COJ

d’où

si é(l — '-d)

cos

iao. Les éq. (A), (B), (C) sont d’un fréquent usage en géodésie. La i** fait connaître la différ. d des latitudes ( fig. ’jçf), et par suite la latitude de la station M’, V — l—d;

La 2' donne la différ. P des longitudes ;

La 3' l’azimut z’ du côté MM' vu de M', sur l’horizon de cette dernière station. Mais il y a quelques remarques à faitge. t°. Nous avons supposé que la Terre est sphérique , a°. Jeta désignent, dans l’éq. (A), des longueurs d’arcs de cercle pris dans la supposition que le rayon est 1 , ces arcs mesurant les valeurs angulaires l — l' e^ MM'. Pour que ces.arcs a et Soient exprimés en secondes, il faut les changer en «sin 1" et d yn i", savoir : # ,

- d — a cosz 4- -*•«' sin 1' tang l sin 'z

— i a* sin “i" sin ”* cosz ( 1 <+• 3 tang“f ). . (A')

* avec • d=.l — L, l' ~l — d.

' 221 . On peut d’ailleurs chasser d et T des éq. B et C ; car cos l = cos (/ — d) = cos l cos d ( 1 -f- tang l tang d) ,

AZIMUTS, LONGITUDES, LATITUDES. 20g

substituons dans l’éq. (B) , P cos t = a sin z ; mais faisons tang d= d, cos d= i, attendu que voulant nous borner aux 2“ puissances de a qui est déjà facteur, il ne faut admettre dans l’éq. (A) que le i" terme d = a cos z ; ainsi. . ......

a sin z

cos T = cos / (i + d tang /), P = ^ (i +d tang Z)

asm a a sir

P= r- (i—d tang l) =

cos Z ° cos

et

j (i— acoss tang/), tang /

Paa r — - aa siu i" sin 2z.^$~, . . . . (B')

cos Z 2 cos Z

en exprimant a et P en secondes.

La fraction de l’éq. (C) est = sin / — cos Z tang i d, ou = sin Z — j d sin i” cos /, par la même raison que ci-dessus , ou = sin/ — j a cos a cos / sin 1" : multipliant par la valeur <B') de P , on trouve enfin

z'— 1 8o° — a-j-asinatang/ — ^a’sini" sin 22 (i-j-2 tang1/)... (C') ; a et les deux derniers termes sont exprimés en secondes.

222. Jusqu’ici nous avons regardé la terre comme sphérique; restituons la forme ellipsoïdale. Désignons, comme cidevant, p. 172, par e le rapport de l’excentricité au demigrand axe A, par N la normale en M (fig. 85)

N = —r — ; la normale en M' est N' ; Z et Z' sont

y 1 — e’ sin* Z

les zéniths des deux stations sur les prolongemens de leurs normales.

Or, concevons une sphère dont le centre serait en N, et qui aurait MN pour rayon. Le plan passant par N,M et M' coupe cette sphère selon un arc de cercle qu’on peut sensiblement regarder comme ayant même longueur que quoique sa position soit un peu différente. En effet , l’arc MM' est toujours très petit, et l’on voit par la valeur de CN (n° 177) qui est de l’ordre e’, que cette hypothèse est tout-àfait admissible. Quant au nombre de secondes a de l’arc p ,

2ie > OltoMORPHTE.

noas en avons donné la valeur n* 181. Nous ferons bientôt nrte application de cette formule. '

la sphère dont il s'agit ici est NpMM"; les plans méridiens NMP,NM'P, conduits par l’axe et les deux stations, coupent sa surface selon des arcs de cercle pM ,/>M' , et forment le triangle sphérique pUM' pour lequel tout ce qui a été dit

ci-dcssus sera vrai. 4

Observe z cependant, cjue les aénlths Z ©t Z de> lieux M etM * sont sur les prolongemens des normales différentes NM,N'M', qui sont les verticales de ces stations » ces normale» ne concourent pas. On peut bien assimiler MM' à un arc de cercle en ce qui concerne sa longueur, mais non plus quand on a égard à sa forme et à sa direction.

En M, fa latitude astronomique, ou lai hauteur do pôle est l’angle MNV = l; celle de M' est M'N'V' = L, qui diffère de M'NV appelé ci-dessus l' ; L et Z sont les complémeus de» angles pN'M' et />NM. L’angle NM'N' = * est formé par la normale M'N' avec M'N ; quoique très petit, il n’est pas négligeable. , . -

Menant N6 parallèle à M'N', on voit que l = L + i.

Noùs avons fait précédemment d—l — ; mais icidn’est plus la différ. des tatitudes des deux stations , puisque celle de M' est L, et non pas V . Soit D= l — L, différ. des latitudes sur le spbéroide , on a

Ainsi pour avoir D, puisque d est connu, il ne s’agit que de trouver la valeur du petit angle i, et de l’ajouter à la valeur trouvée pouT d par l’éq. (A), dans le cas où la terre est censée splxirique. On connaîtra ainsi la différ. D des latitudes s«r le Sphéroïde. Le triangle NM'N' donne

sm t