Appliquons cette théorie à l'exemple suivant

/'=43. i6.32,Gi, i— /'=32'2o",8o., P = 37'58",tJ5. On caltule d'abord i + ir los'/, puis N pour la latitude

236 tiÉOMOr.PillE.

moyciiiit: l^^^Vo^'^Ti"- Woussupposerons é ou p = 3o9,65.

= o,oo64'18i>.

. 1.7x007 3.5îCo:i

i-t-e'cos'i.

, 1.0033 jo

cas V

Bin."

. (i.eS5Û7fe

lang;

8oja797

dénom. =^32.i4i i'i

1og=:3.38654iB p....

La solutiou exacte est

Tir:: 78758"', o53, qui ne diffère de la précédente que de 23 mitliniètres , quoique cette base soit de près de 20 Ueues. [ Voyez la Desvription géométrique (/e la France, page 8t, tome VI du Mémo liai du Dépét de la Guerre (*) j.

Vérification des opérations et des calculs géodèsiques.

230. Lorsqu'on a exécuté une grande opération géodésique et calculé toutes les parties du réseau de triangles

(*) Od n lié nia de Corse à lu Franco , en observant 1c Montc-Citito l'. Uk- Bi} da deiii Blfllions sur le tonlineiit , le Cheiron A. et la Saiivetle H ; ( ol la latitqde A, I' celle de 1) ; P est la ditlcroucc de louve lon^itu<U!> ; il

ji-vGooglc

vÉRiFFCATrOK. a37

dont on a convertie sol d'un État, il importe de s'assurer qu'aucune erreur ne frappe les résullats. On peut se servir pour cela de plusieurs bases, de longitudes, de latitudes et d'azimuts décotes qui doivent se reproduire exactement par le calcul , tels qu'on les obtient par des mesures directes.

Dans le beau travail fait en France pour obtenir la longueur de l'arc de méridien terrestre , et par suite celle du mètre , opération qu'on a ensuite étendue au sol géodésique de la France entière, on a mesuré sept bases , savoir :

l". Celle de Melun ; . 2°. Celle de Vernet à Salées, près de Perpignan, par Delambre et Méchain : nous les avons données (n" 136) ;

3*'. Celle d'Ensishem, dans le Bas-Rhin, par Henry;

4". Celle de Plouescat, près de Brest, par M.. Bonne;

5", Celle de M. Delcros , près d'Aix , en Provence ;

6". Celle de M. Brousseaud , près de Bordeaux ;

y". Enfin , celle de Gonrbera , près de Dax , par M. Corabœuf.

231. Une chaîne de triangles du premier ordre avait été levée par Delambre et Mécliain , dans le sens de la méridienne, de Dunkerque à Barcelone, chaîne qui a depuis été prolongée jusqu'à Fermentera, par MM. Biot et Arago. Ensuite deux autres chaînes méridiennes oot été formées : l'une à l'ouest, appelée méridienne de Saintes, qui va de Bayeux aux Pyrénées; l'autre à l'est, est la méridienne de Sedan, qui s'étend de Mézières aux Boucbeâ-du-Rhône. Il faut encore y joindre la méridienne de Fontainebleau, qui a été nécessaire pour certaines vérifications^ elle va de cette ville à Bourges.

232. Ces triangles ont été liés ensembleet aux bases par six chaînes dirigées dans le sens des parallèles à l'équateur, savoir :

i". De Dieppe à Amiens et Mézières ; a" de Brest à Paris et Strasbourg; 3° de Noirmouiiers à Bourges et en Suisse; 4" de la tour de Cordouan jusqu'en Savoie et à la mer

238 CÉOMOnPHIE.

Adriatifjue ; 5" le parallèle de Rodez, de Bayorme et Autant à Grasse; 6° la frontière des Pyrénées joignant l'Océan à îa Méditerranée.

Ces triangulations, confiées à des ingénieurs d'un rare mérite , offrent des caractères de précision si remarquables , qu'aucun travail de ce genre ne les a surpassées. Pour donner une idée de la précision des résultats , nous dirons qu'en partant de la base d'Ensishem , on a trouvé pour la distance des signaux de Strasbourg et de Donon. ... 4393i'°,6a et que cette même longueur conclue de la base de Melun , à l'aide de 38 triangles , a

été de 43930, 91

Différence o, 71

Cette différence, qui n'est que d'environ 26 pouces ^, montre que les deux bases de départ s'accordent, autant qu'on peut le désirer, puisque , partagée par moitié , l'erreur n'est que le 6200" du côté.

233. Le tableau suivant, extrait du VP volume du Mémorial du Dépôt de la Guerre , page 483 , offre des comparaisons semblables entre les sept bases , et accuse une exacti tud^tonna nte .

Oriani a mesuré une base sur les bords duTésin, laquelle, comparée à celle de M. Brousseaud dans les landes bordelaises, ne conduit qu'à 2 décimètres de différence, quoique de l'une à l'autre il y ait i5o triangles. La longueur de l'arc qui s'étend de Marennes à Fiume , au bord de la mer Adriatique , est déterminée par 80 triangles de premier ordre. ( Voyez le Mémoire de M, Breusseaud sur l'arc de parallèle moyen en France , de Bort-Hemant à Bort-Maimac. )

VÉRIFICATIOM.

direclo.

"r;.rr

mâlrei..

mitru

Mïlun. ...

Perpignan.

JT706,3(„

Melun. . . .

Eosisbem .

Melun- . . .

ir 70540

Brest .

Melun.-..

Mel„n..,,

'jS"7,83

Borileaux .

Enii^em .

Brest

liMsIîî

iil«>,o3i

Perpianan.

Melun....

Bordeaux..

Melnn....

Perpignan.

Aix

80G6, G5 Bordeaai..| 8067,35

„ . ( 8066,44 ( Courbera. { g^g^^J^

234, Nous avons looiitré (n" 217) que, lorsqu'on a calculé tous les côtés des triangles sphéroïdaux qui composent un réseau géodésique, on peut calculer aussi les positions relatives des sommets de ces triangles, savoir leurs longitudes, latitudes, et les azimuts des côtés, connaissant la latitude d'un seul sommet et l'azimut d'un seul côté. Or on peut, par des procédés astronomiques, déterminer directement ces arcs , non-seulement pour une station , mais même pour tous les sommets ; et comparant les résultats du calcul à ceux de l'observation, on en déduit des moyens de Térification.

Par exemple [fig. 74) , si l'angle CAM = a est connu , ainsi que les angles et les côtés du triangle CAB, et la latitude du lieu A , on pourra calculer la longitude et la lati-

u40 (^ËOMOAPIltE.

tilde de C, et l'azimut du cùlé AC, vu sur riiorizon do C On obtiendra de niême la longitude et la latitude de B et les azimuts des côtés BC et ABsur l'horizon deB^ car l'angle ACB est connu, et l'on vient de trouver l'angle AC/. On trouvera ainsi, de proche en proche, les longitudes et latitudes de tous les sommets et les azimuts de tous les côtés. Mesurant ensuite directement ces mêmes arcs çà et là , on obtiendra autant de termes de comparaison.

Mais le résultat du calcul dépend de la valeur qu'on a adoptée pour l'aplatissement . puisque e' entre dans l'étfuation (A"), ainsi que dans la formule du n" 181, qui sert à traduire une distance o en secondes. Cet élément e' influe surtout sur la différence P des longitudes ; le calcul de cet arc doit être regardé comme moins exact que les obsei-vations directes. Quand on aura trouvé Pasironomiquemeut, on pourra chercher, comme on l'a fait n" 200, quetle valeur de e* doit être préférée pour mettre d'accord les calculs et les observations.

Pour éclaircîr ce sujet, nous donnerons ici le tableau inséré, page 139 de la Description géométrique de la France, par M. Puissant, et quelques différences en, azimuts signalées par le même savant dans un Mémoire.

,^é.(qB8..

Oreenwioh (obBervaloire).

5i. i.iifi 48.50-48,6 47. ■iS.. 0,67 46.J0.35,G4 46.,i,59,,4 45-46-45,7 4î-4^,4.,75 43,.2.5.,9 4..'..'i9.7 3S.4o. 1,9

Angei-B (Saiol-Martin)

Évaui...

GenèTC (ancien observaWire)..

véhificatioms. a4i

Si l'on excepte Genève et la tour de ï'orda, les latitudes astroiiomigues et celles que l'aplati sseinent -—^ a données sont en discordance ; et bien que les dilTérenccs soient très-faibles , elles dépassent de beaucoup les erreurs possibles d'observation. On en a conclu que des attractions locales avaient influencé les bulles des niveaux, car on n'a pu réussir à modifier l'aplaûssemcnt de manière à accorder ces latitudes, et surtout les azimuts. Il est, au reste, plus que probable que, même abstraction faite des inégalités montucuses du sol, la Terre n'a pas rigoureusement la forme d'un ellipsoïde de révolution.

En partant de l'azimut de Belle-Assise sur l'horizon du Pantbéon, mesuré avec un soin particulier, on a trouvé que l'azimut géodésiqiic

d'Angers et Lasalle est de io«33'48°,56 au lieu de îi'.SS,

de Soui^es et de Dun-Leroy Sag. 10.C7, 3 4' i 3o,

de Corc»9Bonne et Pfore. ...,,...,, 101. 18.91, 9 5B, o,

de Brérietdu mont Poupe^., 3*9.53.14,87 3;, 0,

de Montceault et du Colombier-, .. 133. 7.31, 3o 6, 55,

d'Opmes et du Puy-de-DAme. .... 1315,19.17, 56 '.74-

Ainsi les azimuts géodésiques diffèrent des astronomiques de — i6",7i, — a6",9o, — 33", 9, — 3 7", 87, — i5",j5,

— i5",8a. Une multitude d'autres diflérenccs de ce genre se manifestent dans tout le réseau géodésique.

Les longitudes observées par des signaux de feu ne s'accordent pas mieux avec celles que donne la Géodésie. Ainsi la longitude géodésique de

l'observatoire do marineà Brest est de. 6oig'^<)',i3 au lieu do 35", 10,

la Qècbe de Strasbourg 5,]4.5}, 73 4^i 87,

ancien observatoire de Genève 3.48.56,91 4o,63,

mont Colombier t 3.a4 77i ^7 53, î8.

Voilà donc des différences entre le calcul et l'observation directe qui , en longitude, s'élèvent à — 14", 12, — 4") 85.

— i6",39et — 23",99.

235. Il résulte de ces considéraiîons que, malgré l'accord satisfaisant que présentent les sept bases ntesurées eu

.vGoogIc

a42 GÉOMOItI>HlE.

France, il est impossible- de concilier entre elles les laUtiides, les longitudes et les azimuts, lorsqu'on les tire du calcul géodésiqiie et de l'observation directe. M. Puissant regarde comme un fait incontestable qu'en cond)inant l'arc du parallèle moyen compris entre l'Océan et Padoue, avec celui du méridien de Dunkerque, qui s'étend de Greennich à Fermentera, l'aplatissement de rellipsoïde oscillateur au point d'intersection de ces deux arcs est plutôt au-dessus qu'au-dessous He 7^ : ce savant l'estime de 775. Cet aplatissement diûêre sensiblement de -jy^ qu'on obtient par des mesures géodésiques de France et du Pérou, fpioique la Commission ait décidé que les calculs de la dé tenpi nation des positions dans la nouvelle carte de France seraient faits sur cette dernière fraction. '

En étudiant avec un soin particulier la marcbe des dilîérences. M, Puissant est conduit à cette conséquence : « que la surface de la France est formée de deux nappes principales, séparées à peu près par le méridien de Paris; que ces nappes appartiennent à deux ellipsoïdes irréguliers, ayant des aplatissements très-différents l'un de l'autre; l'aplatissement est très-petit du côté de l'Océan , tandis qu'à l'est il dépasse beaucoup jj-, ; qu'aucim ellipsoïde de révolution ne satisfait exactement à toutes les stations à la fois , et que la sphère paraît tenir le milieu entre les écarts et avoir la forme qui , pour le sol de la Francei, convient le mieux aux résultats d'observations. Toutefois il existe en certains lieux de fortes anomalies qui accusent des irrégularités locales et font dévier la méridienne de l'Observatoire de Paris delà direction qu'elle aurait sans cela ; dans notre contrée, l'arc de méridien terrestre est une courbe à double courbure trèsprononcée. Enfin, il est incontestable que, quand la direction du fil à plomb, d'où dépendent essentiellement les valeurs absolues des coordonnées géographiques d'un point de la Terre, est troublée soit par l'attraction de quelque montagne voisine, soit parce que la densité du terrain est plus petite ou plus grande que la densité générale de ta

PERPENDICTILAIRES A LA MÉl'.nilENNE. ^4^

croule terrestre, on ne peut vérifier, non-seulement la loi de la variation des degrés des méridiens et des parallèles dans l'hypothèse elliptique, mais, en outre, la relation qui existe, sans cette cause perturbatrice, entre les azimuts et les longitudes sur un sphéroïde irrégulier peu différent d'ime sphère. Ainsi les anomalies nombreuses qui ressorlentdcs comparaisons précédentes tiennent nécessairement à des variations d'une grande étendue dans la nature du sol de la France et de l'Italie, et les mesures géodésiques, comme celles du pendule à secondes, lorsqu'elles réunissent toutes les conditions requises, sont éminemment propres à les signaler aux géologues. »

Des perpendiculaires à la méridienne.

236. Le plan vertical perpendicnlaire au méridien du lieu, étant dirigé de l'est à l'ouest, est ce qu'on appelle le premier vertical: ce plan coupe l'horizon suivant une ligne qui est la perpendiculaire a la méridienne du lieu. Cette ligne peut être prolongée en se servant de la méthode dont nous avons fait usage (n" 160) , pour tracer sur le sol un arc de méridien. On établit une lunette dans la direction du premier côté de cette perpendiculaire, et l'on marque du côté opposé un signal qui So\l situé sur cette même perpendiculaire repliée selon la verticale de cette seconde station. On transporte la lunette à ce signal , et l'on répète la ïiiême opération : et ainsi de proche en proche.

La perpendiculaire à la méridienne est différente du parallèle à l'équaleur, bien que ces deux courbes soient dans des plans l'un et l'autre perpendiculaires au méridien du lieu de départ : mais un parallèle est perpendiculaire à tous les méridiens, tandis que la courbe dont il s'agit ici s'écarte d'autant plus du parallèle <ju'ellc s'éloigne davantage du méridien. Si la Terre était sphérique, cette courbe serait l'intersection même de la surface terrestre par le plan vertical perpendiculaire au méridien, c'est-à-dire qu'elle serait un grand cercle de la sphère, lequel couperait l'équaleur i6.

^44 CÉOMOItFHlE.

un deux poiiiLs diainéiralement opposés., et à 90 degrés de distance en longitude, de part et d'autre du méridien du lieu de départ.

Il ; a plus : dans le sphéroïde , la perpendiculaire à la méridienne est une courbe à double courbure. En effet, i.fiS-7^) lus verticales qui vont toutes au centre de la Terre sphérique, ne concourent plus au même point dans l'ellipsoïde. Si l'on a mené , en un lieu a , la perpendiculaire ab à la méridienne Va , ab supposé un très-petit arc est dans le plan vertical iab, c^ai passe par lanonnale ai. Lorsqu'on se transporte à l'extrémité £ de cet arc, comme la verticale ou la normale en b est bh , coupant l'axe de la Terre en Js , il faut briser le prolongement de ab , pour le coucher sur le nouvel horizon , dans ce deuxième plan vertical cbk : ainsi l'arc bc sort du premier plan vertical. De même, l'arc cd se trouve dans un troisième vertical dcl; ct-ainsi des autres. La courbe abcd. . . , est donc composée d'arcs élémentaires . situés dans des plans verticaux sans cesse variables.

237. La position d'un point M {fig- 84) sur un plan est déterminée par ses distances x ely à deux axes Ax , Ay, rectangulaires et donnés ; ou bien par sa distance AM ^ f à l'origine A, et par l'azimut PAM = z, savoir (F) x^fcoas,- /^asins.

Imitons ce système sur la surface terrestre. Soient P {fig- 8 7) le pôle, PX le méridien d'un lieu A p{& pour origine des coordonnées sphériques^AQ = x, QM ^y, d'un point M, et AQ'^a:', Q'M'^ j' d'un autre point M'. Les ordonnées^,y', sont comptées sur des arcs QM/7 , Q'M'/», perpendiculaires à la méridienne PX.

Si l'on suppose que la Terre soit sphérique, ces arcsQMp, Q'M'p, vont concourir en p à l'équateur, ainsi qu'il vient d'hêtre dit, et^ est le pôle du méridien PX, c'est-à-dire que le point p est à 90 degrés de tous les points du cercle PX. Les méridiens des stations M et M' sont les arcs PM, PM', colatitudes de ces points. Les angles MPA, M'PA sont

nigtijéui-vGoOgle

i A LA MÉRIDIENNE. 34s

les longitudes de ces stations, relativement au méridien principal PX; nolis les désignerons par P et P': l'angle MPM' =; P — P' est la différence des longitudes.

Or le triangle sphérique rectangle PMQ donne [équations (n) et (ç) , page 76], (G) 9in^ = cosi sinP, cotÇ=: — sîn/tangP;

i est la latitude de M , ^ l'angle IMQ , ou l'azimut de MQ sur l'horizon de M, compté à partir du sud. Mais l'azimut du côté MM', vu de M, est cojinu, IMM'= z; appelons r angle QMM'=;iJ', angle donné par (I) ♦ = 5— .

La longitude P du point M de départ est ici > que celle P' de M'; l'azimut z est du côté occidental de la méridienne : s'il était à l'est, comme Jîg. 88 , on aurait P <i P', et l'on fbrait z négatif, car on aurait visiblement

238. Appliquons au triangle sptérique M^M' tout ce qui a été dit n° 217, et les formules démontrées conviendivnt ici; seulement, p n'étant plus le pôle terrestre^ comme l'était P {Jîg. 79 ) > il faudra prendre y? M = 90" — y, />M'^ 90" — y', c'est-à-dire remplacer, dans les équations (A')et (B'), pages(»t4-e*-«+ê^ aj-^'-f/^-jr

i et l' par j- et x't "^ pa"" y~r'i s par ^, et P par l'angle /j ^^ arc Qt^ = j/ — x.

Et même, comme dans les équations (A') ei(R'),d,a et P sont des valeurs angulaires exprimées en secondes d'aics décrits du rayon 1 , et que nous prendrons la normale N

jwur rayon, il faudra sitbstituer ^1 - et ^1 au lieu de

a sini", fîsini" et Psïni", comme n" 180^ pour que if, delV représentent des longueurs métriques. 11 faudra donc

«■n définilivc rejnplacer a sini", eic, par -■, — r; — et

2^6 CllOMOnPHIE.

— ^T — ;et rj,y,j\x et x' seront rapportés à la même unité

que la normale N, qui d'ailleurs est connue (n" 177). Ainsi l'on obtient les équations suivantes pour la^g. 87,

|y ^j' — T cosJi — -^ taogj-.sin'^ '

1 cosj îN cosj-

239. Ceséquations donnent, pour chaque sution M', les deux coordonnées x' et^', l'une dans le sens de la méridienne principale PX, l'autre selon sa perpendiculaire ;>Q'. On déterminera d'abord les arcsj', Ç et il* par les équations (G) et (I), sans qu'il soit néccssaired'yapporterune grande précision; et même, comme on procède successivement d'iu sommet de triangle au suivant , x et / sont connus lorsqu'on cherche x' ety'. Au sommet A pris pour origine, x et y sont nuls, et nos équations se réduisent aux formules (F), au troisième ordre près. Alors (fig. 89) M est situé sur lii méridienne principale, ^ = 90" et ^ = 90" — z.

La valeur QQ'= x' — x, pour tous les arcs MM ' ijig. 87), est leur projection sur la méridienne principale, seldn des arcs pQ, pQ') perpendiculaire à cette méridienne.

240. Il arrive souvent que la longitude P et l'arc y sont fortpecits; alors les équations (G) se mettent sous une forme plus simple pour le calctil. On y remplace les sinus et Ungenles par l'arc , savoir ^ = P cos/, et 90" ■ — ^^ — P sin ^; et comme on veut exprimer l'arc P en secondes, et la ligne jen mètres, on change P en P siui", et/ en —> N éunt la normale ; ainsi l'on a

(K) r=HPsini"cos/,

(L) ç = 90<' + PsiBrsin/.

JVous ferons plus tard des applications de ces fq^nmlcs.