Le rajon étant i, on a tes séries suivantes
et A- A'
a "*'2.3.4 2....( sin'A Ssin'A 2.3 2,4-5
(16) sioA^i
(18) arcA =
(19) langA = {20) arcA=: langA — ^ lang'A +^Ung'A— - lang'A..., {21) «-=, + *l.„ + |l.„ + ^l.«,
Dans ces séries, A désigne la longueur d'un arc pris dans le cercle dont le rayon est 1 ; M est le module ou le logarithme tabulaire de la base e du système népérien; c'est-àdire que M est le facteur constant qui , multipliant tous les logarithmes népériens, les change en logarithmes tabulaires : I ■ u est le logarithme de la base a pris dans le système dont la base est e-, on a
Pour les logarithmes de Briggs et de Callet , dont la base est 1 o , on a les valeurs -
M = 0,43429 44819 o325i 82765, logM= 7,63778 43ii3 oo536 77817, c= 2,7.828 18284 59045 ^3536, M=log«=~
33. Enfin n désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est i , ou le rapport de toute circonférence à son diamètre , on a
s=3,i4i59 26535 898, logjr = o, 49714 98726 941.
34. Soit a la longueur d'un arc de cercle dont le rayon estR, {«") son nombre de degrés; («'), («") le nombre de minutes et de secondes de cet arc; fi" le nombre de degrés de Varc égal au rayon; fi', p" les nombres de minutes et de secondes de cet arc; on a la proportion ., ,,, . H:f-::«:(..);
don i on tire
on aurait de même
ainsi dans tout cercle de rayon R ,
Bla-j^p'a,, n(u-) = ^-a, K(«")=p" = , et le rayon du cercle étant pris égal à l'unité linéaire, on R ^ I , on a
On tire de là, en considérant c[ue les arcs de l'et i^sont sensiblement égaus à leurs sinus, et en faisant R ^ i et (a") = i8o", a = îr,
„ 180" I e , ^ tt
„» = 54Ê222!. = .^ = 2o6264",8oG25,
'^ it sm i
log(i''=: 1.75812 26324 09'32> compl. l(^fi''=2,24i$7 73675 90828,
lOgf*' =3 3,53627 38827 92816,
compI.log(Ji'^ 4^,46372 61172 o7i84 = logsin 1'.
log[i"=: 5,31443 5i33i 76459, compl.logf»'' = 6,68557 48608 2354. =logsini''. Donc quand une équation contient un arc déterminé par sa longueurs, le rayon étant i,onckangeraoLen[a")sio 1, et cet arc sera exprimé par son nombre de secondes { « " ) .
TniGONOMÉTRIE RECTILIGKE. 4l
35. Soit K la corde d'un ai-c doiit(a°) est le nombre de degrés ; on a
K = aRsm~ (a").
36. La 3urfaceSd'uiitriaiiglerectilîgnedonta,&,csont les trois côtés, R le rayon du cercle circonscrit, r celui du cercle inscrit, est telle, qu'on a
en posant
37. Résolution des triangles rectangles. — Dans les équations suivantes , A désigne l'angle droit , a l'hypoténose , £ et c les deux autres côtés , B , C les angles aigus qui sont respectivement opposés à £ et c {f'g. 33) :
ib =a cosC = iïstnB, c =b laDgC = ftcotB,
38. Résolution des triangles obliqaangles. — On a les équations
, ,, siuA sinB sinC
(aS) fl'=6' + c'— aiccosA.
A, B, C représentent les trois angles du triangle; a, b, e les côtés qui sont respectivement opposés à ces angles
i^'' cas. — Étant donnés deux côtés et un angle opposé à l'un d'eu^, l'équation (a4) donne le deuxième angle opposé; et comme le sinus de cet angle répond à deux arcs supplémentaires , on a , en général , deux solutions , à moins que les conditions ne rendent l'une inadmissible.
3* cas. — Étant donnés deux angles et un côté , on connaît le troisième angle , et l'équation (24^^211 connaître les deux côtés.
3' cas. — Connsissaat deux côtés b et c et l'angle com^
nigtijeUi-vGoOgle
pris A , on a
d'où
^(C + B) = m = 9o»-iA, ^(C-B) = «, et cnlin
Autrement. On pose
2 Sin ; A fr-T-~
tangf = -— ^-^/{ic).
Cette équation donne l'arc auxiliaire f , et ensuite on a
4* cas. — Connaissant les trois côtés a, b, c, on trouve un angle  par les équations suivantes, dans lesquelles
Autrement. On trouve les deux segments x ety formés BUr la base a parla perpendiculaire abaissée du sommet A {fis- 3a) , par les équations
les angles B et C résultent ensuite des équations c cosB^:f, b cosC^j".
5* cas. — Triangles isocèles. — En faisant 6 ^ c et B = C , la base est a , l'angle du sommet A ; on a
b sifl — As= ~ a ^x p — b ,
ji-vGooglc
TIIIGOKOUÉTBIB RECTILIGBE. 43
Commeon doDDe deux des quaatilés B, bel a, la troisième résulte évidemment de l'une de ces deux équations.
39. Comme il faut être exercé aux applications des formules de la résolution des triangles , nous donnerons ici les valeurs des côtés et des angles de triangles , auxquels on potura appliquer ces équations. On prendra pour données les parties élémentaires qu'on voudra; les autres seront les inconnues que le calcul doit faire trouver. En variant les éléments donnés , on se proposera divers problèmes qui s,eront résolus par les formules qu'on a exposées, et ce seront autant d'exercices utiles de ces sortes de calculs.
Triangle rectangle d'épreuve.
lt)s= i-7553aîri i.65S3g3o I.533454Î
loEsin 8 = 9.9030900 MsB. . .9.7781515 tangB... o.ia^gîSg
Triangle ohUquangle d'épreuve.
càrfa. LooABCTBiiEs. 105/5=1.0357459
a = 57'°,770 108 = 1.7617034 logfp — a) = 1.7059406
6 = 71 , 577 loB = 1.8647735 los(p — *)=i.568îq5î
e = 87 , 81 1 log = 1 .9435489 \os(p-c)=i .3173947
A = 4oo56'oo',oo 9.8i6î6û9 9.e78îi86 9.9381403
40. Trouver la largeur d'une rivière , d'un étang, etc. , et en général la distance à un point inaccessible. Supposons qu'on ne puisse atteindre le point C [fig- 34)? ^' qu'on veuille trouver la longueur ÂC : on mesurera une base AB, et les angles A et B du triangle ABC ; puis, en résolvant ce triangle, on obtiendra le c6té AC
Observez que si l'angle A est droit, et l'on peut souvent le construire tel à l'aide de l'équerre ou du graphomètre, etc., le triangle ABC est recUngle , et le calcul devient irès-fa-
.vGoogIc
cile , c
AC= ABUDgB:
et même si l'angle B est de 4^ degrés, cotmne A6 = ÂC, l'opération se réduit à mesurer la base AB. Ainsi , en s'éloignant de A dans la direction AB perpendiculaire à AC , jusqu'à ce que l'on trouve, avec l'équerre, que l'angle B= 4^°, on a tout de suite la distance demandée AC.
41. Troufer la distance AC (fig, 34) entre deux points A et C, quand un obstacle interposé empêche de voir l'un lorsqu'on se trouve à l'autre. On stationne en deux poinis B et D sur une direction rectiligne BÂD passant en A, et l'on choisît ces points tels, que l'on puisse voir C lorsqu'on est en B et en D : on mesure les distances AB , AD, et les angles 6 et D. Ensuite on résout le triangle BDC dans lequel CD connaît le côté BD et les angles, et l'on calcule le côté BC : enÛn on résout le triangle ABC , où l'on connaît les côtés AB, BC et l'angle B compris, et l'on obtient la distance demandée AC.
42. Trouver la distance entre deux points AetC, Vun et Vautre inaccessibles {fig. 35). On suppose, par exemple, qu'une rivière passe entre le champ BD, où l'on se trouve , et les signaux A et C; il s'agit de connaître AC sans traverser la rivière. On mesurera une base quelconque BD et les angles que font en B et en D tes rayons visuels dirigés aux points A et C : on résoudra les triangles ABD, CBD, où l'on connaît un côté BD et les angles adjacents, ce qui donnera les distances BA , BC du point B aux deux signaux inaccessibles : enfin , résolvant le triangle ABC où l'on connaît les deux côtés BA , BC et l'angle B compris , on trouvera la distance demandée AC.
43. Un triangle ABC (fig. 35) étant donné, troat^rle lieu d'un point D, en connaissant les angles ADC ^ S , ADB = y. Ce problème trouve son application dans «n cas qui se rencontre quelquefois en faisant un l«vé topogra-.
TRIGONOVÉTKIE RECTILIGNE. 4^
phique. Trois points A, B, C sont marqués snr un plan où l'on voudrait fixer la place d'un quatrième point D qu'on a oublié dans l'opération. On stationne «n D et l'on y mesure les deux ang]es S et y; les valeurs de ces angles suffisent pour déterminer le lieu du point D.
Donnons d'abord une construction graphique qui a presque toujours l'exactitude suffisante. On décrit sur le côté AC un segment de cercle capable de l'angle ê; puis sur AB un segment capable de l'angle ■/ ^^Cours de Mathématiques pures, n° 208, IV). Le point D demandé est à l'intersecticm de ces deux arcs de cercle. Il pourrait arriver que l'un de ces cercles passât à la fois par les trois points A, B, C ; alors le problème serait indéterminé ou absurde, selon que l'autre cercle serait ou non dans le même cas.
Le procédé analytique que nous allons donner a plus de précision. Soient a,b,c les càtés ; A , 6 , C les angles donnés du triai^le ABC ; désignons par x et y les angles inconnus ABD, ACD; il s'agit de trouver ces deux angles, et le problème sera résolu. Les triangles ABD, ACD donnent [équation {24}] =
sin e sin ,
Soit calculé un angle f, tel qu'on ait csinë
(0 '^"Sf^Âii;^;'
d'où l'on tire [équations {7) et (i5}]
ï + lang f sin :c -J- sin /
t — tang f sin j — sin j" ou ■
(2) lang (45' + 0) = : n ;■
Faisons , pour abréger,
on connaît m, puisque la somme des quatre angles du quadrilatère valant 36o degrés, on a
ara =7 a -1- j- = aeo" — { A + CDB) , savoir,
(3) ra=:i8Q''-i{A4-6 + 7)-
Ainsi l'équation (i) donne l'arc auxîliairef , (3) l'arcm, et enlîn on tire de ( a)
(4) tang n = teng m . cot {45° + y). Une fois m et n conous, on a
a: = m-+-«, y := m — a , ce qui complète la solution du problème. On peut même calculer les longueurs AD, CD et BD.
Ai. Trouver la longueur BD^x (fig. 36) d''un des segments de la droite AH , connaissant les deux autres segments AB = a , DH = b , ainsi que les angles a, S , y , sous lesquels, d'une station quelconque C , on voit les longueurs AB, AD, AH, distances des points B, D, H à ^extrémité A.
L'angle extérieur d'un triangle étant égal à la somme des deux intérieurs opposés, on tire des triangles ABC, ACD, ACH,
angIeCBD = A + a, aogleCDH = A + e, angleCHI = A +7. Mais les triangles ABC, ADC donnent [équation {M)] BC sinA CD sinA
a sina a -f- a: sin G
d'où, en divisant membre à membre,
TBIGONOMÉTRIE KECTI LIGNE.
De mâme les trîaDgles BCH , DCH donnent
sin(A + '/) CD sipfA + 7)
b-t-^ sin{T— «)■
s ~!in(
DC (S+»)s,
CD »ùc(,
d'où
égalant
ces deux valeurs ,
1 vient
«sine (* +
+ :c)«ne i
nni,-o
il),
disiu
CsinC-
8in«sin(7-
Pour résoudre par rapport à j; cette équation du deuxième degté , on pose
4at sine!in(ï — a)
et l'on a
L'équdlion (i) fait coonaitre l'arc auxiliaire f, et ron a «ifîn
On ne prend que celle des deux racines qui est positive, ÎVotre solution suppose que le segment inconnu x est intermédiaire entre a et b : s'il en. était autrement , on prendrait soit a, soit b, pour inconnue dans l'équation cîdessus , qui ne serait plus que du premier degré.
43. Réduire un angle, toi point ou une distance à l'horizon. — U est rare que les signaux soient dans un plan horizontal-, alors ce ne sont pas les angles observés, le» disUAices mesurées qu'il faut porter, avec le rapporteur et le compas, sur la feuille du plan qu'on veut tracer, maïs
hien\eurs projections horizontales (n**!)- Ainsi, lorsqu'un signal D {fig, 3i) est observé des stations B, C, qui sont dans un plan horizontal su-dessus duquel D est élevé, comme lorsque D est le sommet d'un clocher, d'un arbre ou d'une montagne, il faut substituer, sur le plan, au point D , et aux angles DCB , DBC , leurs projections horizontales A, ACB, ABC. De même lorsqu'on a mesuré une longueur CD sur un terrain en pente , il ne faut porter sur le plan que la longueui- AC qui en est la projection horizontale.
Et d'abord, dans ce dernier cas, le triangle rectangle CAD donne les équations
CA =CDcosDCA, ou 3;=acose,
en désignant par a la longueur mesurée, par x sa réduction à l'horizon , et par 6 l'inclinaison de la pente. Pour mesurer cet angle 6, il n'est point nécessaire de voir le point A, projection de D, attendu qu'on tourne le graphométre sur son genou pour mettre le limbe veitical , à l'aide d'un lîl à plomb; puis on pose un petit niveau à bulle d'air (n" Si ) sur le diamètre principal de l'instrument, afin de disposer ce diamètre horizontalement (fig' 33). Dans cette situation, on dirige l'alidade ou la lunette au signalD, et l'on obtient l'inclinaison d. ( Voyez page ai.)
Le plus souvent, l'angle 6 n'est que d'un petit nombre de degrés , et la valeur x = a cos 9 ne se trouve pas avoir assez de précision. On préfère calculer la correction que a doit subir, c'est-à-dire l'excès de a sur x ; savoir
à cause de l'équation (G) [page 38] : et comme l'arc - d est
très-petit et ne diffère pas sensiblement de son sinus, on peut remplacer ici le sinus par l'arc , sans que la constmc -
nigtijeUi-vGoOgle
TRIGONOMÉTRIE RECTILIRHE.
lion qu'oD en déduira puisse altérer le résultat^ a
Enfîn , remplaçant la longueur de l'arc 6 pris dans le cercle dont le rayon est i , par le nombre de minutes 6' de cet arc (n" 34), ou flpar Ssini', il vient
Telle est la quantité qu'il faut retrancher dé la longueur mesurée a pour la réduire à l'horizon; mais il faut que l'angle 6 de pente ne soit que de 3 à 4 degrés au plus, et exprimé en minutes : on a
log -sin' i' = 8.6264223-
On abrège les calculs en formant une Table des valeurs de z, où l'on trouve à vue ces corrections pour toutes les inclinaisons de minute en minute. IVous retrouverons plus tard une occasion d'appliquer cette théorie (n° 127).
46. Supposons que des stations C et B, on ait observé un signa] élevé D (^g- 3i) avec un instrument impropre à réduire les angles à leur projection horizontale : comme c'est le point ordinairement invisible A qui doit être marqué sur le plan, le triangle CDB doit être remplacé par CAB. En se plaçant successivement en C et en B , on mesurera , avec un graphomètre dont le limbe est vertical , les angles DCA, DBA ; on mesurera aussi la base BC ainsi qne les angles DCB , DBC , en disposant le limbe dans les plans respectifs de ces angles.
On résoudra le triangle obliquangle BDC, où l'on connaît un côté CB , et les angles adjacents C et B, et l'on en déduira les longueurs CD, DB. Alors, dans les triangles rectangles verticaux ADC, ADB, on aura les longueurs AC et AB , qui détermineront le triangle BAC , et par suite
nigtijeUi-vGoOglc
ao TOPOGHAPHIE.
la projection A. Nommant B,C,D les angles du triangle DBC, dans l'espace; d\a base BC, on a
wnD:ii::sîiiC:BD::ainB:CD, /
d'où '
rfsinC „„ rfcinR
BD = -T-=-t CD
et
D sioD
rfsiaBcosDCA
sinD i^sinCcosDBA.
rfsinCsinDBA
sinD ~~ sinD
Ainsi , on connaîtra :
i". La hauteur AD de la sommité D au-dessus de l'horizon des stations B et C ;
2". Les trois côtés du triangle ABC, ce qui détermine la projection A de cette sommité, ou sa place sur le plan;
3°. Les angles de ce triangle, projections des angles observés B et C , et de l'angle CDB au sommet D.
B faudra, pour obtenir l'élévation totale du sommetD, ajouter à la hauteur AD donnée par le calcul , l'élévation du centre du graphomètre au-dessus de l'horizon de B et deC.
-47. Quand le pied A d'une hauteur verticale DA est accessible, on fait une seule station en C, et l'on mesure l'angle vertical DCA et la distance AC : alors, dans te triangle rectangle DCA, on a
AD = ACtangDCA.
Et lorsqu'on ne peut arriver au point A, comme quand on observe le sommet D d'un clocher ou d'un édifice , d'ua signal élevé sur ime montagne^ etc., on fait deux stations, l'une en C , l'autre en F, dans la même direction ACF ; de ces points C et F, on mesure les angles verticaux DCA, DFA, et la distance CF. En résolvant les triangles DCA,
WIVELLEMEST.
DFA , OH a
AC = ADtotC, AF = ADcolF; retranchant mrmbre à membre, il vient
CF = AD(oo,F-co,C) = i5ïîiS^; ^ ' sinCsinF '
(î'où l'on tire
An — <^FXsipCsinF
*" sin(C-F) '
telle est l'élévation du sommet D.
