pour cela qu’on doit y projeter aussi la base B. La longueur B de cette base a été mesurée sur l’arc de cercle , puisque nous avons sans cesse conservé, par le fait ou par le calcul, la direction horizontale, perpendiculaire au rayon terrestre. (Nous verrons bientôt, n° 1 77, que ce rayon doit en effet être remplacé par la normale. ) Quant à la hauteur Afl = h , nous indiquerons plus tard le moyen de l’obtenir ; c’est l’élévation du point milieu de la base au-dessus de la mer.

On a la proportion CA C Ca : : AA' aa' = b ,

comme R surpasse six millions de mètres , et que h est toujours très petit, cette série est convergente; on peut même, dans presque tous les cas , se contenter des deux premiers « BA

termes B — — . Ainsi , pour réduire la base B au niveau des R

mers , il faut lui faire éprouver la correction soustractive

BASES

t36. Voici donc la série d’opérations et de calculs qu’on doit faire pour obtenir une base géodésique. Après s’être procuré deux règles exactement étalonnées et leurs supports, 09 jalonne la ligne droite ou brisée, et l’on y porte bout à bout les règles successivement. On enregistre chaque observation sur une feuille divisée en colonnes : chaque fois qu’on opère, on remarque la tempéra ture et l’on en tient note; on écrit chaque double inclinaison de la règle , la longueur de la languette saillante, la différence de hauteur des deux bouts. Le calcul donne ensuite la différence de niveau des extrémités de la base , sa longueur B réduite , s’il y a lieu , à la ligne droite, le tout en ayant égard à la température. On projette enfin B sur le niveau des mers, et l’on a la longueur demandée b , par le calcul du n° i35.

La mesure des bases est une des opérations les plus délicates de la Géodésie, puisque de là dépend la précision de toutes les autres déterminations. Aussi les ingénieurs apportent-ils un soin extrême dans tous les détails des observations. Pour donner un exemple du degré d’exactitude qu’on est parvenu à obtenir dans l’appréciation des bases, nous citerons les bases de Melun et de Perpignan , mesurées par Delambre et Mécliain , la première , près de la grande route de Paris à Melun , la seconde , de Vernet à Salces.

La base de Melun , toutes corrections faites , et réduite au niveau de la mer, a été trouvée de 6075,90 toises.

Celle de Perpignan était de 6006,249. ( Sjst . mèlr., p. 56, T. II.)

La distance de ces bases était considérable , et pour passer de l’une à l’autre, elles ont été liées par une chaîne de 63 triangles de premier ordre. A l’aide des formules dont uous .donnerons bientôt la démonstration , on a pu calculer l’une de ces bases par le secours de l’autre ; et voici le résultat

de ce calcul :

Base de Perpignan mesurée 6oo6T,249 o

calculée 6006 ,089

Différence. . . o ,160

l3a GÉOKORPBIE.

Ainsi l’erreur n’est que de 0,16 de toise ou it,52 pouces, quantité à peine digne d’être prise en considération. Mais il est hors de doute que cette coïncidence très approchée n’est due qu’à des compensations fortuites d’erreurs, car on a reconnu que la chaîne de triangles d’Orléans à Bourges était défectueuse , ce qui a été vérifié par la mesure de la chaîne dite méridienne de Fontainebleau , et confirmé par une autre ligne latérale à l’ouest de la première.

Nous ne citons donc point ces résultats pour en montrer l’exacte précision , mais plutôt comme un exemple du soin qu’on doit apporter dans la mesure des bases, et de l’attention qu’on doit avoir pour se mettre en garde contre des conséquences prématurées sur le hou ou mauvais succès des opérations.

Sept bases ont été mesurées en France, et nous donnerons plus tard les résultats des comparaisons qu’elles ont conduit à faire, en calculant chacune par les autres, à l’aide de la chaîne de triangles qui les lie entre elles. On y reconnaîtra des erreurs si petites, qu’on est plutôt induit à les attribuer à des causes dont nous parlerons, qu’à des vices de l’opération même. Ces beaux travaux font le plus grand honneur aux habiles ingénieurs qui en ont été chargés. Voy. la Nouvelle description géométrique de la France, p. 4^8 , où la base mesurée dans les Landes de Bordeaux est comparée à celle que Oriani a mesurée près du Tésin.

Réduction à l’horizon, excès sphérique.

137. Les triangles géodésiques sont situés dans l'espace ; l’observation a fait connaître leurs angles : il s’agit de les projeter sur la surface de niveau des mers , où notre base a déjà été évaluée. Soit O (fig. 69) une station d’où l’on découvre les signaux M etN,et l’ona mesuré l’angle M0N=0, qu'on veut projeter sur l’horizon selon mOn. Abaissons de M et N les verticales Mm, Nn sur la surface de niveau Omn; il s’agit de calculer l’angle mOn = O', projection de l’angle O.

RÉDUCTION A T.’llORlZON. 1 33

Les plans verticaux MOm , NOn, se coupent suivant la ligne OZ qui va au zénith Z , et déterminent avec le plan MON un trièdre, et par conséquent un triangle sphérique ABC , dont les trois côtés sont connus. En effet, l’arc AB —O = l’angle MON; et l’on a pu, du point O, mesurer les distances zénithales MOZ = z',* NOZ = z. .Ces plans verticaux font ensemble l’angle dièdre MOZN, mesuré par l’angle mOn qui est la projection O' qu’on cherche. La résolution de ce triangle sphérique (n° 76) donne

sin2 - O'

sin ( p — z) . sin ( p — z)

sin z.smz

ip = z -f- z -J- O.

Ainsi l’on saura projeter chaque angle des triangles, et ra- ' mener ceux-ci à des triangles sphériques très peu courbes, tracés sur le sphéroïde terrestre..

i38. Mais il arrive presque toujours que les stations sont si éloignées et si peu éleyées, que les différ. de niveau sont tris petites, et les và leurs angulaires z et z' très voisines de 90°. Le dénominateur de notre formule est donc très près de 1 , et le calcul manque de précision.

Faisons z — 90° — h , z = 90° • — h', h et h‘ seront les hauteurs des stations M et N ( fig. 69) vues de 0, savoir, NOn=A, MOm=/i'. •

L’éq. fondamentale (3), p. 68, devient ici

cos O = sin h sin K -J- cos h cos h ' cos O'.

Mais h et h' étant très petits, on en peut négliger Içs 4“*’ puissances , et poser

sin h = h — -jA3, cos h = r — ^h2,

d où sin h' sjn h =s hU , cos h cos h'. = 1 — ± (h* -j. h'2') ,

ct t1 — \ (h2 + *,J)] cos O' == cosO — hh'..

Pour dégager cos 0' de son coeff. , il faut 'multiplier le sc-

GÉOMORPHIE.

cond membre par la puissance — i de i — zO* + *'*) , ou p«r « +7 (^* + ^*)»

cos O' = cos O — AA' -j (A* -f- A ’) cos O.

Au lieu de chercher O', il est plus commode de chercher le petit arc i' dont» O' surpasse O , savoir,

0' = O + f, cos O' = cos O — 1 sin O : •

nous négligeons ici les puissances de J1, parce qu’on va voir que est du second ordre. En comparant ces valeurs de cos O', il vient

<T sin O = h h' — i {IV + A'*) cos O.

Or, faisons sin0 = 2sini0cosi0, cos0 = cos3-j0 — sin»'A.Q ; puis multiplions le terme hhl par cos^O+sin^O , qui est =i; il viendra, toutes réductions faites, en expriment en secondes les petits arcs ï, h et h' (c’est-à-dire en les multipliant par sin 1", page 37) :

^ sin 1 " tang - O — ^ ^ sin 1 * cot-i O . . . (A)

avec ' ' O' = O -f-

Le calcul donnera le nombre de secondes de l’arc «T et son signe : ce sera la correction que doit subir l’angle observé O dans l’espace, pour être réduit à sa projection sûr l'horizon.

Lorsque l’angle O est mesuré avec un théodolite, aucun calcul n’est nécessaire, et l’instrument donne cet angle tout réduit , ou O'.

Prenons pour ex. les signaux Aubassin et La Iiastide , vus de

Vin - y u, Lan, !> 10 lieiios .le Rh'dcz (Syst. Mite. j, p. aS8). On a observé l'.mgle O 3= 5»° 9' et les arcs de Iwaterir

Aubassin, h = - I»3a'45", v (A + h')— — 1° 19' 57" 5 = 4'9/"5 . Bastide, h' r=— t. 7:10, J (A — A0 = — o.n.47.,5 = 767,5,

JL. ■ '.+<i

SÉDUCTION a l’hokizon-

alug 4797,5 -.36ao3oo alog 767", 5 5.7701568 —

sim" ... 6.685574»» 6.685574g

tang 4 0 7.68oo38o compl 0.3199610

— 5,ij66

• O — 5l° 9' 19, 744 angle observe , .

0'= 5i . 10. 17, 190 angle réduit S l’horizon.

Comme ces calculs doivent être répétés sur tous les angle» du réseau, on les abrège en construisant une table des log. de ja’sin 1" (coefficient de tang et cot^O) pour toutes les valeurs de a , arc exprimé par son nombre de Secondes. Voy. table I, >

On y entrera deux fois , l’une avec le nombre a — h-\- h , l’autre avec a == h — h'. L’interpolation sera souvent nécessaire pour donner Jies valeurs de ce facteur; il ne restera qu’à y ajouter les log. taug. et cot^O, et l’on aura ainsi les nombres de secondes représentant les deux termes de notre formule : on prendra le dernier en — . Dans l’exemple ci-dessus, on a

h -h h' = 9595" .... 1 . .47603 , h — h' — y 535" .... o. 455719 lang-JO i.68oo38 compl 0.319961 —

+ 53"4n — 5“96ft

Delambre et M. Puissant se servent de deux tables pour calculer la formule (A), et n’emploient pas les log. tabulaires. Nous croyons notre procédé plus simple.

1 39. Démontrons uue propriété remarquable des triangles très peu courbes tracés à la surface du sphéroïde terrestre. Concevons que des angles A, B, G (fig. 66) d’un tel triangle, on ait mené des rayons au ceulre O de la sphère, rayons que nous représenterons par R; les côtés seront a , b,c. Ges rayons OA, OB, OC déterminent un trièdre, et un autre triangle sphérique A,B,C, sur la sphère concentrique dont le rayon est 1 = OA,; les côtés sont a , b , c', et les angles A, , B, , G, res-

l36 . GÉOMOHPHIE.

pectiveinent égaux à A, B, C. Or on a (éq. 3, p. 68)

sin a sin b' cos C = cos c‘ — cos a cos b' ,

s.n cos,

En effet, on doit substituer dans les dëveloppemens, p. 36,

des sin. et cos. , pour a, b' , c leurs valeurs 5,575! de

plus , 011 est en droit de négliger les 5” puissances de ces fractions, puisque les arcs sont fort petits par rapport à R. En substituant, développant les produits, on trouve, au 5' ordre près ,

aK,^Rr)cosC =

a’+ô* — cJ c1 — — b ' — 6 a’ô*

Divisant tout par le coefficient de cos C, ou multipliant par

sa puissance — t, qui est (ai»)”' ( 1 H ggT" )’ 0,1 a> eu

négligeant le 5e ordre,

COS vj ~ ■- ■ . — — f- — ■ --- — . — - ■ .

2 ab 24o£R*

Cela posé, concevons un triangle rectiligne A'B'C' formé de côtés a, b, c ayant mêmes longueurs que ceux de notre triangle courbe ABC. Pour déterminer l'un des angles C' de ce nouveau triangle, nous avons (éq. a5, p. 5)

cos C =

a ab

Itr.

cos'C' = 1 — sin’ C —

puis — 4a’ô'sin*C' = (a +4* — c*)’ — 4 ai'b*.

Or, ce 2e membre est précisément le numérateur de la 2e fraction ci-dessus : donc S désignant la surface du triangle rectiligne , savoir S = \ ab sin C', on a

„ r r, ab sin*C' S . ,

cosC = cos C — = cosC — =^-stnC .

oKa 3Ka

WH

" e -ty Vii f

mfïr 4-

réduction a l’horizon. . , >37

Comme !e triangle proposé ABC, et le .triangle rectiligne A'B C ont à fort peu près même surface , on peut indifféremment prendre S pour l’aire de l’un ou de l’auAre de ces triangles.

Désignons par f la petite différence entre les angles correspondaus C et C', ou C = C' -+- f , d’où cosC — cosC — /'sinC'. On en tire, en comparant cette équation à la précédente, S

f . Ce dernier terme étant une fonction symétrique des

côtés a, b, c, il est évident qu’on a pareillement B = R' -fg

A = A' + et faisant la somme de ces trois éq., à cause 3R’

de A' -f- B' + C' = 1 8o°, on a

Donc la somme des trois angles de tout triangle sphérique très

peu courbe, surpasse 1 8o° d’une petite quantité qui

cette quantité ■ est ce qu’on appefle l’earcè* sphérique. En l’exprimant en secondes (p. 37), on a

ab sin C

B1 sin 1" aR J sin 1"

= kab sin C. . ,

en posant le coeff. constant k =’ — ^ log k = g.4o545.

Nous montrerons bientôt l’usage de cet excès sphérique, et nous enseignerons à en calculer la valeur. On prend ici... R = 6367 5z4 mètres. Nous donnerons (n° 1 47 ) les moyens de calculer- la valeur de R qui convient à différens lieux de la terre, et l’on eu déduira facilement la valeur correspondante de la constante k. Au reste, la recherche de la grandeur de R sera l’un des principaux sujets que nous uous proposons dé traiter. ‘ •*

i4o. Donc aussi il existe toujours un triangle rectiligne qui a les memes côtés a, b, c, qu’un triangle sphérique très peu courbe, et les angles de ce dernier sont chacun plus grands

céomorpuie.

que son correspondant dans Vautre, d’une petite quantité égale au tiers de Vexces sphérique ». Par conséquent, si l’on retranche ■g- < de chaque angle sphérique, le triangle ABC sera changé en un autre rectiligne A’B’C' formé des mêmes côtés : et dans le calcul de ces côtés, on pourra substituer celui-ci à l’autre. On y connaît toujours un côté et les angles, et les formules de la Trigonométrie rectiligue feront connaître les deux autres côtés, qui sont aussi ceux du triangle sphérique.

Ce théorème est dû à Legendre.

i4t. D’après cela, les angles observés dans l’espace étant réduits au -centre de station ( u® 119), puis à l’horizon (n° .38), si l’on fait la somme des trois angles , on trouvera qu’elle excèue 180° : celte différence est duc à deux causes, les erreurs d’observation et l’excès sphérique. Ce qu’on peut supposer de plus vraisemblable, c’est de regarder les erreurs comme égales sur chaque angle : et comme il finit aussi répartir l’excès sphérique par tiers, il est évident qu’on devra réduire à 180° la somme des trois angles, en retranchant de chacun le tiers de la quantité qui excède 180° dans* la somme des trois angles sphériques. On pourra alors supposer que le triangle est rectiligne , et en chercher les deux côtés inconnus, parce que ceux-ci ont même longueur que ceux du triangle sphérique proposé. La résolution se fait par l’éq. (^4) >

' b sio A =. a sin B, etc.

Le Ier triangle, dont 011 a un côté, qui est la base mesurée et réduite au niveau des mers, aura ainsi ses deux autres côtés connus : les triangles voisins, qui s’appuient sur ces côtés , auront aussi tous le» côtés connus par un calcul semblable; et ainsi des autres de proche en proche : en sorte qu’on connaîtra les angles et les côtés de tous les triangles du réseau réduits au niveau des mers.

■ 42. Voici un ex. tiré du Sjrst. mét., t. I r p. 477 et II, p. 836, 1 1 3e triangle.

RÉDUCTION A l’H0RI7.0.N.