Appliquons cette théorie à un exemple
On a mesuré deux arcs de nxéridien en des contrées trèséloignéeSi savoir : l'arc du Pérou , par Bouguer et La Condamine, et l'arc de France, par Delambre et Méchain. Nous préférons ce dernier à celui de Laponie, parce que l'opération présente plus de précision. On trouve (Système métriquej lome HI, page 107 et i33) ,
iui... /=+o<ȕ'3.'' -3.4.31
Dunkerque. , , HontjoaT
Couhfnqu
Tarqui. .
U Mlcul donnt
î9,Mi
A = îîi86,i8, * = -i53i9,83, et enfin les équations (34) et (11] tont connaître e' eXp, laToir ; e"= o,oo64ilSo44i P = 309.67.
Delambre trouve par erreur p ^ 3o8,fl5 .
D'ailleurs , depuis l'époque où ce savant a écrit, on a reconnu que les triangles de Fontainebleau jusqu'à Bourges étaient mal conformés , et par une meilleure disposition on a trouvé que l'arc de méridien devait être augmenté de 34<4o toises j en sorte queS = 55i6i7 toises, ce qui conduit à p = 3o6,556. (Voyez la Description géométrique de laFrance, tome VIjpages3o6, ^^i, etc.)
An Dépôt de la Guerre, on a adopté p = 3o8,64 dans les calculs relatif à la grande carte de France. Ce nombre esta fort peu près celui qu'on lire de l'opération géodésïque faite en Laponie, par Swanberg. On voit qu'en défi-
nigtijeUi-vGoOgle
ao6 GÉOMOitPiiifi.
nitîve ces valeurs de l'aplatissetnent ne diûêrent qu'à peine de ~ qu'on tire des inégalilës lunaires, et que tout s'accorde à faire préférer comme méritant le plus de confiance.
201 . Voyons à tirer de dos données précédentes la longueur du quart Q du méridien. Comme l'arc du Panthéon à Montjouy {n" 188) remplît à peu près la condition l-i-î' = Qo°, nous appliquerons l'équation (a4) *tix valeurs indiquées dans le tableau cité :
La substitution de ces nombres dans nos formules donne
Q = 5 i3o 4oS toiees, nombre iadépendanl de e', K = 1 ,00486536, 13 = 0,00487510, ■/ = 0,000009750,
«■=0,0064^816, A = 3 571 39a toisea, B = 3 260 8a8 toises,
Différence, A — B = io564 toises.
202. On a défini le hêtre la dix millionième partie du quart du méridien Q. Multiplions la longueur ci-dessus de Q par 864 pour la réduire en lignes , et nous trouvons que le mètre devrait être formé de 443,^7 lignes.
Mais la Commission des Poids et Mesures ayant arrêté son travail avant les dernières opérations de Delambre, avait pris jj^ pour l'aplatissement terrestre. Cette donnée , introduite dans l'équation (24) î donne Q = 5 1 3o 740', 74o74' On adoncdûëtreconduit à des résultatslégèrement ineicacts. Toutefois, on a jugé à propos de conserver la détermination prescrite pour le mètre par la loi du 19 frimaire an VIII {10 décembre 1799), qui fixe le uètbe légal à 443"*)296 de la toise du Pérou, enjer^ à i3 degrés de Béaumur, ou 16" -J- centigrades du thermomètre à mercure. Ainsi,
I mètre =- 443'>>9B lignes, log— 3.64669 38i75 40S681
= 36,94i3î33 pouces, log =1.56751 ^5664 9^9433
= 3,0784444 pieds, 1db = o. 48833 1ÏÎ04 453i85
=;0,5i3074o74o74 toi'ea, 10^ = 1.71018 00700 616749
Le mètre n'est donc pas, en toute rigueur, la dix milliouième partie du quart du méridien. Ici qu'on l'a trouvé
FIGURE DE Ll TERRE, 207
par un calcul plus précis. M. Biot a cependant fait voir, dans son astronomie physique (tome I, page i6i), qu'en prenant pour base des déterminations l'arc de France prolongé jusqu'à Formentera, on trouve à peu près l'aplatissement ~ , qui ramène au mètre légal.
303. Concluons de cette exposition que les opérations géodésiques et les méthodes de calcul n'ont pas encore permis de trouver avec toute certitude les valeurs de Q et de e*} que les travaux de nos successeurs pourront quelque peu modifier les nombres qui nous paraissent le mieux établis et conduire à d'autres résultats. Cependanlon ne pouvait dilTérer de donner aux mesures une longueur exactement définie, ce qui a fait adopter le mètre légal de 443''^i39^i et comme cette longueur est extrêmement voisine de la véritable, on pouvait, sans înconvément pour la pratique, l'adopter comme définitive. Quels que soient les progrés futurs des sciences, il ne sera jamais utile de modifier ce nombre j il salËra d'avoir une idée nette de ce qu'il représente.
304. Prenons donc cette longueur du mètre l^al pour unité, et adoptons l'aplatissement ^ = 309, 65; puis substituant ces nombres dans nos équations, nous obtiendrons pour la moyenne des grandeurs de Q en France et au Pérou ( voyez Système métrique , tome UI , page 1 3 5 ) :
Q = S i3i [II toises, l0([ = 6. 17011 i/iogSoï,
= 10 000 751,64874 mètraa, log = 7 . Oûooî i339743,
log {~\ = 6.51409 i53a8 en toisée = 6.80391 '4^*7 en mètre».
J = ï^ = °''^'''^^'^' W = î-5<'9.i90, «■=0,0064484758, log = 3. 80945 ^i,
- = 0,996770547 = 1-^, los = T. 99859 51970,
loga = 0.00110798, logC^ 3.68Soo5o, log -y^=- 6.G877957.
A = 3 371 847.7 Wise»! log = 6.5i4-79 ^oiH,
= 6 376 949)9 mètres, log=:G. 80461 3oo53,
B = 3 361 378,7 toises, Iog = G.5i33g 817^3,
= 6 356 355,8 mitres, Ioe = 6.8o3io 8^033.
aËOHORPHIE.
N = A-t-\'siii'I + B'»in*l, 1obA'=4.3i3o4oï 1obB'= 1.9975587,
loBN = logAH-A"sin'/-*-B''flîn'(, lcigA'= 3. 14631 15 1<^B'= 6.65^6387, T = Nco.I, . loBp ='iï.38796ii4 + 31o8N,
p = 63358î7-(-Csm'/+D8iii'(, logC = 4.7873119 1060 = 2.6937191, R = A — V»m'I — Psin'l, lag V = 4 3ioî3o4 logP=!i.5i94074,
logR = logA-V'nn'J-P'sin'/, logV' = 3 1434018 logP'=5.i3 17600.
Un arc s commençant à réquateur et terminé à la latîlude l , exprimé , dans le premier terme , par son nombre / de degrés sexagésimaux, est [équation (iS)],
i=:Ei — Fsiii2/ + Gsin4', logE = 5.0457888, logF = 4, 1887785—, logG = 1 . 1885691 . L'arc d'un degré de méridien terminé à la latitude / est [équation (20)]
H= III M9'",3 — F'cos(2/+ i") -H 0-0052(2/+ 1°), logF' =: a. 73i6638, log G' = 0.03241 79.
Degré moyen en France = 57020 toises = I II i34 mètres.
Le cercle dont le rayon est x' a pour circonférence 3 itx' ; la longaeur du degré de parallèle sous la latitude l est [voyez équation (ai)]
logrf=: 5.0464904 + logcosf-t- A" sin'/4- B" sin'i, en prenant ci-dessus les valeurs des logaritlunes de A" et B". 205. JVous avons dit que l'aplatissement— , déduit des inégalités lunaires, doit être préféré, lorsque l'on considère le sphéroïde terrestre entier (*). Voyons à calculer nos formules dans cette hypothèse.
('] M.deZach donne en (oiaea les équations «uÎTanUs pour l'aplntissen)ent;l7,qDipeat«reBubatitnéBenBiblenientàceluidii Dépdl de 1> Guerre,
e'i=o,oo64^"<'6, log -e* = 5.5079375, longueur d'un de^ri de méridien , a la latitude l ,
= 57oo6',8 — a77',6i7C0Ba/,
riGUlB DE LA lEAUE. iOQ
Nous conserverons la valeur obtenue ci-devant : Q = 5[3i III toises =» 10000521 ,64874 ""èfes.
i = ji^ = 0,0033787, l(^ = 3.5i570 01606 53,
e'=,-^^ = o,oo654 6617» 5o74, loff = 3.8i6oi 76139 39, 1 = 1^ = 0,9967» .Î.14 75, loB = T.99B57 37«î4ï.
|; = i-e' = o,99345 3Î757 49î6, . log = T. 99714 74884 84, lo5« = o,ooQi4 01784 n, 1086 = 3.6946. 83698, ioB-:"=6.7oo9i 65173,
A =; 3 171 938,179 toises, log = 6.5i48o 37751,
= 6 377 107,018 mètres, 105 = 6,80461 37053, B = 3 161 100,319 toises, l0G = 6,5i337 75195,
= G 356 198,470 mèlrei, los = 6.8o3i9 74494. Ponr la lalitude I on a , en mètrei, N = A+A'ïinM-è-B'sm*/, logA'= 4. 3196113, lofB'= 3.0106904,
loeN=logA-(-A'gin'I-l-B''Biii'/, 108*'= 3.1537719, logB'^ 6.6677597, ^'^Neosi, l(^p =74.3878999 -^ 3 1<^S,
p=6335357-i-CBiB"I-i-Dsin'I, 1obC=;4.7938Bo», 1080 = 3.7068078, R = A-Vsiii'J— Psin*/, !ogV = 4.îi675S8, 1<^P = 3.iïa5397,
loBR = loeA — V'sin'I — P'sin'/, It^ ¥'=3.1499193. logF'=5.i44B8o9. Le rajon inoyeD , k la latitude de 4^ degrés , est
R = 3 366 573 toises, log = G.S140914,
= 6 366 669 mètres, I<% = 6.8o39ll3.
Un arc s, partant de l'équateur et terminé à la latitude f,
longueur d'un degré de parallile, i la mâme latitude ,
= { 57099',47 — ]83'.95 sin' I h- ot,88837 sin' /) cosl. Ponrce mime aplaliisement 7^7, Laplaco donne les longueur* suiTaatcs des demwiet {$)-ilime du Momie, chapitre i4)>
A = 6 376 fio6 mètres, B = 6 356 ii5 mètres. H. dePronj (tome I, page 3o8 dosa Mécanique Slati^vf) donne les formules pour l'aplatiiwement -^ adapté par la Commissioii des Poids et Hesores :
loBe'= 3,77663381 «lie a pris Qss 10 000 734 mètrea daus ses derniers traïaui,
log0'= 3.8108714, logAs= 6.8046154, logB = 6.8o33o6o.
3IO ÇÉOUOBPHlE.
est exprimé ainsi (dans le premier terme, l désigné un nombre de degrés)
* = Ei — Fsin 2/7!- Gain 4^.
logE = 5.0457887397, IogF=4. 19535957,
. logG = 1.2016577.
La longueur de l'arc d'un diegré du méridien, <îe la latitude/— I à /, est
H= IM ug^yioô — F':cos(2/-!- i") -t- G'cp8a(2/4- 1°), . IoeF' = 3.7382449-^, It^G'= 0,0455969.
I(^(i^5.o465oix -f-logcos/ + A"siii'/-(-B"Mn'7, A" et B" ont leurs valeurs ci-devant.
206. Quoique nous ayons déterminé nos grandeurs par des séries , il est souvent plus commode de se servir des formules complètes, page 187, etc. Nous prendrons pour exemple de ces calculs l'aplatissement ■— , que les dernières observations du pendule en divers pays paraissent recommander.
Prenons la latitude deParis,/:=: 4^"^ <*'' 4"- ï^ deuxième équation {5) eit
- 2e'sin'^-l- e*sin'/
-.Goot^lc .
FIGURE DE LA T&ItHE.
Voici le développement des calculs [équalion (5)] :
(îSoJV,
.,oo6884ee
. Vuyee ci-après.
R 6.8037554.., R = 6 364 370° = nijon tOTTBBtro.
Voici le calcul!^ A [équatio[i(i6)]. Pour^ = 390, on trooTei
logQ = 6. 9999697.
Od omet ici le cslcul , en tout semblable k celui de la p^e loS, e des latitudet de Hooljoa; et d« Dnnkerqoe.
Facteur. -
ï o.3oio3(m
Ti ■■-0.49T499
Calcul de la normale N [équation (6)].
■sin'I.. — T.gggiSii
= 6 Î76 74D'" = rayou équatorial.
Calcul du raïoB de courbure p
[équation (9)].
'-'''= {^) 4-9»'795; numér.
dénoio — 4 ■ 9^47960
117 mèlreB, A' — 13.6091976
p = 6 370 084 mètres, p 6.8o4i45a
Le tout pour Paris et l'aplatisseinent — -
Sur l 'usage des arcs de parallèles à l 'équateur.
207. Le procédé le plus propre à faire connaître l'aplatissement de la Terre consiste à comparer, comme l'a fait M. Puissant, un arc de méridien avec un arc de parallèle. (Voyez Connaissance des Temps, 1827 el i8aS.) Noos reviendrons bientôt sur la détermination des arcs de méridien , sujet que nous avons déjà traité (n* 161 ) ; nous exposerons plus tard les moyens de trouver les arcs de parallèle (n" 250) : voyons à faire usage de ces évaluations.
Développons l'équaiîon (ig) du n" 195, selon les puissances de e' ; nous trouvons pourTarc de méridien S=s — s', terminé aux latitudes /et /'(^g. 78),
7«'(l-f-3*in>cosL} ^le* -
En faisant Lsti-f^/', Xî=:i — V,
I = -il'4-stnlcosL — ^siDa^GOsal..
Ici X exprime la longueur dlun arc pris dafi£ le cercle dont le rayon est i , arc qui est la différence des latitudes dqs deux bouts de S. On calcule ^ d'après ce qui 4 été. dit (d° 34), c'est-à-dire qu'on doit changer dans cette fonaole^ eu -ô~^ ^ - î et désignant par X le nombre de degréi de cet arc.
208. D'un antre côté, x' étant le rayon d'un parallèle à l'équaieur, la circonférence est ^Tix',^tX>=^^-—^ = est
la longueur de l'arc de d degrés. Ainsi, pour le parallèle sous la latitude ç, on a [équation (4), n" 176]
ARCS DE* VAKALLCLES. ai3
Ces équations font connaître les longueurs de deux arcs, l'un S de méridien, l'autre Dde parallèle, pourvu qu'on ait'
le rayon A del'équateur, et e*, ou raplatissement -■
Mais en divisant ces formules membre à membre , A disparait, et il ne reste plus <jue l'inconnue e',
SdcQSf i — ïe'{l + 3sinlcosL) — tï^^ .
Dfi I + -j e* an' f + j o' sin* ^1
nous représenterons parMle premier membre, qui est une quantité connue par des observations.
On voit donc que si l'on a mesuré deux arcs, l'un de méridien, l'autre de parallèle, on pourra tirer de celte équation le nombre e*, et par suite l'aplatissement [équation (aa)], puis le rayon A de l'êquateur, le quart Q du méridien , etc. , comme il a été expliqué précédemment.
Après la réduction au même dénominateur, etc. , on a
209. Appliquons cette tliéorie à l'arc du méridien de France, de Greenvïîch à Formentera, ei au parallèle de Milan. Mous emprunterons nos données au Supplément à la Géodésie de M. Puissant, pages 71 et 91, ou pour l'arc de parallèle qui s'étend du méridien de Paris au dôme de Milan D=53364i",75, arc de 6,856469 degrés. Déplus
Formentera .
/ = 5i»î8'4o',oo MLlan ç. =
) = ia.48.^î,89 S = i lyi'i 637" L = 9o, 8.36,ii
ou trouve bk
la ciKOntérence ayant 1 pour rayon ,
II = o,«,8874.
cB qni conduit k
»,*9' + Ae'=0,
«diulimi d'où l'on 1ère bTaleur de e< par la formule (ïi) F.
