FIGURE DE LÀ TERHE. 20I

en faisant, pour abréger,

' = 64"' il vient, en ÎDtégrant,

(i8) .. = A(.-.')(.;-i6àn2l + ^,«n40.

Comme nous voulons qae l'arc s du méridien commeuce à l'équateur et se termine à la latitude /, nous n^ ajoutons pas de constante, pour que /=o donne s = o.

195. Pour un autre arc s\ commençant aussi à l'équateur, mais terminé h la latitude /', on a de même

s' == k(i~ e) Ur — IStinxr + jy ùa^A-

La différence de ces formules donne l'arc s — s' de méridien , commençant à la latitude /', et terminé à la latitude /,

=a(l~r} 6{sia2l—s\azl'] + -7-iàa^l—s,iait']i

S(sm2f — sia2l') + -j-iàa^t — sin;

faisons

et il viendra , à cause de l'équation (lo), page 38, (ig) S=:A(i— e') lai — SsinicosL-l — 7 sinzlcoszLJ- Cette équation est destinée à donner la longueur S d'un arc de méridien terminé aux latitudes / et /'.

Mais, pour en faire l'application , il faut avant tout connaître les constantesAetc*. L'arc S est exprimé par la même unité cpic Â. Le terme aX est le produit d'im nombre conslanl a par la longueur de l'arc X qui , dans un cercle dont

nigtijeUi-vGoOgle

aoa GÉOMOAPBIE.

le rayon est i , mesure la différence des latitudes / — t des deux bouts de l'arc. Pour la commodité des calculs, ou doit diviser i par le nombre

^=x—— (page4o), C.logfi = 3.24187737,

et remplacer 1 pas — dans l'équatiou (i9). Alors X désigne le nombre de degrés de la difréreace des latitudes extrêmes.

196. En faisant, dans cette formule, l=.l' + i°, on trouve, pour la longueur H de l'arc de 1 degré du méridien se terminant à la latitude /,

(30} H = A(i — e")| ocarci*— esini''cos(2/+i) + -7sin2'cos2(2/-+-i) I

Le parallèle sous la latitude l a pour rayon a:' = N cos / ,

N étant la normale [voyez page 187). La longueur de cette

circonférence est aitx'=: airNxcos/: ziasi tare de

. , , T ,. . Ncos/ I" longitude ^ a ^ — r^ — N.cosi ^ •

lOO" [i

C'est d'après ces deux équations qu'a été construite la Table II, en prenant pour A et e* les valeurs qui conviennent à l'aplatissement o,oo324 = „,',;. Pour avoir logN , ajoutes logA= 6.8o46i53 à tous les nombres de la dernière colonne.

197. On peut se servir de l'équation {19) pour déterminer la constante e' et l'aplatissement; car si l'on mesure deux arcs S et S' de méridiens, chacune de ces-vale(irs connues sera liée à ses latitudes extrêmes par une équation telle que l'équation (19)- £n divisant ces équations membre à membre, le facteur A(i — e') disparaîtra, et l'on aura cette relation , qui ne contient plus que la seule inconnue e* , laquelle entre dans les constautes a , 6 et y :

S ai. — ësinXcosL + -j-^ sin2)i C0S2L S' ~ aV — esinVcosL'4-7ïsinaycos2L"

ji-vGoOglc

FIGURE DE Ll TERRE. 3o3

ici V est la différence et L' la somme des latitudes extrêmes

de l'arc S'.

II reste à tirer la valeur de e' de cette équation. Or,

après avoir réduit au même dénominatear, posons m = SI'— S'a,

R = SsinVco9L'— S'siolcosL, 9 = SsinzVcosxL' — S'unzXcosaL,

on Irouvc

am — fi/r -f — yq =: O.

Sul>stituaiit pour a , £ et 7 leurs valeurs en e*, on a donc

équation oùm, n,t/ sont des grandeurs connues, et qid est de la forme

m — ke'+Ae'=o.

En résolvant cette équation à la manière du second degré , on a

' — — -+- /il — '" — A (^ /~ZÏ^\

Comme e* est très-petit, on n'a égard qu'au signe — du radical, qu'on développe en série par la puissance -t et il vient

Et quant à l'aplatissement, la valeur de e* le fait counattre (voyez page 186), et l'on trouve

d'où

ao4 GÉOHOBPBIE.

198. Ma in tenant que e* est connu, cherchons À, rayon de l'équateur.

Désignons par (^ le quari du méridien elliptique , depuis

le pôle jusqu'à l'équateur : nous avons l = 90° = - 7: dans l'équation (18)

équadon qui donne l'une des constantes A ou Q, lorsque l'autre est connue : elles sont rapportées à la même unité métrique.

199, Divisant membre à membre l'équation (23) par l'équation (19), on a

, ,, „ Tg"S

~ ai. — ësinlcosL+ |ysinaXros2L équation qui sert à trouver le quart du méridien, quand e* esl connu , ainsi qu'un arc S du méridien , terminé aux latitudes l et V. Mais on la simplifie en choisissant cet arc S te! , que ses limites en latitudes donnent l -H f= 90" ^ L : car alors cosL^ o, et la formule ayant d'ailleurs un troisième terme très-petit au dénominateur, se réduit à fort peu près à

Q et s sont ici rapportés à la même unité; / — /' est dans la première fraction lalongueur d'un arc pris dans le cercle de rayon i; mais ensuite cet arc se trouve exprimé par son nombre de degrés à l'aide du facteur p, comme on l'a dît page 40.

Ce que cette dernière expression offre de remarquable, c'est qu'elle est indépendante de A et de c* ; mais elle n'est qu'approchée, parce qu'on a négligé le terme en y, qui n'est pas sans valeur. Il n'en résulte pas moins que si l'on détermine Q par l'équation (aS), en ayant soin de choisir / et /', de manière que l+l' diûère pei\ de 90 degrés , celte

FIGURE DE Ll TERRE. 303

valeur de Q sera très-peu afleci^ de l'erreur qu'on a pu commettre sur celle de e*.

On peut donc regarder Q comme connu , et par suite A , par l'équation (a3) ,