a.gSiÎMS

Distance entre les lieux dont on a la longitude et la latitude.

225, On donne le nom de ligne géodèsique à celle qui est la plus courte distance entre deux points de la surface terrestre : à moins que ces points ne soient sur l'équalour,

. . ..I ,G(.)(.5j^le

aSa cÉoMOftpiiiE.

oa sur un méridien , celte ligne est une courbe à double courbure. En joignant au pôle par des méridiens les deux extrémités d'une ligne géodésïque de longueur et de position quelconque connue , points où l'on suppose qu'on a pu stationner et faire des observations astronomiques , on forme un triangle sphéroïdique , dans lequel on connaît les deux arcs de méridien, colatitudes des stations, et l'angle au pôle qui est la différence des longitudes des stations : il s'agit donc de résoudre ce triangle pour en déduire la distance des stations et les azimuts de la ligne géodésïque.

Ce problème, considéré dans sa généralité, présente de grandes difficultés. Ce même triangle géodésïque donne encore lïeuà un grand nombre d'autres questions, selon qu'on varie les données prises dans ses six éléments. Tous ces problèmes se résolvent en se fondant sur une doctrine qui a fait le sujet des travaux d'Euler, Legendre {yojez les Mémoires de l'j4cadémie des Sciences, en 1806, etc.). Dans ses Elenienti di Trigonometria sferoidica , O'riani a résolu ces problèmes. M. Puissant, dans sa Géodésie, son Essai sur la trigonométrie splicroùliqiie et la Connaissance des Temps du i832, s'est occupé de ces recherches avec le soin et le talent qu'on reconnaît dans tousses ouvrages.

Mais ces travaux, utiles comme exercices d'analyse, ne le sont guère pour la Géodésie ; car, outre que les formules sont très-compliquées, à quoi peut servir de connaître la plus courte distance de Paris à Pétersbourg, puisque mille accidents de localité forcent d'allonger la route d'au moins un quart? ïïous ne croyons donc pas devoir nous arrêter sur ce sujet.

Mais lorsqu'on compare ensemble deux stations voisines, telles que les sommets de l'un des triangles du réseau, il peut être très-utile d'en conuaitre la distance exacte ip, d'après leurs latitudes et longitudes : c'est d'abord un moyen de vérification des calculs; mais en outre il peut arriver qu'on veuille lever la carte d'un pays sans avoir les moyens de mesurer une base, ojKTation toujours très-longue et

nigtijeUi-vGoOgle

AZIMUTS, LONGITUDES, LITLTUDES. • 233

d'une diflicile cxécuiioii. Les localités s'opposent même ïouvcnt à ce qu'on puisse effectuer cette mesure. Alors on peut faire des observations astronomiques du haut de deux sommités pour en connaître les latitudes et longitudes; et ensuite on obtient, par le calcul, la distance réduite au niveau des mers.

226. Sans doute , lorsqu'on doit entreprendre une grande opération géodésique, il ne faut pas l'établir sur une base déterminée par des procédés de ce genre , et se croire fondé à regarder la longueur ainsi obtenue comme ayant une exactitude suftisante pour l'objet qu'on se propose; Aucun ingénieiy ne consentiraîl à employer ce procédé, dout le succès serait trop hasardé.

De toutes les opérations géodésiques , la plus certaine est la mesure directe des bases, lorsqu'elle est faite avec les soins et les précautions que nous avons recommandés : et quelque bien divisés que soient les cercles , quelque parfaite que soit l'esécution des instruments, l'attention la plus minutieuse ne garantit pas au même degré l'exactitude qu'on obtient pour les valeurs angulaires. Trop d'éléments différents se viennent compliquer ensemble pour apporter aux résultats de légères erreurs , qui restent inaperçues; les inccrtitiides des réfractions, les poinlés plus ou moins défectueux , les intempéries des saisons, les fatigues de riogénieur, etc., sont des causes de petites altérations des résultats. La mesure directe des bases, surtout quand on l'obtient deux fois par une marche rétrograde, présente bien plus de certitude. Ainsi rien ne peut la remplacer; sans compter qu'en mesurant plusieurs bases on a le moyen de vérifier tous les résultats de l'opération, puisque liées ensemble par la triangulation , le calcul qu'on fait de l'une en partant de l'autre doit donner à fort peu près le même chilî're que la longueur obtenue dîrectemeni.

227. Mais il est des cas exceptionnels où la méthode que nous allons exposer est précieuse, parce qu alors aucun autre

334 CÉOMOItPBtE.

procédé ne pourrait se rvii' aussi avantageusement. Ainsi, dans l'exemple que nous citerons plus loin (n" 239), comme application de cette méthode, M. Puissant voulait lier la Corse C {Jig. 8i) au continent AB; il s'est servi des opérations géodésiques faites par les ingénieurs, qui oui fait connaître les latitudes / et /' des stations A et B, et la différence P de leurs longitudes, valeurs trouvées par des mesures géodésiques continentales , qui offrent bien plus de sécurité que des observations célestes, toujours longues et délicates. Une fois la distance AB connue, la détermination de la position du sommet C n'a pins de difBculté.

Voici encore un cas où notre méthode peut être employée avec avantage , lorsqu'on a trouvé par des observations directes , les latitudes de deux stations et la différence de leurs longitudes,bienqueces résul tats n'ai eut qu'unecerti tudeapprochée. Comment espérer qu'on puisse faire une carte tant soit peu satisfaisante des contrées de l'Afrique intérieure, dont les habitants inhospitaliers permettent à peine qu'on y pénètre, et s'opposeraient assurément à ce qu'on fit des opérations géodésiques. Muni d'un sextant cl d'un chronomètre, un voyageur peut sans de grandes difficultés s'assurer des latitudes et des longitudes de certaines stations , et mesurer les angles de divers triangles. Les chiffres ainsi obtenus serviront ensuite à calculer tous les éléments de ces triangles; et s'ils n'ont qu'une exactitude limitée, encore seront-ils plus précis que ceux qu'on a eus jusqu'ici, puisque les distances ne sont évaluées qu'en j oumées de chemin,

228. Supposons donc qu'après avoir stationné en deux lieux A et B, et y avoir trouvé des latitudes / et /' et la différence P des longitudes, on veuille calculer la longueur AB , réduite au niveau des mers , de l'arc terrestre qui joint ces stations.

L'équation (A") , page aSo, donne la différence D entre les latitudes de M et M' (fig- 85) , dont l'arc de distance est de a secondes; et l'équation (li), (n" 2i8), donne la

nigtijeUi-vGoOgle

iZlMVTS, LONCITtJDES , LATITUDES. a35

difTérence P des longitudes; dans ces équations z est l'azimut M'Mfn. Renversons le problème : a et z seront les inconnues , et l'on connaitra les latitudes ^ de M , et /' de M', ainsi que l'arc P. Dans ces équationsj^a , D et P sont de petits arcs exprimés en secondes. On a donc (i) flsicî=Pcos/,'

l— I'^ (acosz + -a'sin'3taiig;smi") (i ■+- e'cos'/).

Pour éliminer z entre ces équations, on tire de celle-ci

/ — r— J-P'cosV tanir/sin i"(H-e'co»'/) ucosz = ' f- — - — i -t

et l'on divise l'équation (i) par cette dernière

, , . Pcos/'(n-c'cos'0

f"^ '^"g^ -/- f- .p.co.-rtang/sin,-(. 4- c'co^)

lai / — /' et P sont de peti ts arcs connus par leurs nombres de secondes; d'ailleurs N étant la normale du lieu M, le nombre y de mètres du côté MM', qui est un arc de a secondes, est {n"i81)

^=: Nasin i".

Cette équation (i) donne

,3. «rcosi Miii

'^' ' = STÎ

Ainsi l'équation (2) donne l'arc auxiliaire z qui , Introduit dans l'équation (3) , fait connaître y.

11 convient , dans la détermination de N , de prendre pour

/ la latitude moyenne X entre ItnV, A = - (' + l') '■ mais pour celle de i -h c* ces' /, on doit consei-ver la valeur /.