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STATIONS

observé».

des signaux.

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.La Madrés.

Pic d'Appi.

— io5,6i

Réductions à l’horizon.

Somme des angles réduits.

Différence à 180e

Tiers à ajouter à chaque angle réduit.

La i" colonne contient les noms des stations; la 2e les angles observés , mais réduits au centre de station (nu 117); la 3e les hauteurs des signaux pour opérer les réductions à l'horizon ou corrections tfqui sont dans la 4° colonne (n° 1 38) , c’est-à-dire qu’il faut ajouter ces corrections f aux angles observés (2e colonne) pour avoir les angles réduits à l'horizon , ou les angles du triangle sphérique très -peu courbe. La somme des angles réduits devrait surpasser 180°, mais en ajoutant toutes les trois réductions, ou leur somme-}- i",93 , à celle des trois angles observés, on a la somme des angles réduits : et comme celte somme est < 1 8o°, on reconnaît une légère erreur dans les observations qui a absorbé l’excès sphérique et un peu plus , savoir o",i 1 ; le tiers o,o4 doit donc être ajouté à chaque réduction à l'horizon : telles sont les corrections qu’il faut faire subir aux angles observés et l’on obtient les angles du triangle rectiligne, de la 5“ colonne. Enfin, connaissant un côté , le calcul donne les deux autres côtés, comme ci-devant , et le triangle sphérique est connu en totalité.

1 44. Dans ces opérations , il n’est pas nécessaire , comme on voit, de calculer l’excès sphérique e , parce qu’il est compris dans le calcul même avec les erreurs d’observation. Mais lorsqu’il s’agit d’obtenir les azimuts des côtés , les longitudes et latitudes des

RÉDUCTION A L’IIORIZON. 137

stations, et la longueur d'un arc de méridien terrestre , on ne peut plus se dispenser de connaître e, et de faire la part des erreurs séparément. Faisons donc voir comment on peut calculer s. D’ail- . *

leurs dans les méthodes qui seront exposées , cette opération est indispensable.

On commence par chercher approximativement les côtés du triangle , en considérant les angles A, B, C, réduits à l'horizon, comme ceux d’un triangle rectiligne , et la surface de celui-ci comme égale à celle du triangle sphérique S = ~ ab sin C. Tout sera donc connu dans l’éq. (B), sauf le rayon terrestre R, dont nous assignerons bientôt la valeur. En adoptant celle du n° 1 47 qui convient à la France, on a

. . . ~ . . | q. 4o545 en mètres.

e — k ab sin C log A = < ±

( 9.98509 en toises.

Comme le coeff. A est fort petit , il n’est pas nécessaire de faire le calcul avec beaucoup de précision , parce que les erreurs sont rejetées sur des décimales plus éloignées que celles qu’on conserve au nombre r (trois au plus). Nous donnons ici le calcul pour le 1*1 des deux exemples qui précèdent. Nous trouvons

sin C . 1 .g45i4

Ce devrait être l’excès sur 180“ de la somme des trois angles réduits; mais comme on trouve 6", 97 pour cet excès, on reconnaît qu’il y a 3", 63 d’erreur dans les observations, savoir i",2i sur chaque angle, outre i",il provenant de l’excès sphérique.

Ce triangle, l’un des plus grapds qu’on ait formés, a ses côtés d’environ 4o mille mètres ; c’est à peu près tout ce que permet la portée des lunettes ; et cependant l’excès sphérique y est bien faible. On prendra donc confiance aux calculs qu’on fera sur des

138 GÉ0M0RP1ÜE.

triangles moindres. Au reste, il y a un triangle , Desierto , Mongo et Campvey qui joint les îles Baléares à la côte d’Espagne et qui est plus grand encore ; son excès sphérique est de 5 9".

145. Il convient de réduire la formule (B) en table, pour abréger les calculs de l'excès sphérique qui se répètent souvent. Voici comment on s’y prend : soit ABC (fig. 3a) le triangle rectiligne dont ou demande la surface S. La perpendiculaire AD sur la base BC décompose celte aire en ABD -{- ACD : or , on a DC=ô cos C, AD —b sin C, ACD= { b ’ sin C cos C== j b' sin 2C.

De même on trouve ABD = j c’ sin 2B , et par conséquent

£ = 2ÀS = 7 k ( i’ sin 2C -f- c ' sin 2B ).

Or, imaginons qu’on ait construit une table à double entrée , donnant toutes les valeurs de kb 1 sin 2C, pour tous les angles C de degré en degré, et toutes celles de b de 1000 en 1000 mètres ; on en tirera de suite les deux termes de £ , en entrant tour à tour dans cette table avec les nombres b et c , et les angles respectifs C et B (toujours un côté et l’angle adjacent). La somme des deux résultats est c. C’est ainsi qu’est construite la table IV de la Géodésie de M. Puissant. On a soin de prendre pour B et C les deux plus petits angles du triangle , afin d’éviter le cas où la perpendiculaire AD tombe hors du triangle.

On peut encore faire une table des valeurs de f — 2 AS , en prenant pour arguments la base B et la hauteur H du triangle , savoir S = 7 BH , e = ABH. On mesure avec un compas sur la carte la base et la hauteur du triangle, et ces données ont une exactitude suffisante pour ce genre de calcul, parce quee varie très-lentement pour de grands changements de B et de H, attendu que k est extrêmement petit. C’est la table V de M. Puissant. Dans le Système métrique , ce sont les tables V et VI du tome Ier. Nous avons jugé inutile de les reproduire ici.

146. On a souvent besoin de réduire en secondes un arc de la surface terrestre, horizontal, donné soit en toises, soit en mètres, ou réciproquement : voici comment on opère.

Nous verrons bientôt comment on est parvenu à déterminer , par expérience, la longueur de l’arc de i° terrestre. En prenant

RÉDUCTION A L’UORIZON. 139'

l’arc de méridien qui traverse la France , par exemple , on trouve

degré du méridien en France — 57020 toises = 111 1 34 mètres. Or, si 36oo" ont cette longueur, quelle est celle de 1"? d’où

longueur de tare de 1 " = * = i5T,8388g = 3om, 87057,

log *’ =