RÉDUCTION A L’HORIZON. I^I

i44. Dans ces opérations , il n’est pas nécessaire , comme on voit , de calculer l’excès sphérique < , parce qu’il est compris dans le calcul même avec les erreurs d’observation. Mais lorsqu’il s’agit d’obtenir les azimuts des côtés , les longitudes et latitudes des stations, et la longueur d’un arc de méridien terrestre), on ne peut plus se dispenser de connaître 1 , et de faire la part des erreurs séparément. Faisons donc voir comment on peut calculer 1. D’ailleurs dans les méthodes qui seront exposées, cette opération est indispensable.

On commence par chercher approximativement les côtés du triangle, en considérant les angles A, B, C, réduits à l’horizon, comme ceux d’un triaDgle rectiligne, et la surface de celuici comme égale à celle du triangle sphérique S = £ ab sin C. Tout sera donc connu dans l’éq. (B) , sauf le rayon terrestre R, dont nous assignerons bientôt la valeur. En adoptant celle du n° 147 qui convient à la France, on a

. = k ab sin C log k = f 940545 en mitres.

( 9.98009 en toises.

Comme le coeff. k est fort petit, il n’est pas nécessaire de faire le calcul avec beaucoup de précision , parce que les erreurs sont rejetées sur des décimales plus éloignées que celles qu’on conserve au nombre • (trois au plus). Nous donnons ici le calcul pour le 1" des deux exemples qui précèdent. Nous trouvons 1 = 3"34.

• a. . . 4*59727 b. . . 4.575o2 sin C. i.g45i4 k. . . 9.40545

Ce devrait être l’excès sur 180° de la somme des trois angles réduits; mais comme on trouve 6", 97 pour cet excès, on reconnaît qu’il y a 3', 63 d’erreur dans les observations, sa-

ï4z , GKOBIOTiPHlE.

voir t'jHt sur chaque angle," outre i",i i provenant de l’excès sphérique.

Ge triangle, l’un des plus grands qu’on ait formes, a ses côtés d’environ 4o raille mètres; c’est à peu près tout ce que permet la portée des lunettes ; et cependant l’excès sphérique y est bien faible. On prendra donc confiance aux calculs qu’on fera sur des triangles, moindres. Au reste, il y un triangle, Desierto , Mongo et Campvejr qui joint les lies Baléares à la côte d’Espagne et qui est plus grand encore ; son excès sphérique est.de dq".

i45. 11 convient de réduire la formule (B) en table, pour abréger les calculs de l’excès sphérique qui se répètent souvent. Voici comment on s’y prend : soit ABC (fig. 32) le triangle rectiligne dont on demande la surface S. La perpendiculaire AD sur la base BC décompose cette aire en. . ABD ACD : or on a DC = b cos C, AD — b sin C, ACD = -j bx sin C cos C ~\bi sin 2C.

De même on trouve ABD = - c* sin aB , et par conséquent

« = 2 A- S = j A {b* sin 2C -f- c* sin aB).

Or, imaginons qu’on ait construit une table à double entrée, donnant toutes les valeurs de ~ kb* sin 2C, pour tous les angles C de degré en degré, et toutes celles de b de 1000 en 1000 mètres; on en tirera de suite les deux termes de t, en entrant tour à tour dans cette table avec les nombres b et c, et les angles respectifs C et B (toujours un côté et l’angle adjacent). La sommedes deux résultats est «. C’est ainsi qu’est construite la table IV de la Géodésie de M. Puissant. On a soin de prendre pour B et C les deux pins petits angles du triangle, afin d’éviter le cas où la perpendiculaire AD tombe hors du triangle.

On peut encore faire une table des valeurs de t — 2AS , en prenant pour argumens la base B et la hauteur H du triangle, savoir S = ^ BH, « = ABU. On mesure avec un compas sur la carte la base et la hauteur du triangle , et ces données ont une exactitude suffisante pour ce genre de calcul , parce

RÉDUCTION A l’HOBIZON. l43

que t varie très lentement pour de grands changemens de B et de H , attendu que k est extrêmement petit. C’est la table V de M. Puissant. Dans le Système métrique, ce sont les tables Y et VI du tome i". Nous avons jugé inutile de les reproduire ici.

146. On a souvent besoin de réduire en secondes un arc de la surface terrestre, horizontal, donné soit en toises, soit en mètres, ou réciproquement : voici comment on opère.

Nous verrons bientôt comment on est parvenu à déterminer, par expérience, la longueur de l'arc de i° terrestre. En prenant l’arc de méridien qui traverse la France, par exemple, on trouve

degré du méridien en France = 57020 toises = m i3| mètres. Or, si 36oo* ont cette longueur, quelle est celle de 1"?

d’où ,

longueur de l’arc de 1 *=i = i5T, 8388g =3om,8^o5j,