PROJECTIONS CONIQUES

33iJ. Pi-ojections orthographiques. — Les perspectiTes que nous avons exéculées peuvent être considérées comme (les projectioQs à l'aide de ligues divergentes d'an point fixe (l'ceilO du spectateur) sur un plan central. Mais si ce point est situé à l'infini, les lignes deviennent perpendiculaires à ce plan, et la projectiou est appelée orthoi;rapIiîque. Le procédé n'est qu'une application des régies de la géométrie descriptive. Les cercles de la sphère sont projetés chacun par un système de parallèles qui forment un cylindre dont l'intersection par le plan ceutral donne une ellipse. Comme ce mode de construction est compliqué et d'un usage difficile, nous ne nous y arrêterons pas.

Projections coniques.

339, Les mappemondes ont été imaginées par Ptolémée. Ce mode de construction peut convenir à la représentation d'un hémisphère terrestre , mais i! n'est pas propre à figurer un état limité, qui n'est qu'une petite partie de la Terre, ni même une grande étendue, comme l'Europe, l'Asie ou l'Afrique , parce que vers les parties éloignées du centre de la carte, les coalîgurations éprouvent des déformations intolérables. Ainsi l'on ne pourrait pas, sans de graves inconvénients, représenter les territoires dont on demande la carte particulière, en isolant et agrandissant la portion de mappemonde où ils se trouvent. Tous les modes de projections ont à cet égard des défauts plus ou moins marqués, qui tiennent à la nécessité de figurer sur un plan, une portion de sphère ; on altère les distances entre les points, les figures des limites , les étendues superficielles. On a beaucoup varié les procédés ; nous nous contenterons de décrire ici ceux qui sont en usage.

340. Pour commencer par la projection conique, imaginons qu'on demande la carte d'un royaume, tel que la France, renfermé entre des cercles donnés en longitude et eu latitude. On suppose le globe terrestre enveloppé d'un

SsS GÉOUOItPHIE.

CÔDe langent au cercle du parallèle du milieu, entre les limites nord et sud, et l'on considère ce cône comme coïncidant seaaiblement avec ce parallèle et ceux qui en sont voisins. Ensuite on développe ce cône sur le plan de la carte, en un secteur circulaire; les méridiens sont des droites con<veigentes au sommet du cône, centre du secteur; les parailèles sont des arcs de cercle qui ont pour centre commun ce même sommet, et sont également distants pour des gradua-r Uons égales en latitude.

Ainsi , dans \afig- 1 1 8, SMN est le développement d'une portion de surface conique ; MN , mn sont les parallèles extrêmes de la carte, AB celui du milieu; MmS, NnS les méridiens estrëmes , ODS celui du milieu.

Calculons les éléments de cette figure, pour en faire le tracé exact..

Soit ab (fig. II 5) le diamètre du parallèle moyen sur le glohe FaPi G, les tangentes ^a,^& et l'ase se déterminent, parleur révolution autour de ïC, le cône dont il s'agit, en sorte que SA [fig- ii8) doit être pris égal ksa [fig. Ii5); de plus l'arc AB doit avoir pour longueur celle de l'arc décrit par ac entre les limites des longitudes extrêmes de la carte. Ces remarques suffiraient pour faire l'opération graphique de la/ïg. iiS; mais, pour plus de précision, il convient d'y appliquer le calcul.

Soit FG i'équatcur {fig. ii5), Pie pôle, aF = nalati-: tude du parallèle moyeu ac^ca&l, en faisant le rayon aC = 1 ; si D est le nombre de degrés en longitude que doit contenir la carte, c'est-à-dire sa largeur^ et si, de plus, S désigne l'angle au sommet (en degré] ASB du secteur déve-i loppé, on a

AB =: développement de D degrés de la circonférence ac;

d'où

.80. ;.x« (ou .co,/) :: D ;1î^' = AB

:= la longueur développée sur l'arc moyeu do secteur.

PROJECTIOHS COHIQCES. 3^9

Mais dans le triangle JâC, comme sa = SA, on a sa=z WQgdCi (/§■. Il8), ou SA = colf, puis

i8o": ffXSA (ou Kcot/) :: S: ab = î^-^--

En galant ces deux valeurs de AB, on trouve

Dcos/ = Scot/, ou angle 5^ Dsinf.

341 . Ainsi l'on tracera un angle MSN d'autant de degr^ que le veut cette expression, et Ton aura l'angle S du segment développé; on prendra SA = cot/, ce sera le rayon de l'arc qui représente le parallèle moyen; puis on portera de A en M et m les longueurs développées en ligne droite du méridien FaP entre les limites de latitudes extrêmes. Si la carte doit comprendre rf degrés en latitude. Mm sera

^ ~sr;' *t l'ou prendra les longueurs AM = A/h^ — ^

[voyez la valeur de ft", n" 3i} ; puis partageant AM et Am en autant de parties égales qu'on voudra, on décrira du centre S des arcs qui figureront les parallèles de la carte. Quant aux méridiens, ce seront des droites partant du sommet S et passant par des points également distants pris surMN; pour les régions éloignées du pôle, le centre S est trop loin pour se prêter à cette construction. ( F^oyez ce qui sera dit n" 350.)

Il ne restera plus qu'à placer dans ce réseau chaque ville en son lieu, d'après la longitude et la latitude connues, à figurer les rivages, les montagnes, les sinuosités des rivières, etc. Cette construction est si simple, qu'on la préfère souvent à toute autre, et la plupart des cartes particulières des Etats sont tracées d'après ce système.

342. Pour plus de précision, au lieu de faire le cône tangent à la sphère, on a imaginé de l'y inscrire, en le faisant passer par les deux cercles parallèles extrêmes, ce qui neprësen te pas plus de difficulté. En effet, soient FG l'équateur (Jîg. 1 16), P le pôle, aa' l'arc de méridien du milieu

nigtijeUi-vGoOgle

33o GÉOMOnPBIE.

de la caile, ac , a'c' les rayons des deux parallèles extrêmes, dont les latitudes l et ^ sont Ga, Ga' ; la corde aa' prolongée est sur ta génératrice sh du cône. Ainsi , en faisant tourner Ls autour de Cs, axe des pôles, aa' engendrera la surface conique qu'on doit développer et qui formera la

L'angle * a pour mesure - (Oa — Va') ,

0<i = 90"+/, Prt' = 9u°— /';

le triangle rectangle sca donm;

n-C + Oi

Nous connaÏESons donc les éléments du secteur développé j le reste est comme ci-devant.

343. On peut encore faire en sorte que le cône soit dirigé par deux parallèles situés à mi-distance du parallèle moyen et des extrêmes; ce cône se trouve alors partie interne, partie externe à la sphère. On place les points a et a' de la fig. 1 16 , non plus aux limites de la carte en latitude , mais au quart et aux trois quarts de l'arc de méridien du milieu. C'est ainsi que Delîsle a construit sa grande carte de Russie, qui embrasse 33 degrés de latitude, et qui a son parallèle moyen à 55 degrés de l'équateur.

Maintenant on préfère à la projection conique celle de Flamstced modiQée, dont on va traiter; cette construction est plus exacte et ne présente pas plus de difficulté.