STATIONS, SIGNAUX
enfin mettons — ; — — pour b, nous aurons sin À , • .
x cp n (y cot A y cot' B).
Telle est l’erreur x qu’on commet sur le côté a , par l’efifet des erreurs d’observation y et y' sur les angles A et B.
Mais x est visiblement d’autant plus petit que A est plus près d’être égal à B, en même temps que y h y : et l’erreur sur a est nullç , quand il arrive que celles de A et de B sont égales et dans le même sens , en même temps que A = B s dans ce cas , quoique obtenu par des valeurs angulaires défectueuses, le côté a sera exactement donné par le calcul; et si les erreurs y ci y' sur A et B, sont égales et de signes contraires , l’équation devient x — ay (cot A -f- cot B}, que la condition A = B rend un minimum : en effet, on a
= ay
(cos A cos B'
sin A
l\ __ sin (A -h B) sin B/ sin À sin B*
Or en retranchant l’une de l’autre les équations (2) (p. 35) , on trouve
• » • fc
a sin A sin B= cos (A — B) — cos (A-f-B) = cos (A — B) -f-cos C ;
. 2 sin C
donc x =o ay.
cos (A — B)-»f-cosC
expression que A = B rend visiblement la plus petite possible.
On voit qu’il est avantageux , pour atténuer les erreurs sur les angles, soit que les erreurs soient dans le même sens ou en sens contraire, que le triangle soit équilatéral , et qu’alors l’erreur qui en résulte pour a peut être tout-àfait nulle. On regarde comme certain que lorsque les côtés cherchés sont presque égaux chacun à la longueur mesurée , l’erreur des angles est insensible. Mais comme cette condition est souvent impossible à remplir, on se contente de ne jamais admettre d’angle de triangle qui soit 3o#, afin de se rapprocher autant qu’on peut de l’état ci-dessus. On dit alors que /e
In
GÉOMORPHIE.
triangle est bien conformé. Autant que possible , les stations doivent être choisies conforme'ment à ce principe.
112. Supposofrb maintenant que la mesure du côté b soit fautive, mais que les angles A et B soient exactement connus. La vraie valeur de b sera remplacée par b z, en même temps que a par a -f- x, les erreurs étant z et x.
d’où
(a -f a:) sin B .= (ô ■+- z) sin A;
D . . sin A
isin B=zsin A, x xz s —
■Si» B*' ' - 1 ’
Ainsi plus l’angle B est petit, et plus l’erreur *z du côle opposé influe sur la valeur qu’on trouve pour’ a. où elle s.ir T 1 „ 1 v 1 tiJi. ‘TfjPîï
grandit, pour ainsi dire. Lorsque B= 3o°, valeur qu.on a r*-
connue cpnvenable sous d autres rapports , on a x = 2z sin A. Mais alors A -f- C = i5o°, et chacun des angles A et C doit s’approcher de 75° ; sin A est donc peu difleréùt de 1 , et’ x de ’iz. Ainsi l’erreur z commise sur le côté b , se porte sur le côté a, par suite du calcul qui fait connaître cette longueur, et même peut devenir double. S’accroissant ainsi de triangle en triangle, on peut en déflnitive arriver à des valeurs très défectueuses des côtés qui terminent la chaîne.
Concluons de là que dans un triangle bien conformé , une petite erreur commise sur la longueur d’uu côté , a beaucoup plps d’inconvénient que celles qu’on fait sur les angles ; parce que la 1” s’agrandit par le calcul des autres côtés du triangle, et peut même devenir double dans des cas d’ailleur-s assez favorables : tandis qu’il peut arriver que les erreurs des angles n’altèrent nullement les valeurs des côtés qu’on en déduit. 11 faut dons mesurer la base avec une extrême précision, sous peinç de voir les erreurs s’accumuler de proche en proche , dans les calculs successifs des triangles du réseau.
11 3. Il est à peu près impossible que la base mesurée ne soit pas quelque peu fautive ; et cette base est nécessairement fort courte comparée à l’étendue de la contrée qu’on veut
STATIONS, SIGNAUX. Il3
lever. Cette base est un côté d’un i” triangle qui se lie à un 2e, celui-ci à un 3e, etc., en agrandissant peu à peu ces triangles. Lorsqu’ils sont tous presque équilatéraux , on a autant de garantie d’exactitude qu’on peut en désirer, et l’on évite ainsi les accumulations d’erreurs. Mais lorsque l’opération entière est terminée, il importe de s’assurer de sou exactitude , et de celle des calculs qui ont fait connaître tous les côtés de proche en proche. La vérification se fait en mesurant une autre base très éloignée de la i” et formant l’uu des côtés de triangle. Alors cette longueur se trouve connue de deux manières, savoir, parle calcul , et par la mesure directe : ces deux résultats doivent s’accorder pour que la triangulation soit exacte.
On obtient encore d’autres moyens de vérification par les longitudes et latitudes des stations et les azimuts des côtés des triangles ; car en observant astronomiquement , ainsi que nous l’exposerons , ces valeurs angulaires à l’une des stations, on peut, par le calcul, en déduire , de proche en proche, les graduations de ces arcs pour toutes les autres stations. Cette théorie fera bientôt le sujet de nos recherches. Mais comme on peut aussi réitérer les observations astronomiques en divers lieux du réseau, on pourra juger par la coïncidence des résultats de l’observation directe et du calcul , s’il ne s’est pas produit fortuitement des erreurs, et même des compensations propres à accorder les bases mesurées , sans pourtant provenir d’opérations absolument exactes.
Laplace a démontré, par le calcul des probabilités , qu’il ne faut employer que le moins grand nombre possible de triangles de premier ordre, couvrant l’étendue entière du pays, en leur donnant les plusgrandes dimensions permises par les localités , et par la puissance des lunettes des instrumens.
1 14. Les signaux doivent être établis de manière à être nettement distingués de loin : un poteau vertical , un cône renversé, sont d’excellentes mires. Les clochers, les tours, ne doivent servir, qu’autant qu’011 peut s’y placer commodé- .
GI-OMORPHIE.
ment pour observer, et surtout avec une grande stabilité'. Les flèches, moulins en tour, et autres signaux peuvent servir aussi ; en ayant soin de faire les réductions à l’axe du signal et au centre de station (n'“ 1 17 et 120), alin de ne pas laisser d’incertitude sur le point du sol où le signal se projette. On ne peut guère employer un arbre sans branches , un moulin à cage , si ce n’est pour des triangles du troisième ordre , parce qu’il ne faut pas que les erreurs qui en résulteraient puissent se propager sur d’autres stations principales.
Le meilleur des signaux estun disque en tôle peint en noir, et percé, au centre, d’un trou par lequel on peut voir la lumière du jour. Ce disque doit pouvoir pirouetter autour du diamètre vertical , en y adaptant une tige servant d’axe de rotation , sur laquelle on arrête le disque dans toutes les positions qu’il peut recevoir : la surface peut être ainsi présentée successivement en aspect aux stations environnantes.
On se sert aussi très souvent , pour signal , d’une petite pyramide quadrangulairc renversée , qu’on enlile sur un poinçon surmontant l’édifice.
On espérait tirer un parti utile des feux de Bengale et des réverbères à réflecteurs paraboliques, pour les observations nocturnes : c’était un moyen d’employer le temps , lorsque le ciel est chargé de vapeurs. Mais on y a renoncé : l’horizon n’est jamais assez pur pendant la nuit , et les réfractions terrestres accroissent alors les causes d’incertitude.
1 15. On aperçoit mieux un signal , quand il se projette sur le ciel , que lorsqu’on le voit peint sur la terre ou les arbres. Or, il est facile de juger si , étant placé en A(fig. 5^) , le signal sera vu de B projeté sur le ciel , sans aller en B. En effet , prenez les distances zénithales de B, et de la montagne C qui se trouve opposée , dans la même direction , savoir les angles BAZ, CAZ ; le point C tombe au-dessus et au-dessous de la direction ABI , selon que la somme de ces angles est > ou < 1800. Ainsi l’on fera en sorte d’élever le signal A de manière que BAZ -f- CAZ > 180°.
