MESURE DE LA MÉRIDIENNE
de résoudre ce problème : Trouver le log. sinus de la somme ou de la différence de deux arcs , connaissant les log. sin. de ces arcs. Soient m et n deux arcs donnés. On a (éq. 10, p. 35)
sinm — sinn = 2sini (m — n) cos \{m -f- n ), et comme sin 2p es a sin (p cos <p ,
. . . , . cos I (m 4- n)
sin m — sin n = sin (m — n). f— -fi
cos j (m — n)
donc à cause de l’éq. 6, p. 35,
. . . . . . . cos i (m— n)
cos i (m + n)
(sinn\ 1 — 2sin*i(m — n)
sin m/ 1 — asm’ j (m-J-n)
Prenant les log. et développant '(éq. 22, p. 36), se bornant aux 2“ puissances des petits arcs m et n, il vient pour le log. dé cette dernière fraction, à cause de l’éq. i3, p. 35,
2M{sin* j (m — Donc enfin
n) — sin" j(m-f-n)} = 2Msinj7W. sini/i, = ïMsinm.sin n.
log sin (m dz n) = log sinm
11 / j.s'nn\ M .
+ 1°S V,±:im^)^SlnmSmn-
M désigne le module (p. 4)> R le rayon de la terre, pour que les arcs m et n soient pris dans le cercle de rayon R.
164. Cette manière de trouver l’arc AX en mètres est due à Legendre , et comme les observations astronomiques ont fait connaître les latitudes des points extrêmes A et L, le nombre de degrés de l’arc AL est connu. Ainsi l’on saura avec précision quelle est la longueur de l’arc de méridien dont la graduation est donnée.
Le seul défaut de ce procédé est qu’il n’est pas analytique; il faut avoir sous les yeux une figure pour gouverner les calculs. On peut d’ailleurs varier les opérations, en employant divers angles et côtés des triangles, ce qui donne
l58 CÉOMORPFÎIE.
une vérification des calculs , puis qu’en de'finitive on doit retrouver la même longueur pour l’arc AL. La précision est la même des deux parts , puisqu’on n’y introduit aucune donne'e nouvelle tirée de l’observation ; en sorte que si l’on commettait quelque petite erreur de calcul, on trouverait des compensations. En déplaçant quelque peu le point M, sur AL, on allongerait AM, mais on accourcirait MO.
Au reste, nous reviendrons sur ce sujet, et exposerons un autre procédé purement analytique , qui n’exige le secours d’aucune figure, et porte avec lui sa vérification.
i65. Voici l’application de cette méthode aux premiers triangles de la méridienne de France. A est Dunkerque (fig. 74), où l’on a mesuré l’azimut CAM =*. Les données sont
Dunkerque A ol= i6° 46' 27", 5g Cassel C ACM=j/=i43. i3 -4«,52
| le côté AG=27458",6o .
Le 3e angle sphérique M = G du triangle ACM considéré comme rectiligne est à fort peu près connu, et il est facile d'en tirer l’excès sphérique 1 = 0", 96; donc
M = C= 1800 oV',96 (« + y) = i9»59'5i',85.
Pour rendre le triangle ACM rectiligne, il faut retrancher de chaque angle 3 < = o",32 ; donc ces angles deviennent
AC
sin y'.. .
sin C
AM — 48o65-63
trouve de même
CM = 23i7om,g7
, d’où...
DM = CD — CM = 1 1993”, 1 1 .
Le triangle DMR, où l’on connaît DM, l’angle DMR = G , (ou i9°59'5t',,85; et MDR = i34°r i'i4'>78 qu’on a mesuré, donne de même MR = 1 9745”, 90.
Et ainsi de proche en proche. On obtiendra donc enfin la longueur de tous les arcs partiels , et par suite de la méridienne entière. 11 faut observer que les angles opposés au
MESURE DE LA MÉRIDIENNE. l5g
sommet, tels que M, bien qu’étant égaux, ont des excès sphériques, différens, comme étant parties de triangles différens. Ainsi quand on réduit aux triangles rectilignes, ces angles cessent d’être égaux.
166. C’est ainsi qu’on a trouvé l’arc de méridienne qui traverse la France, depuis Dunkerque jusqu’au parallèle de Montjouy, près Barcelonne : cet arc est de 55 1 584,7 toises. Le mètre était alors inconnu, et c’est la toise qu’on a employée à cette mesure. Cette distance équivaut à 1 075 o5g mètres.
L’arc est de 9°4o'24")a4*
En outre, on a calculé des arcs compris entre les parallèles de quelques stations dont on avait trouvé les latitudes; ce qui a permis de comparer entre elles les longueurs des degrés à ces latitudes. Nous reviendrons sur ce sujet, lorsque nous aurons développé la théorie de la figure de la terre, (n° 187).
167. Depuis les premières opérations, on en a entrepris de nouvelles pour prolonger l’arc du méridien.
i°. Le général Roy l’a étendu jusqu’à Greenwich près Londres. Le travail de ce savant, exécuté avec un soin extrême, et des instrumens différens des nôtres, s’accorde à , donner aux triangles dujnord de la France exactement les mêmes élémens qu’on tire de la base de Melun , quoique ce général soit parti d’une autre base mesurée à Honslow- Heath, en Angleterre, avec la toise anglaise.
2.0. M” Biot et Ârago ont prolongé du côté du sud l’arc du méridien, et l’ont étendu au-delà de Barcelonne, jusqu’à l’île Formentera , la plus australe des Pithiuses ; et M. Arago seul l’a prolongé jusqu’à Mayorque. Nous-avons déjà fait observer ( p. 142) qu’il existe un ,triangle , le plus grand de tous ceux qu’on ait employés jusqu’ici , dont l’un des côtés a environ 160900 mètres ( 40 lieues et demie). L'excès sphérique est de 3g", et l’erreur des observations seulement de x",5g4. Cette opération est une des plus belles et des plus précises qui aient été exécutées.
CÉOMOBPHIE.
On a latitude de Greenwich = 51*28*39*, 5 de Formentera = 38.3g. 56, o-
arc de me'ridien de J2°48'43",5
C’est le septième du quart de méridien de Paris, mesuré dans une région que coupe par moitié le parallèle moyen, ou de 45°-
Au reste , nous exposerons plus tard un procédé analytique qui n’exige pas qu’on ait sous les yeux une figure représentant les positions relatives des stations, et qui fera connaître la longueur de tous les arcs partiels, ainsi que l’arc total du méridien. Ce procédé a aussi un moyen de vérification ; il consiste à projeter tous les côtés, soit orientaux, soit occidentaux des triangles , par des arcs perpendiculaires à la méridienne principale. La somme de ces projections respectives donne l’arc total.
Le procédé que nous avons décrit peut également s’appliquer à la détermination d’un arc de parallèle à l’équateur. Nous donnerons les formules relatives aux usages qu’on fait de ces arcs pour connaître l’aplatissement de la terre et la forme de ce sphéroïde.
Sur la figure de la terre.
168. La terre est un globe à peu près sphérique ,?dont nous voulons connaître la forme avec précision. Lorsque du rivage de la mer, on commence à apercevoir un navire au loin, avec une lunette, ce sont les voiles, c’est la mâture qu’on découvre d’abord ; on ne voit le corps du vaisseau , que quand il est àssez près de la côte; et comme les dimensions de cette masse auraient dû la faire apercevoir avant les mâts , il faut en conclure que le corps du navire était caché par la rondeur de la surface de la mer. Les voyages de long cours conduisent souvent les navigateurs aux régions les plus éloignées ; ils font le tour entier de la terre , et reviennent au point de départ, en marchant toujours dans le même sens, ou du
FIGURE »E, tA TERRE. l6l
moins en suivant une route sinueuse dont ou peut conserver la trace sur une carte, et qui équivaut à celle-ci. Enfin, quand on s’avance vers le nord, la hauteur du pôle sur l’horizon augmente de plus en plus, et au contraire on cesse d’apercevoir du côté du sud certaines constellations qui sont visibles pour nons : des étoiles que nous voyons &e coucher du côté septentrional, ne peuvent plus atteindre l’horizon de ces contrées. Des apparences opposées se font remarquer lorsqu’on frôêède vers le sud ; le pôle nord finit par se cacher sous l'horizon, à mesure qu’on découvre d’autre^ constellations australes qu’id nous ne. pouvons.jamais >Yoir, , „►
' D 11 1 • !,j '.mil .1 i. .il . f . ■ ■ j i ,.=
169. Ces remarques éprouvent que la terre est un glÿbe isolé dans l'espace ; et à peu près sphérique, et ce fait est confirmé par la forme de l’ombre qu’elle projette dans les éclipses de luneu. ,je : .* , •
- Comme les hautes. , montagnes ne sont que des accidens raies sur la terre; que les plus élevées ne vont guère à plus de deux lieues dans la direction verticale,, quantité à peine sensible quand on la:, compare au diamètre de la terre; 011 doit aplanir, par la pensée, 'ces petites inégalités. Il est donc certain qu’un spectateur placé a\i loin dans les espaces célestes, ne'fpourrait distinguer ces montagnes , et qu’il, verrait la terre sons la forme d’un disque presque; circulaire tels que nous paraissent être le soleil , la lune ejl les planètes. ,
1 Mais si , dans la plupart des cas, ou. es,t autorise àjpgfU'der la terre comme sphéritjue, il en est d’autres où cette approximation ne suffit plus. Des preuves physiques et géologiques conspirent à faire. penser qu’autrefois la terre a été dans un état complet de fluidité , et qu’elle est même encore. liquide dans son, intérieur, sous l’influence d’une énorme chaleur, ainsi que nous le ferons bientôt voir, ha surface s’est refroidie , et en se solidifiant, elle a à peu près conservé la forme qu’elle avait reçue sous l’influence des causes qui avaient . déterminé •eue. foraièU *d n.q. >!• h lu.ô h ... . . ^ '
-.iLerpfatnètes uoufc .offrent, des conséquences analogues , et, il
g2 GÉOWOnWHE.
est bien vraisemblable que ce n’est pas par un simple effet Uu hasard «ne ces corps sont à peu près sphenqucs. L observation montre que les diamètres de Jupiter ne sont pas égaux, et que cette planète, qui tourne, comme la terre, sur un axe, est aplatie de * sur ses pôles. Le «lobe terrestre est pareillement aplati » ainsi que nous le prouverons, et il est nature de rapporter cette circonstance à la meme cause.
,no On a cherché, parla théorie, quelle forme prendrait un «lobe de matière liquide, dont les molécules seraient soumises à leur attraction mutuelle, à un mouvement de.», tation autour d’un axe central, et à une puissance attractive extérieure. S’il n’existait que la première de ce. forces , ■la terre formant une masse liquide et immobile devrait prendre
la figure sphérique.
Mais la rotation diurne de la terre sur un axe constant, cadse delà révolution apparente du ciel étoile et de la succession des jours et des nûits, agissant sur cette masse sphe- Ai», on reconnaît que cette forme n’a pu être durable, et nue le globe a dû se renier sous l’equateur et s aplatir «ux pôles , par un effet de la force centrifuge. Un liquide quelconque homogène, contenu dans un siphon ouvert, doit s’élever à la même hauteur dans les deux branches , parce que l'équilibre e*ige que les pressions produites par -fe pollen, soient les mêmes des deux parts^ Mais concevons, » siphon dont le coude serait au centre de la ’ f*"*
les branches à angle droit iraient l une au pôle, 1 antre à l’équateur. Entraînée par la rotation de la te, Te, cette w-r cbnde brandie décrirait chaque jour le cercle équatorial , e« lé liquide V deviendrait moins pesant : car la force centn-, fu,fo étant Opposée à la gravité, diminue le poids du liquide qui est dan»s cette branche j sans agir sur celui qui est dans Vitefe- Ct puisque la première colonne est moins pesante» étfe fié fait plus équilibre à la seconde. Pour que le» deux poids soient égaux, il faut donc que le liquide s’elevc a une jJjjs grandis hauteur, dans la branche où le poids est moin-
îoogle
FIGURE DE LA terre. i63
■dre , jusqu’à ce que les deux colonnes aient des poids égaux de liquide. • l- ■■ ■
171. Newton a exprimé par l’analyse les conditions de ce problème , et a trouvé que si le gloire terrestre était homogène, l'aplatissement serait (voy. Fig. de la Terre , par Clairaut , 2e partie ri0 ao) ; mais cette hypothèse n’est point admissible. Les densités variables des couches intérieures changent la valeur de cette fraction. 1 , .1. r,. ■
Ce qui tend à prouver que l’aplatissement de la terre est dû à sa fluidité primitive et à son mouvement de rotation , c’est que l’aplatissement de Jupiter, qui est beaucoup plus considérable que celui de la terre, est aussi produit par une rotation plus rapide. Les taches qu’on voit à la surface de cette planète ont permis de mesurer la vitesse de ce mouvement et de reconnaître qu’elle est presque triple de celle de la révolution diurne de notre globe, et comme en outre le volume de Jupiter est 1281 fois celui de 1a terre, la force centrifuge y est beaucoup plus grande , et produit un aplatissement que , par le calcul, on prouve être 24 fois plus for J. Il est, comme on voit, très vraisemblable que la terre et les planètes orit été autrefois fluides. i ; 'f' ‘ 1
Quoique nous De sachions pas comment la densité varie dans l’intérieur de la terre, sa fluidité doit rendre la masse croissante vers le centre. Clairaut a démontré (Fig. de la Terre, partie, n° 38) que l'aplatissement est moindreqtte dans le cas de l’homogénéité , ce que nous trouverons conforme à l’observation ; ainsi l’hypothèse de la fluidité se trouve justifiée. Mats pour trouver à priori, et théoriquement , la forme que prend ua sphéroïde liquide de densité variable, soumis à l’attractioq ^nutuelle de ses molécules et à une vitesse de rotation , .il faut connaître la loi des densités , savoir s’il existe un noyau central , et quelle est sa figure , sa densité, etc. (Voj. l’ouvrage cité et le 3* livre de la Mécgn.
céleste > J .
rh»* r.f
■7a. Soit PMA (fig. 71) une section du sphéroïde pàr l’axtt
CÉOMOBPHIE.
de rotation PC, qui est' celui des pôles. On sait, par l’hydrostatique, que les éq. de la surface du corps {voy. ma Mécanique , n° 322), et des couches de niveau sont
* ■ • v y (S.dx -f- Y djr + Z dz) ±= constante ;
,xy,z sont les coordonnées d’une molécule quelconque, sollicitée par les forces accélératrices' dont X , Y et Z sont les composantes parallèles aux axes rectangulaires. La masse est - supposée fluide et incompressible ; or on sait que
• ■ t®. Xdx + Ydy-j-Zdz doit être une différentielle exacte, ou du moins rendue intégrable par quelque facteur.
2°. L’éq. exprime cette propriété importante de la surface libre, que la direction de la normale en un point quelconque coïncide toujours avec la direction de la force qui agit Sur la molécule.
Appliquons cette théorie au cas où les molécules sont soumises à une force attractive vers le centre C, en raison inverse dn carré des distances, et à la force centrifuge due à la rotation autour de l’arc CP des y. En désignant par k la force
d’attraction à la distance 1 du centre C, elle est — à la distance r, sur la molécule M, en faisant CM = r-, les cosinus des angles que fait la direction de cette force (selon CM) avec
les axes, sont - , - ; ainsi les composantes dan* le sens des axes r r
kx ' kr sont r et — — .
Eh outre, soit f la force centrifuge à la distance 1 de l’axe CP de rotation, elle esl= fx pour la molécule M, puisque cette force croit proportionnellement à la distance MO=ar.
F.Ue se confond avec sa composante dans le sens des X ; celle suivant les^- est nulle.
Nous n’avons pas égard à l’axe des z , et nous faisons Z =0, puisque , dans l’état des choses , la surface étant de révolution, les molécules de tous les méridiens se comportent de même ,
FIGURE DE LA TERRE. l6$
el que nous avons pu raisonner sur l’un d’eux PMA; ainsi l’on a
ce qui change notre e'q. fondamentale en
tfï*L+f±+pxJz=
const.
Et comme r* = x* + J-3, rdr= xdx -f jdjr-, on trouve
— kj'~+ jfxdx, 0\x~+'~ = const.
En faisant le rayon polaire CP = i , on a pour le point P, r=i etx=o : ainsi la constante = Æ. Faisons l’angle MCA= 9, d’où x = r cos 9 , et
k /r*cos*fl
Pour faire intervenir dans le calcul la condition que le sphéroïde est peu différent d’une sphère, faisons r= i -p- u, u sera une petite quantité variable avec les divers points M de la surface. Or notre équation donne
i/cos*fl =
Jç Î «
r F(r — i) • ku
développant (i + u)~3 = i — 3u, et nous bornant aux termes du Ier ordre, on a
jfcos*i=k(u — 3«*). (i)
Pour une i" approximation, négligeons le terme 3 «*,
ku = {f cos* fl , r = i -f- ^ cos* i ; ’
la surface est donc celle d’un ellipsoïde de révolution , puisque l’éq. de tous les méridiens est celle d’une ellipse dont l’excentricité est Tirant la valeur du terme ku dans l’éq. (0,
l6§ CÉOMOBPHIE.
et substituant pour u sa valeur dans r— i u ,
f « . / 3 f* cos* 8
r = i -+- ^ cos*8 + 3n* ;= i + -^cos’ e -f- — ,
en mettant pour ku sa valeur approchée ~jf cos* fl. Or on a cos*f — cos’ ô (i — sin“<), ce qui change notre dernier terme en
^7 cos* 8— cos* » si n* 8 â= ^ cos* « — ^7- (2 sin I cos 6)* ;
' = ■ + (à ^ f£) eos'
donc
Telle est l’éq. polaire du méridien, en se bornant a» i*r ordre de u. Eu prenant 8 = 90°, ou a r = 1 = CP , ce qu’on sa-
vait déjà ; faisant S = o , il vient r — 1 + ^ + -^7 = CA :
ainsi le sphéroïde est aplati aux pôles, et le rayon équatorial GA excède celui CP du pôle. Le rapport de l’excentricité de l’ellipsoïde de la »"• approximation , à l’excès dont il s'agit est
celui de à — ^ 4- , ou de 1 à 1 + Or, /est la force
centrifuge sous l’équateur (à Fort peu près , puisque CA diffère peu de CP), force qu’on sait être le 289* de la gravité k. Ainsi l'excentricité a augmenté du 200* de ce qu’elle était d’abord, et comme les observations ne peuvent saisir une aussi petite difl'ér., on n’a aucun intérêt à supposer au, sphéroïde une figure autre que celle de l’ellipsoïde de révolution.
{V oy. n° 5qi , T. II de la Mécanique de M. Poisson.)
1 73. Les physiciens attribuent la forme aplatie du sphéroïde terrestre à un état primitif de fluidité. Comme cette hypothèse surprend au premier abord , et que l’étonnement est augmenté surtout lorsqu’on apprend que cet état existe encore sous la croûte mince et solide qui recouvre notre globe, et est , produit par une prodigieuse élévation de température qui ne se dissipe pas avec le temps, il importe , avant d’aller plus loin , de mettre ces faits eu évidence. Nous ne pouvons mieux
