CERCLE DE RÉFLEXION

les verres en H s’interposent dans le cours des rayons réfléchis ; les autres en K se placent sur les rayons directs : on peut mettre à l’écart les uns et les autres, ou-ne conserver que ceux qui sont dans le cours des rayons solaires, quand c’est le Soleil qu’on observe. On peut mettre ces verres doubles , ou triples, quand l’éclat est très-vif. Les deux faces de chaque verre sont exactement parallèles. Ils sont d’ailleurs inutiles quand on observe les étoiles ou les objets terrestres.

Cette description succincte, rapprochée de celle du sextant, suffit pour faire concevoir la construction du cercle de réflexion , et comment les pièces doivent être ajustées pour jouer avec aisance. 11 nous reste à expliquer l’usage de cet instrument.

5o5. Supposons qu’on ait fixé, par sa vis de pression , la règle de la lunette 00 sur le limbe, dans une direction quelconque. En visant un objet éloigné dans la direction CX , on l’apercevra à travers la partie non étamée du miroir N ; si l’on tourne l’alidade BC, jusqu’à ce que son miroir LG soit parallèle au petit miroir N, il suit de ce qui a été expliqué p. 4i8 , que l’image du môme objet X sera réfléchie deux fois , d’abord selon CN sur le grand miroir LG, puis selon NO sur le petit miroir. Ainsi, l’on verra dans la lunette cette image double en parfaite coïncidence, du moins si les conditions prescrites pour une bonne construction sont remplies. Un léger balancement imprimé au limbe suffit pour s’assurer de cette coïncidence.

Maintenant , si l’on amène l’alidade dans une autre position , telle que BC , sans cesser de diriger la lunette sur l’objet X , qu’on voit par la partie non étamée du petit miroir, les deux miroirs n’étant plus parallèles, les objets M environnants enverront des rayons de lumière au grand miroir LG, qui les réfléchira, en faisant l’angle de réflexion égal à celui d’incidence. Un spectateur placé en M pourrait voir selon MC un de ces objets par réflexion. Or, parmi tous ces objets, il en est un Z dont les. rayons se réfléchissent selon CN , et par conséquent aussi selon NO : cet objet Z est donc vu en coïncidence avec l’objet direct X. L’angle ZCX de distance de ces deux objets est le double de celui qu’a décrit l'alidade, à partir du point où les deux miroirs étaient parallèles.

idti

Si on lit les graduations des deux points d’arrêt de l'alidade , leur différence sera le nombre de degrés de l’angle de distance des deux signaux, puisque les demi-degrés sont comptés pour des degrés entiers, sur le limbe.

On fixera d'abord l’alidade BC sur le zéro de la graduation , et l’on dirigera la règle OP , en la faisant tourner sur son axe , de manière que les deux miroirs soient parallèles, c.-à-d. qu’on voie en coïncidence les deux images d’un même objet éloigné. Détachant ensuite l’alidade BC, en laissant la règle OP fixée au limbe par sa vis de pression , on fera tourner cette alidade jusqu’à ce que l’image réfléchie d'un autre objet Z soit vue en coïncidence avec X. On lira sur le limbe l'arc correspondant, qui est la mesure de l’angle demandé ZCX , distance angulaire des deux signaux X et Z.

506. Jusqu’ici tout se passe comme avec le sextant. Mais on peut recommencer la même manœuvre en prenant pour zéro de départ le point où l’alidade BC vient d’être arrêtée par sa vis de pression , ce qui doublera l’angle. Détachez donc la règle OP, et lournez-la pour rendre les deux miroirs parallèles , ce que vous reconnaîtrez en voyant coïncider les deux images d’un même objet X. Fixez alors la règle OP , puis détachez l'alidade etfaites- Ia tourner jusqu’à ce que l’image de Z vienne par réflexion coïncider avec X vu directement. L’arc du limbe sera la mesure de 2 fois l’angle ZCX. Une 3° opération de cette nature donnera le triple de cet angle , et ainsi de suite.

Supposons qu’on ait répété dix fois cette manœuvre, l’arc du limbe sera décuple de celui qu’on cherche : ainsi , en divisant l’arc final par 10, on aura la mesure de l’angle ZCX, et les erreurs de pointé et de division du limbe seront affaiblies par cette répétition. Il est inutile de lire la graduation à chaque observation , puisqu’il suffit de connaître l’arc final , et quel multiple il est de celui qu’on demande. Cependant, pour éviter les erreurs , il est bon de lire et noter la graduation apyès, la i" observation.

507. Il est assez difficile d’amener en coïncidence les deux images, soit d’un même objet, soit de deux signaux différents : c’est ici comme pour le sextant , où l’on n’amène pas , sans quel-

que peine, les objets dans le champ de la lunette. Mais pour le cercle de réflexion l'embarras n’existe que pour la i" observation , car on connaît alors l'arc à fort peu près ; on en forme les multiples par a , 3, 4 , puis on porte successivement l’alidade sur les arcs ainsi déterminés, ce qui permet de suite d’en apercevoir les deux images dans la lunette. JJn petit mouvement de la vis de rappel suffit pour amener juste la coïncidence :

Au reste, on a pourvu l’instrument d’un appareil très-simple qui abrège beaucoup les recherches. On fixe à la règle OP une portion d'anneau VFH mince et concentrique au limbe, muni de deux petits curseurs D et F, qui se fixent à volonté sur l’anneau par une vis de pression : ces curseurs sont l'un d’un côté de l’alidade , l’autre du côté opposé ; en voici l’usage.

On met d’abord l'alidade sur zéro , et l'on en approche le curseur N de manière presque à buter sur son bras : puis, on tourne la règle OP afin de rendre les deux miroirs parallèles , ainsi qu’il a été dit. Alors , on fixe la règle OP , et l’on détache l’alidade eu la faisant tourner jusqu’à ce qu’on voie la coïncidence des deux images : enfin, on approche le 2e curseur D contre le bras de l’alidade, qui , dans cette position , a été éloignée du i" curseur N. Jusqu’ici on n’a rien gagné, eri facilité d’opérer; on a manoeuvré comme précédemment. Mais si détachant la règle OP, on la fait tourner, elle emportera l’anneau et ses curseurs avec elle , et l’on amènera ainsi le curseur N tout contre l’alidade , en même temps que le curseur D s’en sera éloigné. Les deux miroirs seront alors à fbrt peu près parallèles , et il sera bien aisé de produire le parallélisme parfait, en tournant la vis de rappel delà règle PO. Détachant ensuite l'alidade , ou l'amènera presque au contact avec le curseur D , et elle sera très-près du point où les deux objets sont vus en coïncidence : et ainsi de toutes les répétitions. Les coïncidences s’obtiennent de la sorte sans recherches , ni difficultés.

Détermination de T heurt à bord.

5o8. Le premier besoin de l’officier de marine est d’avoir

l’heure du lieu , puisque toutes les recherches astronomiques qu’il doit faire supposent cet élément connu. Si la marche du chronomètre était parfaitement régulière, on y trouverait d’abord l’heure de Paris, et à l’aide de la longitude du lieu, on en conclurait l’heure sous le méridien où l'on est. Mais cette longitude est rarement bien connue , et \’ estime n’a jamais assez de précision pour y pouvoir compter : d’ailleurs la longitude résulte ellemême d’opérations qui supposent qu’on a l’heure du lieu.

609. On obtient l’heure par des observations de la hauteur du Soleil à l’aide de la méthode exposée p. 344. Il est bien rare qu’on puisse se servir des étoiles, parce que, la nuit, l’horizon de la mer n’est pas visible. Du reste , il est plus commode de se servir de la hauteur h du Soleil , que des distances zénithales employées dans l’éq. citée. En désignant la latitude du lieu par l, cette même formule devient

cos m . sin ( m — h) cos l sin d

en faisant 2 m = l -}- d -{- h.

Bien entendu que pour tirer de la Conn. des Tems la distance polaire d , complément de la déclin, de l’astre, il faut d’abord connaître l’heure contemporaine de Paris; mais comme la déclin, varie lentement , il suffit d’avoir celte heure à peu près , et le chronomètre la donne ( voy . p. 347).

5 10. En outre , comme on mesure la distance du Soleil à l’horizon de la mer , pour en conclure la hauteur h , il faut corriger cette distance 1 0 de la dépression de T horizon (p. 245); 20 de la réfraction — parallaxe ; 3° et même du demi-diamètre de l’astre, si l’on a mesuré la hauteur du bord supérieur ou inférieur , parce que c’est celle du centre qui est nécessaire. Il faut aussi avoir égard à l’erreur de collimation du sextant, s’il y a lieu (p. 4a3).

5 1 1 . Par ex. , le 1 3 octobre 1 836 , à 51' du soir environ , étant par 25° 4o' de latitude N. et 71, 55' Iongit. O., on a trouvé que le bord inférieur du Soleil était à io° i'3o" de hauteur apparente.

Le chronomètre marquait alors 6h 43' 44": l’œil était élevé audessus de la mer de 34>,i (ix,n,o5): quelle est l’heure actuelle?

heure approchée

5 0' t. vr.

hauteur observée . .

. tOol'30"

longit. en temps

dépression

heure de Paris

,12.55 t. vr.

réfr. — para». . . .

déclin. 0 =

hauteur

dist. pol. d —

demi-diam. Q . . . ,

haut, du centre h = 10. 6.27

d = 98. 5.56. . . . sia . . . — f.9956468

m — 66.56.12.. . . cos . . . ï. 5930072

m — h= 56.49.45.. . . sin . . . Ï.9227477

moitié sin . . . Î.7826123 . . . 37» 18'53",5(8 fois).

heure vraie du lieu 4* 58' 31", 1

temps moyen 1 midi vrai '. 11.46. 8 ,1

heure moyenne du lieu 4.44.39 ,2

heure du chronomètre 6.43.44 ,0

• avance sur le temps moyen . 1.59. 4 ,8

5 1 2. Observez qu’on est parti de la supposition qu’il était 5h de temps vrai quand l’observation a été faite : comme il n’était que 4b58',5, on pourrait, dans quelques cas, trouver une différence plus grande, ce qui ferait craindre qu’en négligeant la variation en déclin, dans cette durée, le résultat ne fût atteint d’un peu d’inexactitude. Pour éviter ce genre d’erreur , on recommencera le calcul, en partant du résultat obtenu, comme hypothèse, ce qui n’exigera que la correction des derniers chiffres des logarithmes.

On a supposé ici que la latitude du lieu était connue : si l’on ne l’avait qu’à peu près, le résultat pourrait encore être un peu

inexact. Il en est de même de la supposition faite pour la longitude. Nous reviendrons plus tard sur ce sujet.

. 5i3. On se sert quelquefois, en mer, pour trouver l’heure, delà méthode de» hauteur » correspondantes , par des observations du Soleil faites malin et soir (voy, p. 34;)) : mais outre que la correction de déclin, solaire rend le calcul un peu long , il faut que le navire n’ait pas changé de place dans l'intervalle, circonstance qui arrive rarement. Quand on n’a pas égard à ce déplacement, le résultat du calcul n’offre qu’une approximation douteuse.

5 1 4. On peut aussi se servir de l’observation du lever ou du coucher du Soleil , dont nous avons appris à calculer l’heure précise ; car le problème consiste à trouver l’angle horaire de l’astre quand son centre parait dans l’horizon. Or , alors sa distance zénithales, eh ayant égard à la réfraction moins la parallaxe, est z — 90° 3 3' 3 6",?. , ainsi qu’on l’a vu p. 3 80. Il ne s’agit donc que de résoudre le triangle sphérique pzt (fig. 1 48) , où l’on connaît les trois côtés z , d et 0, c.-à-d. que d’appliquer l’équation (9), p. 345 à cette valeur de z ; ensuite on convertit l’angle horaire/?, en temps, pour avoir l’heure vraie du phénomène. Il faut que la latitude du lieu soit connue.

Mais l’incertitude des réfractions à l’horizon, et celle même des observations en mer , déterminent à ne pas tenir compte de la réfraction , ni de la parallaxe, dans la formule. Les marins supposent que le centre du Soleil est dans l’horizon quand les deux tiers du disque sont élevés au-dessus de la mer. Alors on doit résoudre un triangle sphérique rectangle npz (fig. i48). Le pôle est en p, le zénith en 2, l’horizon nsa, le méridien pzn : le Soleil est en », et comme l’angle n est droit, on trouve les éq.

cos p sms — tang l tang D , sin D = — cos / sin x , cot x = sin l tang p.

p est l’angle horaire au lever ou au coucher , qu’on appelle Tare semi-diurne ; il est donné par la 1" éq. , quand on a la latitude /

du lieu et la déclin, de l'astre. L’une des deux autres fait connaître l’arc x ou at , complément de l’azimut ns , parce que a est le point d’orient ou d’occident , à go° de n. Ces éq. servent à trouver la déclin, de l’aimant.

Quant à la déclin. D, pour la connaître il faudrait, savoir quelle est l'heure de Paris à l'instant du phénomène : mais un à peu près suffit à cet égard, parce que la déclin, varie lentement. Au reste, on peut rectifier ensuite le premier calcul en le recommençant avec l'heure qu’il a donnée.

Quelle est l’heure du lever du Soleil le xo août 1 836 , à Paris? En prenant la déclin, de l’astre à 5fc du matin, D = i5°36'3", d’où

tans l .

lang D .

cos p . .

compl. à 12A.

, 0.0583 tCO — 0.0583460—

. 1.5042956- cos p. . . 1.5043911

. 4.45.30 b. vr. compl. . . . 4.45.29

heure du lever. Ire approximation.

heure demandée.

Le calcul donne l’angle horaire p, qui, réduit en temps, est l’heure vraie du lever , ou plutôt son complément à 1 2h. Mais les données de départ ne se trouvant pas d’accord avec celte heure, il faut refaire le calcul en se servant de cette dernière.

Étant donnée F heure vraie , trouver la hauteur du Soleil. Ce problème a été résolu n" 4o8, p. 348.

5 1 5. Tout ce qui vient d’étre dit du Soleil pour donner l’heure se rapporte aussi bien aux étoiles et à la Lune , ainsi qu’on l’a dit p. 345. Mais d’une part, il est rare qu’on puisse voir à la fois, en mer, la limite de l’horizon et la lumière des étoiles , ce qui empêche d’en mesurer la hauteur; et d’un autre côté, la grande variabilité de la marche de la Lune exige des interpolations longues pour en trouver la déclin., l’asc, dr. , etc., ce qui rend les calculs pénibles. Les marins évitent donc de recourir à cet astre pour obtenir l’heure.

De la latitude du lieu.

5 1 6. On observe la hauteur du Soleil m au méridien pm (fig. i3x); celte hauteur, corrigée de réfraction — parallaxe, donne la hauteur vraie h, qui, introduite dans l’éq. ( i ) , p. 354, donne enfin la latitude l ,

l = go" -}- D — h.

La déclin. D du Soleil est tirée de la Conn. des Tems , à l’aide de l’heure de Paris contemporaine à celle du lieu , et cette heure est censée à très-peu près connue par la longitude , ou par des observations antérieures. D est négatif pour les déclin, australes.

5 17. On se sert aussi de la méthode des hauteurs circumméridiennes du Soleil, qu’on a donnée p. 556; on se contente du

, ier terme ae la série, c.-à-d. de l’éq. (B).

5 18. Mais comme on est souvent exposé à avoir le ciel nébuleux , on en est réduit quelquefois à se servir du procédé suivant , qui n’a pas toute l’exactitude désirable, mais qui rend cependant de grands services aux marins.

Trouver la latitude par une hauteur absolue du Soleil? Dans le triangle pqz (fig. 129), formé par le zénith z , le pôle p et l’astre q, on connaît deux côtés et un angle, ^^ = 90° — D, zq — 90° — h , et l’angle horaire p , parce qu’on suppose ici que l’heure vraie de l’observation de h est connue. On en tire (éq. page 76),

tang f = cos p cot D ,

sin ( l -{- y ) —

sin h cos y sin D

La 1™ éq. fait connaître l’arc auxiliaire y , qui , introduit dans la 2e , avec le signe que lui attribue le calcul , donne l’arc / -j- j> ; retranchant y , on a enfin la latitude l. On prend D négatif quand la déclin, du Soleil est australe.

Il y a deux solutions quand p < 90° et h > D , abstraction

faite du signe : il n’y en a qu’une seule quand /• < D , et aucune si p > 90° avec A>D.

Ce procédé n’est exact qu’autant qu’on a l’heure avec précision. II est bon d’observer l’astre près du méridien , parce qu’alors une petite erreur sur l’heure influe moins sur la valeur de l.

Le 6 octobre i856, on a observé, près de Paris, le Soleil à 11 26' 6", 6 1. moy., ce qui équivaut à ih i4' 1 i",6 t. vrai, et toutes corrections faites , on a trouvé que la hauteur vraie du Soleil est

h = 33» io' 3!î", 5. On a D = — 5» r5' 28", p = 18° 32' 54".

cot D 1.0360990—

cos p ....... 1.9768339

tangf 1.0129329—

sia O —2.9620699—

sia A 1.7439043

cosf . 2.9850314—

sin ( 7-4- f ). . . . 1.7668658-4-

II y a deux arcs qui ont le même sinus , et qui sont les valeurs de / -{- p ; on prend celui qui est 1 8o°, pour pouvoir retrancher f qui est > 90° , attendu que sa tangente a le signe — .

5 19. Méthode de Douwes pour trouver à la fois F heure et la latitude, ou du moins la latitude, sans connaître l’heure.

Les marins connaissent toujours la latitude approchée du lieu où ils se trouvent, et ils n’ont besoin que de la corriger, sans connaître l’heure exactement. La méthode de Douwes n’a pas une grande précision ; mais elle suffit aux besoins de la navigation , et n’exige que des calculs faciles , qu’on évite même en se servant de tables construites sur les formules que nous allons exposer. On ne se sert de ce procédé qu’à défaut d’autre plus exact, lorsque l’heure est inconnue. On a bien , il est vrai, des formules qui donnent exactement l’heure et la latitude à la fois ; mais ces éq., qui résultent de la résolution de plusieurs triangles sphériques, sont assez compliquées, et l’on est exposé à des erreurs de calcul , surtout en considérant que le jeu des signes des lignes trigonométriques jette beaucoup d’embarras dans les opérations. Au reste, nous traiterons ce sujet plus loin. géodésie. 28

On mesure deux hauteurs du Soleil, et on les corrige de la réfraction — parallaxe pour avoir les hauteurs vraies A et A'. Il est bon que l’une soit près du méridien , l'autre près du premier vertical (5 à 7 heures avant ou après le passage). On prend pour déclin, constante D de l’astre , celle qu’il avait au milieu de la durée écoulée. Soient p et p les deux angles horaires inconnus correspondants à À et A’ .• prenons pour valeurs de K et p' celles dont l’observation a été voisine du méridien , A et p seront relatifs au cas où l’astre en était éloigné; le temps vrai t écoulé de l’une à l’autre est connu. L’éq. i5, p. 73, s’applique aux deux triangles pze , pz*' (fig. 1 44) , * et *' étant les deux places occupées par le Soleil , p le pôle , z le zénith , pztn le méridien ; et l’on a

ein A = cos (l — D ) — .2 cos l cos D sin* 7 p , sin A’= cos ( l — D ) — 2 cos / cos D sin’-f p’ ; différ. sin A’ — sin A == 2 cos l cos D ( sin* -j-p — sin* ^p ).

Or, posons y =t( />+/)>

t — {-(p — p ) — demi-tempe vrai écoulé;

leq. (i3), p. 34, donne

sin* 7 p — sin* ~ p' = sin y sin t.

En faisant

N = 2 cos l cos D . . .

il vient

. sin A’ — sin A

sin y = 77— : . . .

y N sin /

donc

cos ( /— D ) == sin A’ N sin’-fp' .

Ces éq. font successivement connaître N , y , p' et / — D , d’où l’on tire l , en ajoutant £>. La déclin, prend le signe — • quand elle est australe.

Lorsque les observations sont faites des deux côtés du méridien , p' devient négatif par rapport à p , auquel on conserve le signe -f- , et l’on a t )> y ; mais sin’ '-p' reste positif: le calcul

est le même. Quant à l’heure actuelle, on ne pourrait la tirer avec précision de la valeur de p , ni de celle de p, qui résultent de celles dey et t. Mais on peut , lorsque la latitude l a été corrigée, se servir de la moindre hauteur h , pour obtenir l’angle horaire p, par la méthode des hauteurs absolues, p. 4a8.

Comme on a pris pour faire le calcul une valeur approchée pour la latitude l, et que ces formules n’ont pour objet que de la rectifier , lorsque le résultat diffère notablement de la valeur supposée, il faut répéter le calcul, en prenant pour élément l’arc l qu’on vient de trouver , ce qui n’exige qu’une simple correction aux derniers chiffres des log.

Le 1 mars 1 836, près de Paris , on suppose l = 48° 4o', et l’on prend deux hauteurs du Soleil, l’une le matin , l’autre après midi , qui sont , toutes corrections faites :

h'= 33»43'46",t «in A'= 0,5552721 i . . . 13k 2'47",8 t. m.

h = 8.37.41 ,8 sin h = 0,1500253 à. . . 7. 5.49 ,0

log sa 1.6077920 ... diff. 3= 0,4052491 8< = 5.56.58 ,8

T. 6077220 cos l.... ï. 8198325 =3 44» 37' 21", 0

sin t— 1.8466046 cosD... 1.9982240

H... —0.1190865 N 0.1190865 Oncalcuicladéd.OàlO*4'18"

sin y. î. 6 120309 t. moy., du malin, et l’on a

1 =3— 9.18.18 ,6... sin» ¥.4173016 sin h' s= 0,5552724

l — D = 53.52.2 ,0 log 3=1.7706009 cos ( l — D ) 3= 0,5896589

Ainsi le nombre supposé pour l est trop faible de 2' ai", et il faudra corriger le calcul en prenant ce résultat pour hypothèse.

5ao. La méthode de Douwes n’est qu’approchée , et la préci-

sion n’en est pas toujours satisfaisante. La trigonométrie sphérique donne des formules plus exactes , et qui ne sont guère plus compliquées.

Dans la figure 1 44 , a et g' sont deux positions du Soleil , dont l’observation a fait connaître les dist. zénith, vraies sz — z, t'z — z , corrigées de réfraction — parallaxe, demi-diamètre , etc. Le pôle étant en p , le méridien est ptn , et l’on connaît en outre les distances polaires gp — s'p — d , complément de la déclin. Nous supposons ici que d est constant, ou plutôt nous prenons pour d la déclin, qui a lieu dans l’instant du milieu entre les deux observations. Il est clair que si l'on connaissait l’angle zgp = u, on aurait deux côtés , sz, gp, du triangle zsp et l’angle compris u , et qu’on pourrait calculer le côté zp — c, colatitude du lieu , ainsi que l’angle horaire apz — p , et le problème serait résolu.

Or , pour trouver cet angle u , il faut d’abord chercher les deux angles g'sp — ÿ et gaz — x , dont u est la différence , ce qui conduit à résoudre les deux triangles s s'p et sa’z ; on a donc trois triangles sphériques à résoudre successivement. Voici comment on ordonne ces calculs.

D’abord l’angle gps' = t est connu , puisqu’il est, en degrés, le temps solaire vrai écoulé entre les deux observations de hauteur , différence ou somme des deux angles horaires correspondants, selon que l’astre a été observé d’un même côté ou des deux côlé%du méridien. Si la montre marche comme le temps moyen , il sera bien facile de réduire en degrés la durée écoulée ; ce sera l’angle t.

1 ° Dans le triangle isocèle spa' , on connaît deux côtés égaux gp — s'p — d, et l’angle compris t; on trouvera le 5e côté

sa = d, et l’angle g'sp == ^ , par les équations (n et p), p. 79.

sin -f * — sin d . sin — t , . . . . (a)

cot = cos d . lang f t . . . . (6)

2° On connaît maintenant les trois côtés du triangle sz*', savoir az = z, sz — z' et sa = <? : on trouve l’angle s'sz — x,

par les éq. ( 1 6) , p. 73,

.1 sin (A — 7). sia (A — <f)

sm’ — x — - ..... (c)

2 sm z . sm & '

d’où ti = i p ^ x ,

en faisant l’angle zsp — u. Nous mettons ici , parce que le double signe résulte de l’extraction de racine qui a donné l’arc x ; mais on doit observer que c’est presque toujours le signe — qu’il faut prendre, parce que le cas représenté par la figure ii4 est seul admissible, à moins que la déclin, du Soleil et la latitude ne soient à peu près égales : car alors il faudrait calculer les deux solutions, sauf à choisir ensuite entre elles. Comme la latitude est toujours à peu près connue d’avance , l’incertitude est bientôt dissipée. Au reste, s’il arrive que l’on reste dans le doute, il suffira de mesurer une 3e hauteur de l’astre , et l’on fera de nouveau le calcul de la latitude, en comparant cette observation à l’une des deux premières , et l’on s’arrêtera à celle des deux solutions qui sera commune aux deux opérations. Il est d’ailleurs rare qu’on soit réduit à user de ce procédé.

3° Enfin dans le triangle zps , on connaît deux côtés et l’angle compris, savoir *z = z , sp = d , et l’angle u qu’on vient de trouver. On pourra donc calculer le côté pz = c, colatitude cherchée , et l’angle horaire spz = p de l’observation de l’astre quand il était en s. On pourra recourir aux formules données p. 76, i°, ou p. 78, ±°. Mais les éq. que nous allons proposer sont d’un usage plus commode.

Si l’on connaît les côtés b et c du triangle ABC (fig. 5a), et l’angle compris A, pour trouver le 5“ côté a, on prendra l’éq. fondamentale

cos a = cos b cos 0 sin b sin c cos A ,

et on la rendra propre au calcul des log. par l’artifice suivant. D’après les éq. (5) et (6) , p. 34 , on a

cos A — 2 cos3 7 A — 1 , cos o=i — a sin’ ~ a:

ainsi, 1 — 2sin* 4- a = cos ( b -j- c ) 2sin b sin c . cos’-l-A

— i — 2sin,4(A-f-c)-f-2sinAsinc.cos,4A, sin’ 4 « = sin1 A-( h -J- c ) — sin b sin c cos1 4- A.

Prenons un arc auxiliaire », tel que

sin v = cos ^ A . y/ sin b . sin c, et nous aurons

sin* 4 a — sin1 4 ( h -|~ o ) — sin1 »

= sin f ( A e -|- 2» ) . sin 4 ( A -{- o — a»), d’après l'éq. (i3), p. 34.

En appliquant ces formules à la figure 1 44 , on a

sin » = cos 4* « • j/ sin d . sin z, ... (d) sin* A o = sin 4 ( rf -j- z-\- iv ) . sin4 ( d-\- z — 2» ), . . (e)

sin p

sin z . sin n sin c

Cette dernière équation est donnée par la règle des quatre sinus (page 67).

La théorie qu’on vient de présenter exige l’emploi de ig log. et l’addition de plusieurs ancs; elle est beauooup plus longue que celle de Douwes , mais elle a plus d’exactitude. On peut vérifier les calculs, en y remplaçant partout z par z' ; alors 4> désigne l’angle zi* , et « l’angle zs'p ; c’est le triangle zt'p qu’on résout par les éq. (d), (e), ( f ), et l'on obtient de nouveau c 4 on a en outre l’angle horaire p' — zp* , propre à l’observation de l’astre en

Appliquons ces éq. au cas , où , par 4a° de latitude nord estimée, et i<> 10' longitude ouest, le 22 mai i836, avant midi, on aurait mesuré deux hauteurs du bord inférieur du Soleil , le navire étant élevé de 7 mètres au-dessus de la mer. Le chronomètre marquait

6*25' 17" Ire haut, obscr. 35«25'52" , . . 3 = 54°24' 6"