CN

cos Z ÿ ]

Ae2 sin Z

y 1 — e2snr*vZ

ç‘ sin2 1

— — Ne* sin Z.

I céOMOBPniE.

178. Ou a souvent besoin de calculer l’angle CMN an i (fig. 78) que fait le rayon terrestre CM avec la verticale MN du lieu M dont la latitude est / : cet angle très* petit est d’un fréquent usage dans la théorie des parallaxes. Voici une formule propre à déterminer l’angle i.

Connue i = MBQ — MCQ, MBQ=/, et Ÿ B*

taug MCQ = — tang/, on trouve (éq. 7, p.35)|

tang / — 5. tang / £ 1 — (1 “")*[] **ng /

tang i *=. gr~ T

’ ,+Âit*ne*z 1 p) tang*/

à cause de — = 1 — Multiplions haut et bas par cos*/,

G-fO ■■

siu / cos /

1 sin’/-| sin* /

tang i

et effectuant la division,

G a r — 4 sin’/ — asin*/) 71 . . ,

f~ —p p» — ’ •J8,n Z cos k

• j- * r. /! ' .• . • 1 1'» ! :ia/ t • * 4 a:

Or d’après les formules connues, , ... ,

sin 7I— 2 sin /cos / , cos 3/=ços / (i — 4 s*n° 0 » c os 2 /= 1 — asin*/ ,

donc on t

sin a/ sin / cos 3 / sin* / sin L l

. il •Jfl.111 >12 J * Ti< . 1. O . A/*azr btif.i, nii ’imij

Le second terme ne s’élève jamais à 2", 3, }oiratqu’q& prend

. , ; . sin 2/

p = 28o ; aussi se borne- t-on Ordinairement® tang t= ,

ou plutôt, en exprimant l’arc1 i en secondes (n° 34) , à

’ : : J sin a / . )

1 /Tibr?- ’ I

ELLIPSOÏDE DE BÉVOLUTION. * 175

Si l’on conserve les deux première termes , précision qui dépasse tous les besoins, ou trouve, d’après l’éq. (20), p. 36, en exprimant l’arc » en secondes,

sin 2 l sin l cos 3/ psini" />’sin 1"

Telle est la valeur, en secondes, de l’angle du rajron terrestre avec la verticale du lieu qui a 1 pour latitude.

On a coutume d’appeler latitude géocentrique l’angle. . . MCA = ï qui est la hauteur du pôle pour un spectateur qui serait transporté du beu M au centre de la terre et aurait CM pour sa verticale. L’angle i est la quantité qu’on doit retrancher delà latitude apparente ou astronomique / = MNV pour avoir la latitude géocentrique MCA, V — l — i.

Nous avons d’ailleurs trodvé plus haut Téq.

A1 tang/' = B1 tang/, qui à cause des éq. (1) et (2), revient à

tang/' = (1 — e*) tang/ = (t— tang L

1 79. On trouve encore l’angle» de la manière suivante. En re-

prenant notre première valeur de tang », q»u est. ^ ^ BMaïïg7/’

, sin l

et mettant pour tang l sa valeur ,, on a

î , ( CO&» •

(A“ — B”) sirt l cos l ' > (A* — B*) sin 2 1

Unfi 1 ~ A“ cos* / -f- B* sin’ l 2A* — 2( A* — B’) sin*/’'

Mais 2 sin’ / = 1 ■ — cos 2/, ainsi

(A’ — B1) sin 2 Z (A*.— B*) sin a l \ i.

tang 1 ~ aAa— (A*— B’)(i— cosa/) — A“4- B’+(A’— B*)cos 2/ :

pnfiu posant pour abréger &>

tang i =

K sin 2/ t + K' cos al*

1^6 ' GÉOMOBPHIE.

Dans cette expression facile à développer en série convergente, . B *

on trouve , a cause de — = i — -,

11 est commode de re'soudre en table cette formule, afin d’y trouver, pour toutes les latitudes l, la valeur correspondante de l’arc ».

180. Quoiqu’on fasse rarement usage du rayon jdc courbure del’ellipse au point M , nous donnerons la valeur de ce rayon (Cours de Math., n® ^35) r 1 U

vAAt-cVy . •

en faisant c*=A’— B*=AV. Donc, à cause de B’=A*(i — c‘‘), on a

- cVf ;j A r e*cos»f "V

* “ A’ V > — \/T=ï'V i — e’sin'/J ’

d’où

loi)

i — ea

, (i — e’sin'f)*

181. Soient G et H (fig. 8oj deux stations, doilt la distance GH = <f ; l,a normale N = GI. Le petit arc terrestre 9 se confond sensiblement avec l’arc de cercle G1I, décrit du Centre I. Du rayon IL = 1, traçons l’arc LO = a. Ici a ,<p,N sont rapportés à la même unité de mesuré IL (mètre, toise. . .). On a 1 : a :: n : y, d’où - > ' - *'■

<p = Na = N (a*) sin 1",

en désignant par (a") le nombre de secondes du petit art a (p. 37 ) ; A désignant toujours la demi-grand axe , on a

\ c . i ri

9 [/' (t — e?si A a — A(a") sin 1",

ELLIPSOÏDE DE «ÉVOLUTION. I jq

en mettant pour N sa valeur (6). Développons le radical ç> l/T — e’sin*/

A sin i* <P

a = (au ) sin t",

„ . . - etsin*/*

A sin i \ 2 8

i p — Aa (i -+- -j e* sin*/ -f- -J e* sin4/ . . .).

Comme e * est une petite fraction, ces séries sont très convergentes ; elles servent à traduire les arcs terrestres en secondes de degré , et réciproquement les nombres de secondes en distances itinéraires, a est la longueur de l’arc semblable à tp, mais décrit avec le rayoq^i .

182. Développons selon les puissances de e’ nos autres expressions. Le rayon R (fig. 78) s’obtient d’abord, en négligeant le 5e ordre :

R = A l/(i — 26*810“/ Tf-e1» sin’/) (1 -f-e*sm*/ + e»sin4/) = A l/(i — e*sin’i H-eïsin*/cos*7)

= A [1 — -j-e* sin’/ -f-'je4 sin*/ (4 — 5 sin* /)]

; e* sin4 /.

sin’/

5 sin* 2/'

en développant la puissance 7 du trinôme. Celte série exprime •la longueur du rayon terrestre pour le lieu dont la latitude

est /; A est le rayon de l’équateur, e l’excentricité, - l’aplatis-

seinent. Lorsqu dn néglige les e* ou p’, 011 aé = - (éq. 2), et

. A sin* / A *

A — R = = — (1 — cos 2/).... (q)

C’est Y excès du rayon de l’équateur sur tout autre rayon terrestre. On réduit aisément cette expression en table , d’où l’on tire le rayon R à toute latitude / ; -mais il faut connaître A et p. En conservant /j’, on trouve

, n A f ■ „ 5 sin* 2/ \ . %

Au reste ce dernier terme est ordinairement négligeable.

«ft

I78 GÉOMOHPIIIE.

i83. Ou développe de même la normale N,' le rayon x de parallèle, le rayon g de courbure (fig. 78) :

N = A(i — e’sin*/) 3 =A (1 -b-je’sin’Z-f- ^e<siu</), (n)

x' = N cos / = A cos / ( 1 — f- -5- e* sin*/ + etc.), (12)»

Ç = A ( 1 — e*) (1 — e* sin* /) J= — , f « 3)

= A ( 1 — e*) { 1 -f- 4 e* sin’ l -f- ~ £ sin* / } . ( 1 4)

i84- Observez que le zénjlh de M est eu Z (fig. 78) sur le prolongement de la verticale NM; mais si l’on suppose un spectateur place au centre C , il voit le point M dans la direction CMH , et H est appelé zénith vrai ou géocen trique , pour le distinguer du point Z, qui est le zénith apparent. De même l’angle MNV est Ja latitude /, qu’on distingue de l’angle MCA , qui est appelé la latitude gèoeentrique : l’augle CMN = HMZ = j, que fait la verticale avec le rayon terrestre, est la différence entre ces deux latitudes. Ces grandeurs entrent dans les calculs astronomiques, «1 nous avons donné (u° 178) des relations analytiques entre elles.

1 85 . Désignons par s la longueur d’un arc de méridien terrestre, portion d’une ellipse. En différentiant l’éq. (4), on trouve

di

sin l.dl 7 >

(1 — e* sin’ /)*

et comme , dans le triangle infinitésimal Mmo, on a Mm, ou

, dx .. >

ds — — > — — -, il vient

sin/

(1 — e‘) dl

e dl .

(1 — e’ sin’ /)*

Développons en série la puissance — mais ne poussons d’abord les calculs que jusqu’aux e* ; nous avons

ds = A dl (1 — é’ -f- j e* sin1 l) (17)

Cette éq. donne approximativement la distance itinéraire ris

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