On trouve encore l'angle i de la manière suivante

En rejwenani notre première valeur de tangi, qui est

(A' — B'I UncI * 1 sini

* '- H , et mettant pour tanef sa valeur — -,) on a

A" -H B'tang'/ *^ ° cos/

(A'— B')Bin/coB/ (A'— B')sin2f

'""S' = A'cos'Z + B'sin'/ " 2 A'- 2(A'- B')sin'/'

nigtijeUi-vGoOgle

I^ GÉOHORPHIE.

Mais

e ~ aA"— (A'— B')(i — C0S2/) A'-t-B'+(A'-

niin posant, pour abréger, — — ^=K,

Ksina^ tangi=-

Dans cette expression , facile à développer en S'

, B I gente , on trouve , a cause de - = i >

Il est commode de résoudre en Table cette formule , afin d'y trouver, pour toutes les latitudes /, la valeur correspondante de l'arc i.

180. Quoiqu'on fasse rarement usage du rayon p de courbure de l'ellipse au point M , nous donnerons la valeur de ce rayon (Cours de Mathématiques, n" 735),

JW~-

en faisant c' ^ A* - B'= A» (i — e'),on a

d'où

181 . Soient G et H [fig. 8o) deux stations, dont la distance GH = If ; la normale N ^ GI. Le petit arc terrestre y se confond sensiblement avec l'arc du cercle GH , décrit du centre I. Du rayon IL := i , traçons l'arc LO = o. Ici a, y, N

nigtijeUi-vGoOgle

ELLIPSOÏDE DE RÉVOl

soQt rapportés à la même nnité de mesure. IL (mètri;, toisEj etc.). On a

d'où

iji = Na ^ H(a")Bin i",

en désignant par (a") le nombre de secondes du petit arc a (page4o)-, À désignant toujours la demi-^rand axe, on a

y V "— e'S'n'' = Afl= A{fl'') sini", en metunt pour rf sa valeur (6), Développons le radical

„ f \/i"—e''sm'l , »v ■ „

(" )= Asim« ' a = (a")siiii",

^ ' ASIDl"\ 28/ (p = A(( I I -H-c'sin'/+^e*sinV. . . . |-

Comme e* est une petite fraction, ces séries sont très-convergentes; elles servent à traduire les arcs terrestres en secondes de degré, et réciproquement les nombres de secondes en distances itinéraires, a est la longueur de Tare semblable à ip , mais décrit avec le rayon i .

182. Développons selon les puissances de e' nos autres expressions. Le rayon R [fig- 78 ) s'obtient d'abord , en négligeant le cinquième ordre :

R = A y/(i — ae'sin'/ -1- e' sinW) (1 -f-e' sinV + e' sinW)

^A^{i — e'sin'(-(-e'sin'/cos'/) = A[i-i^sln.( + l.',in.;(4-5.m'«] / sin'i 5 sin'aA

en développant la puissance - du trinôme. Cette série

exprime la longueur du rayon terrestre pour le lieu dont la latitude est l\ S. est le rayon de l'équateur, e l'excentricité,

nigtijeUi-vGoOgle

11)1 CÉOMOKPHie.

- l'ai^alisBaiieiu. Lorsqu'on oblige les e* on p*, od a

P [éqoaUoD(3)], et

C'est l'excèj «iu rayon de l'équateur sur tout autre rayon terrestre. On rédait aisément celte expression en Table , d^où l'on tire le rayon R à toute latitude /; maïs il faut connaître A elp. En conservant />*, on trouve 5sin'zA

(lo) A — R = - (sin'/-

e'sÎD

cosMi +

/ + ete.V

— e'wn'

An reste , ce dernier terme est ordinairement n^ligeable.

183, On développe de même la normale N, lerayonx' de parallèle, le rayon p de courbure {Jig. 78) :

(il) N=A{i— e'wD'/)"^=A(i + ie'wn'i + |e'MO'/')

(12} x' = Mcoï/.

184. Observez que le zénith de M est en Z {fig- 78) sur le prolongement de la verticale NM ; mais sî Ton suppose un spectateur placé au centre C , il voit le point M dans la direction CMH, et Hest appelé zénith -vrai o\x géocentrique , pour le distinguer du point Z, qui est le zénith apparent. De même l'angle MISV est la latitude /, qu'on distingue de l'angle MCA , qui est appelé la latitude géocentrique : l'angle CMN = HMZ = i, que fait la 'verticale avec le rayon terrestre, est la âi£férence entre ces deux latitudes. Ces grandeurs entrent dans hs calculs astronomiques, et

n,gt,.etiNG00glc

ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION. iq'A

nous avons donné (n** 178) des relations analytiques entre elles.

48S. Désignons par s la longueur d'un arc de méridien terrestre, portion d'une ellipse. En différent! a tit l'équation ^4)) (>° trouve

et comme , dans le triangle infinitésimal Mmo, on a

Mm oi

Il ds=—-

il vient

(( — c'sin';)'

Développons en série ta puissance — -> mais ne poussons

d'abord les calculs que jusqu'aux e' ; nous avons

(17) ds=&dl[i-e'-i--t'^a'i).

Cette équation donne approximativement la distance itinéraire </5 entre deux lieux voisins , sur un méridien, rf/élant la différence de leurs latitudes : on prend pour / la latitude du milieu de cette petite distance. Pour en faire usage, il

faudrait connaître A et e*, ou l'aplatissement — Réciprcp-

quement cette équation peut donner l'une de ces constantes, lorsqu'on a mesuré ds. C'est ce qui va ctre expliqué.

186. Mais auparavant remarquons que l'équation (17) a la forme

rff = K+Hsîn'/j

K est Ja valeur de ds à l'équateur où ^ = o ; ds' ='K.; ainsi

dî — ds' = IIsinW;

donc les degrés du méridien croissent en allant de l'équateur

nigtijetii-vGoOgle

1^4 CÉOUOKPBIE.

au pôle; et les accroissements sont proportionnels aux carrés des sinus de la latitude.

Le même théorème a pareillement lieu pour le rayon R, la nonnale N et le rayon de courbure p.

187. Prenons, en deux contrées, les longueurs <jli etds' de deux arcs de méridien , sous les latitudes / et l', et tels que leur diSerence en latitude des deux extrémités soient la même, dl = dl'j par exemple, prenons deux arcs de un degré chacun, dl = dl' = &TC de i", l'équation (i6)

î'sin'/'

fis — ds'

3 ds sio'i — ds' sîn'i'

Ainsi ,' ayant mesuré les longueurs ds et ds' de deux arcs d'un degré de méridien aux latitudes / et l', cette formule

fera connaître e' et l'aplatissement - : on obtiendra en-

suite le rayon éqnatorial A par l'équation (i6), où cette constante est seule inconnue. On a

A:=— ^(i — «'sin'if = 'fc(i+«*+^)(i— -e*«nW. ..).

A=<fa[n- - iî'(2 — 3sin'0 4-<f*(i — - sin'/+ g sin"/)].

Tous les éléments du sphéroïde terrestre seront donc connus, et nous pourrons en introduire les valeurs numériques dans nos équations, afin de vérifier si elles satisfont aux observations, et confirmer ou détruire la supposition que tous les méridiens sont elliptiques etîque la Terre est , un sphéroïde de révolution.

188. Nous appliquerons cette théorie à un exemple. Le tableau suivant est extrait de la Mécanique céleste, et d'un travail de M. Airy, inséré dans V Encyclopédie métropolitaine : les mesnres géodésiques qni sont données dans ce

n,gt,.etJNG00glc

ELLIPSOÏDE DE BÉVOLUTIOM. IgS

tableau sont celtes qu'on regarde généralemeot comme étant les plus dignes de confiance. Nous avons marqué d'un * les nombres de M. Airy.

Angleterre. ■ .

An triche

Italie

Peasjifanie. .

Cap de B.'Esp.

Inde

Pérou

Manpertuie.

Swanberg. .

Roy, Kater.

Liesganig. , Cassini, La Caille.

Detambre . . .

et Méchaio..

Biot, Arago.

BoBcowich.

et Lemaire.

el Diion. . .

Lambton

W. Everest

Bouguer.'

el I.a Condamini

Prenons les arcs extrêmes et celui de France comme les mieux situés et les plus dignes de confiance, et faisons usage de la théorie précédemment exposée , savoir :

/= l'ar o", di =110582°', ds'—ds=526, rf/ ^ 111108, ds" — rff = 906, ds"= 111488.

L'équation

rf* = K + Hsm'/

donne [équation (i3), page 38]

d/ ~di~ H(sin'f — sln'/) = H sin {i' + /) si

*&" - r/*= H sin(r -f- /) sin (r - 0'= 90<>

,G(.)(.5glc

I()6 CÉOMORPHIF

Vérifions si ces expressions

sont de

nature à former une

proportion

loegoo.

('^-I = 46»îî' î'

loRS

l'-iz^ii.io. 1

loft"

log.

loRS

Ainsi , au lien du quatrième terme 5^6 de la proportïou, le calcul nous doune 536,9 ■ '^ différence de ces nombres est, comme on voit, assez petite.

Voyez d'ailleurs ce qui sera dit sur les nombres de ce tableau n-" 1 90 et 191 .

En outre, si l'on introduit ces valeurs de dsel ds' dans l'équation page igS, on en tire pour la valeur de e',o,oo6354 et 0,006463 , quantités sensiblement égales , et dont la différence peut résulter des erreurs d'observation et de ce que les séries n'ont été approcbées qu'au deuxième ordre. On trouve ['woj'ez ci-après équation {22)] quep est entre 3io et 3i4î ainsi on obtient pour raplatisscment à peu près j^y. ) Le degré de méridien sous l'équateur n'est surpassé que de 906 mètres par celui de Laponie ; ce qui montre que la Terre est presque spbérique, et explique pourquoi l'aplatissement est si faible.

On reconnaît donc, d'après cette première approximation, que, si la Terre n'est pas rigoureusement un ellipsoïde de révolution, comme on )'a supposé, du moins elle en diffère très-peu , et cette vue suffit pour nous porter à pousser les séries plus loin, pour donner plus de précision aux calculs.

189. L'arc de méridien qui traverse la France, de Greenwicb jusqu'à Formentera , a été mesuré avec tant de soins, et par des savants si exercés , que cette opération mérite la plus grande confiance. Voici le tableau des résultats [Système métrique, tome III, page 549)- L'arc est coupé en

n,gt,.etJNG00glc

fici;ke de la tekhe. 197

six parties par des stations dont les latitudes ont «lé déterininéiis avec une extrême précision.