PK0]ECT1UN DE FLAMSTEED
Projection de Flamsteed.
3M. Dans cette projection {fig. i23) la verticale AB du milieudelacarte représente un méridien, que traversent, à égales distances, une série de droites perpendiculaires figurant les cercles parallèles à l'équateur. Ainsi, après avoir tiré la verticale AB, méridien moyen, on y portera des parties égales ab, bc, cd,... destinées à représenter chacune I degré de latitude, et par les points de division &, c, rf, . . . , on tirera des perpendiculaires MN,PQ, RS,..,, (jui seront les parallèles à l'équateur. Cela fait , on cherchera la longueur du degré de ces parallèles sous les latitudes successives MN, PQ,... [^^oyez ci-après), et l'on prendra am, hp, cr,... respectivement égales à ces longueurs. Pour cela on remarqueque ab est la longueur de l'arc de r degré du méridien ou de l'équateur, grand cercle de la sphère; construisant une échelle de parties égales sur cette longueur ab, on saura combien de parties de cette éclielle doivent être comprises dansûm, dans bp,..., d'après les latitudes respectives de ces parallèles, et l'on prendra ces longueurs avec le compas pour les porter de a en m, de b en p,.... Joignant ensuite les points m, p, r,... par une courbe, ce sera un nou-; veau méridien de la carte.
Prenant ensuite mo=:am, pq=^bp, lr^=rc,... , la courbe oql. . . sera encore un méridien ; et ainsi des autres.
Cicn entendu que, selon l'étendue de la carte, les parallèles pourront être tracés, si l'on veut, de 2 en 3 degrés, ou de 5 en 5 degrés, ou de3oen 3o minutes, etc. , en observant la même règle de construction.
34S. Venons-en maintenant au calcul de la longueur des arcs a/M, bp,... des parallèles. Soient BD, B'D' [fig, 117) les rayons de deus de ces cercles sur le globe terrestre ; les circonférences sont comme les rayons, et comme BD est le sinus de l'arc AB, étant A le pôle, ouïe cosinus de la lalir
333 GËOMORPHIE.
tude / du lieu B, on a
cjrç. BP cos/ circ.B'D'"~cos^''
Ainsi deux arcs de parallèles qui ont mêmes graduations, sont entre eux comme les cosinusdeleurslatitudes. Vrenon» l'un de ces arcs sur l'équateur; a cause de cos/'= i, on a arcde'Odegr. de paral.-^coSlyCarc d'éq.deJi degr, de mérid.;
et comme sur notre carte on a pris à volonté la distance afr pour représenter cet arc de D degrés de l'équateur dont on a fait une échelle, par exemple, de i ooo parties, on voit qu'il faut multiplier par i ooo les cosinus des latitudes l des cercles qui doivent entrer dans la projection.
346, Nous donnons ici, pour une échelle de looo parlies, comprises dans ah (fig- 123), le- nombre de parties qui forment am , bpy cr, etc. . . . Ainsi l'on reconnaît que si MN est le cercle de 6o degrés de latitude, la distance am est moitié de ab , parce que le degré de parallèle = 5oo. Celle de bp pour 6i degrés est 434*^1 ; celle de rs pour 62 degrés est 469,47 etc., ces longueurs étant prises sur l'échelle doutai, bc, cd,. . . contient 1000 parties égales. Ce sont tous les cosinus pour le rayon 1000.
PROIECTION I
Table des degrés de latitude, le degré de Véquateur étant looo.
COBIHOa.
co,.»«=.
1000, oo
999jÎ9
iS
90fi.3.
>îS,ej
î4i,çp
la
5oo,oo
as
ai
347. Sans plus de difSculté, on peut, dans celte projection, tenir compte de T aplatissement de la Terre. On ne divise plus te méridien du milieu ÀB (Jïg. i23) en parties égales , mais on prend ces parties de mêmes longueurs croissantes vers le pôle que les arcs de i degré du méridien. ÂÏBsi en France cet arc ah sera de 67017 toises, ou 1 1 1 1 28 mètres à 45 degrés de latitude : près de Dunkerque, on fera de de iiia3i mètres, etc. En outre, ou prendra les nombres qui expriment les arcs de 1 degré de parallèle dans la Table II à la fin du livre, qui donne les longueurs de ces arcs à difierentes laùtudes.
3Î4 GÉOMORPHlfe,
Il reste ensuite à placer, sur ce réseau, chaque ville aii point qu'indique sa longitude et sa latitude, à figurer les côtes, les rivières, les montagnes, etc.
Cette carte, dont Flamsteed a fait usage pour dessiner ses planisphères, a l'inconvénient de déformer beaucoup les riions éloignées du méridien du milieu AB : c'est ce qui a fait donner la préférence à la modification suivante , où les parallèles sont représentés par des arcs de cercle concentriques, comme dans la projection conique, n° 339.
Projection ftançaise , ou du Dépôt de la Guerre.
3i8, Après avoir tiré la droite verticale SO {fig- ïi8) au milieu de la carte, pour représenter le méridien moyen , on prendra sur cette ligne des longueurs ab , bc,. . . d'autant de parties d'une échelle arbitiaîre , que chaque degré du méridien contient d'unités métriques (par exemple environ 5^0 ta toises ou 111120 mètres à 45 degrés de latitude). On prend ensuite <iS, comme n" 341, égal à la cotangente de la latitude du lieu central a, ou plutôt, pour avoir égard à l'aplatissement de la Terre, on fera aS égal à la tangente du méridien elliptique au point qui a cette latitude centrale, tangente terminée à l'axe des pôles, (Cette longueur est KMj fig. 78.) Du centre S, on décrira les arcs nin, AB, MN, etc., par tous les points de diTision du méridien moyen SO ; ce seront les représentations des parallèles. Sur chacun de ces arcs, on portera des parties égales aux longueurs respectives de l'arc de i degré sous les latitudes correspondantes. Par exemple, si MN est le parallèle de 60 degrés , on prendra les parties égales , des deux côtés du point O, chacune de a86i6 toises, ou 55774 mètres, qui est la longueur de l'arc de 1 degré de parallèle à cette latitude. (roye^TableH.)
On joint enfin les points de division de même rang sur ces arcs parallèles , par des lignes , et l'on ohtietit les méridiens, tant à droite qu'à gauche. Ces lignes forment une courbe qui se présente ici avec la forme polygonale ; mais
I FKAHVAISE. 335
e on peut espacer les parallèles et les méridieDS seulement de ^o' ou 3o', ou moins eucore, ces petites lignes mises bout à bout se réunissent en forme de courbe. Dans les cartes qui représentent les lieux sur une grande échelle , on espace même les cercles de minute en minute, sauf à efiacer ensuite ceux des arcs qu'on ne croît pas nécessaire de conserver.
349. A proprement parier, l'espace ah du méridien qui sépare deux parallèles est arbitraire ; il n'est déterminé que lorsque le rayon Sa l'est lui-même : mais comme ce rayon est donné par la cot Z, on a coutume de prendre à volonté l'arc ab-, qui représente une longueur métrique connue: on prend cette distance sur une échelle de parties égales appropriée à l'objet. Mais ensuite le rayon Sa est déterminé, et ^ cot /, qu'on trouve sur la même échelle, d'après la valeur numérique de ce rayon.
Pour tracer une carte selon la projection de Flamsteed modifiée, il est bon de calculer l'amplitude de l'arc moyen AB, par la formule a«g^eS=;Dsin/, page 3^9, D étant le nombre de degrés de longitude que la projection doit embrasser, el l la latitude du parallèle moyen dont il s'agît ; et l'on divise ensuite cet arc en parties égales , pour obtenir les points de section des méridiens. On évite ensuite les petites erreurs dues à ce qu'on regarderait l'arc de i degré comme égal à sa corde. Au reste, ce qu'on va dire de l'application du calcul à cette projection lève toutes les difficultés,
350. On est arrèié dans ces constructions par l'impossibilité de décrire des cercles d'un très-grand rayon ; car les régions qu'on veut figurer sont si étendues, le plus ordinairement , que le centre S se trouve trop éloigné pour que les plus grands compas puissent y suffire ; cet inconvénient se rencontre surtout dans les basses latitudes. Il est donc préférable de déterminer les arcs de cercle par points, à l'aide du calcul : c'est ce que nous allons exposer.
- nigtijeUi-vGoOgle
336 géomoufhie.
On tracera, au milieu de la feuille, les perpendiculaires iadéfinies CA, N'N {fig- 1 19) ; N'AN représente le parallèle moyen de la carte \ on connaît le rayou CA ^ R cet /, R étant le rayon terrestre, et l'on suppose que la distance CA = r est trop grande pour que le parallèle puisse être décrit d'un mouvement continu. La carte doit embrasser D degrés de longitude; ainsi l'angle N'CN= C est connu et := D sin /, / éunt !a latitude du parallèle N'AN. Faisons la corde N'N = 2«, et la partie CI = Ê ; ces lignes sont , car le triangle rectangle NCI donne
PZQ].
m = a = /-sin-C, a. = r
On a donc les limites N, N' de l'arc en longitude, et son point A de rencontre avec le méridîeu principal. L'équation du cercle dont l'origine est en C est x* +y* = ^ ; pour la porter en I, il faut changer x en x-i-S, et l'on trouve
Pour un point M de l'ai-c, IP =.y, PM = x. On divisera IN en parties égales , et pour chaque point de division , on trouvera l':r correspondant ; en sorte qu'on obtiendra autant de points qu'on voudra de l'arc AN, et par conséquent de AN', qui lui est symétrique.
351. Si l'on vent tracer les droites NC, N'G tendantes au point éloigné C , on se servira du théorème suivant.
Lorsque deux lignes ba, de {fig- 120) concourent en C, on peut, sans connaître ce point C, tirer d'im point /" donné, une droite^ qui concoure en ce même point C. En eflet, menez ac, hd, parallèles quelconques, puis la droite Jid, et par le point c , sa parallèle Indéfinie ch ; vous aurez les propordons
Cd:cc::bd:ca, cd:ce::d/:rg;
nigtijeUi-vGoOgle
PROJECTIOft FRANÇAISE. 33^
on a donc hd'.ca'.; df'.cg. Portez donc sur ch la longueur cg, quatrième proportionnelle à bd, ca et dj-^ la ligne ^g ira concourir au point C,
352. Il ne reste plus qu'à diviser en parties égales l'arc NAIN' \Jig- 1 19) pour avoir les points de section des méridiens avec ce parallèle; et même s'il s'agissait ici de la projection conique, on tracerait ces méridiens, puisqu'ils sont dans ce cas des droites concourantes en G. Il eu est autrement dans la projection de Flamsteed modifiée.
A partir de A , an milieu de la carte , on portera sur âC, tant en liant qu'en bas, des longueurs égales à l'arc de 1 degré de méridien , et il restera à tracer par points chacun des parallèles passant par ces divisions, et dont les rayons r', r",... sont visiblement connus. On pourra donc, pour chacun de ces arcs , se servir des mêmes formules , en y prenant r', r", ... au lieu de r,
Mais, comme nous faisons abstraction , dans ce qui précède, de l'aplatissement de la Terre, il convient de généraliser cette théorie.
353. Étant données la longitude A. ef.lalatUude'k d'un lieu, trouver les coordonnées rectafigles x et j du point de la carte où ce lieu est situé (fig. 121).
Soient C le centre de la pi-ojcction, AK le parallèle dn milieu, dont la latitude est /; BM un autre parallèle dont la latitude est X; M le point dont il s'agit, dont les coordonnées sont AP ^x, FM ^ j- ; AX étant tangent en A el perpendiculaire au méridien principal CA, on a
AB = « distance en latitude des deux parallèles; cette longueur s est connue par l'équaliou (19), n" 195, et représente un arc de méridien de (X — /) degrés. Le rayon CA = r du parallèle moyen est aussi connu : c'est la longueur KM (^g. j8) qui, dans le triangle rectangle KMN, où MN := N est la normale , a pour valeur r = N cot /.
Soit enrorc $ l'angle ACM qnc font les deux rayons CB,
r.,..,u-,..:.i:.GoOg\c
338 GÉOMORPHIE.
CM, ]e triangle CQM donne, en faisant CM =^p, QM = j; = f sine, CQ = pcosft, ,»=PM = BQ + * = f + BC — CQ = i + p — pcosO; donc
;r=psine, r = f + p{i — cos9) = ï-f- apsin'-e.
On peut même éliminer p de cette dernière équation à l'aide de la première ,
1 — cose
sin9
rlang -
p est connu, puiscpie p = r — s; ainsi il ne reste plus qu'à trouver S, et l'on aura pour cbaque point M de l'arc BM les deux coordonnées j: et y. Bien entendu qu'il faut prendre* en signe contraire pour les parallèles situés au-dessous de AK, c'est-à-dire quand la latitude "k du point M est -< /. La longitude donnée est A, c'est un arc d'équateur. Si l'on prend un arc de la graduation A sur le parallèle, la longueur de cet arc sera 6, puisqu'on détermine le point M sur la carie, en prenant BM d'autant d'uniiés métriques que cet arc de parallèle en contient sur la Terre. Ainsi A et 9 sont des arcs de même longueur, mais pris dans des cercles différents, dont les rayons sont p pour 9 et x' poiu' A , x' ayant la valeur donnée, page %o8, pour le rayon du parallèle, sous la latitude \. (C'est OM , fig. yS.) On, a donc
x' = N' cosi, N' étant la normale en M ou en B. Les nombres de degrés des arcs égaux A et 0 étant entre eux en raison inverse de leurs rayons x' et p, on a
A:fl::p;:r', d'où fl = Acos>..--
On peut donc marquer sur la carte tout point M dont on a la longitude A et la latitude 1; car on trouvera d'abord les normales N et N', les rayons r et p, l'arc <f, et par suite les coordonnées x etjr de ce point M.
n„jN.«j.-vG00glc
PtlUJECTION FRANÇAISE. Xig
354. Il est facile maintenant de comprendre comment on compose une carte, selon la projection dont il s'agit. On trace d'abord deux droites AC, AX perpendiculaires (fig. ï2i), passant par le milieu A de la feuille. Sur AC, à partir de A, ou porte, tant en dessus qu'en dessous, des longueurs telles que AB, qu'on prend égales respectivement aux valeurs de j; c'est-à-dire aux arcs de méridien répondant à 1°, 2°, 3",... dedistancede A, arcsqui vont en croissant vers le pôle, et qu'on a calculés préalablement sur ta formule (page aïo). [f^oyez Table II.)
On marque ensuite les points d'intersection des divers méridiens et parallèles ou les angles des quadrilatères curvilignes formés par les incidences de ces arcs projetés. Pour cela on calcule toutes les normales N, N',... de degré en degré, les rayons p des parallèles projetés, enfin les amplitudes des angles 6 qui répondent à des valeurs A et X, variant aussi par degré ; d'où résultent les longueurs des coordonnées X, y correspondantes, qui fixent la position de chaque sommet de nos quadrilatères; et observez qa'en calculant r, et changeant p en r dans nos formules, elles s'appliquent aussi au parallèle moyen. Il ne reste plus qu'à porter ces longueurs sur la carte, en prenant les parties sur une échelle a volonté.
355. Par exemple, pour la carte de France, le parallèle moyen étant à 4^ degrés, on fera, dans l'équation (19), n"195, p = 3o9,65, /' = 45°, l — V ou l = ip, /-i-/' ou L = 90" -I- 9, avec les constantes a, /3, y dont la valeur est donnée n" 194, et il viendra pour la dtSerence 9 en latitude,
S= ni u9'',aXï-l-3o889'",3'3sin'ii— i5"',4,37sin4ï. ç est négatif pour les arcs de 45 degrés jusqu'à l'équaieur. Donc
de 45" à 4.", J = 4.l1 îî''".^, de ^5° à 46", j = Miia7"',5,
à 4i 333 Î76 , 0, i 47 an Ï74 , o,
«43 133 îo3 , 0, « 48 333 4S8, 8,
à 44 '■' "o.n- * fo Wt «îl ,»■
aa.
loglc
■340 GÉOMORPBIE.
On cherche ensuite les rayons p en retranchanl ces derniers arcs de r, puis les normales N consécutives. De là on évalue le rapport de chaque normale à p, et l'on cherche toutes les grandeurs 9 relatives à un racnje parallèle, pQur des quantités A variant de degré en degrd. Ën^n ori calcule les nombres X ety correspondants.
Des Tables étendues ont été calculées par Messis, et servent de base aux constmctiona des cartes du Dépôt de la Guerre. {Voyez ces Tables à ta tin de la Topographie de M. Puissant.)
356. Le territoire que l'on veut représenter sur la carte est ordinairement; trop étendu poar être contenu dans une seule feuille : on est dans l'usage de former cette carte par la réunion bojii à bord d'une série de feuilles dont les cadres sont 8 décimètres sur 5. Chaque feuille est dessinée et gravée à part. Pour trouver les positions des angles des quadrilatères sur ces cartes , on transporte l'origine des coordonnées à l'un des angles du cadre, opération qui consiste simplement à ôter ou ajouter «ne, deux, trois ibis...., 8 décimètres aux x, et 5 aux y, selon la place que cette feuille doit occuper dans l'assemblage général.
Et quant à l'ordre qu'observent ces feuilles entre elles, on le marque par des chiffres qui désignent , l'un le rang horizontal, l'autre le vertical, en inscrivant ces chiffres sur les deux bords du cadre les plus voisins du centre 4> de la
carte. Ces* ce que montre ^»fig. 122. Aibsi la carte \ ~[ j est celle qui est la a* dans le sens horizontal et la 3^ dans le sens vertical, à compter du centre A où se croisent le méridien et le parallèle moyens. Les chiffres sont inscrits sur les côtés qu'il faut coller pour réunir la feuille à celles qui, étant plus près qu'elle de A, ont été collées les premières.
Ces cartes, ainsi assemblées, forment une seule grande carte; et comme chacune contient une partie des arcs de
n,gt,.etJwG00glc
PROJECTION FRAHÇAISE. 34 <
méridiens et de parallèles , il faut qu'après l'assemblage ces courbes s'ajustent bout à bout sans jarrets, ni solution de continuité.
357. Quant au problème inverse de celui qui a été résolu ci-dessus : trouver la longitude et la latitude d'un point donné sur la carte, nous jugeons inutile d'eu donner ici les formules. Comme les courbes des parallèles et des méridiens sont sensiblement des ligues droites, et que les quadrilatères formés par ces lignes sont à fort peu près des parallélogrammes, ou n'a point à craindre d'erreur notable, en menant par le point donné des parallèles aux côtés du quadrilatère où il est renfermé , et à évaluer sur l'échelle les fractions que ces lignes forment entre elles.
Nous remettons à traiter des cartes plates et réduites, lorsque nous parlerons des méthodes d'en faire usage dans la navigation.
