CALCUL DES COTÉS DES TRIANGLES

rendus sphériques par leur réduction à l’horizon , à des triangles rectilignes formés par les cordes des arcs , ou côtés de ces triangles très-peu courbes. On a de la sorte un polyèdre à faces triangulaires inscrit au globe terrestre, et dont les sommets sont situés à la surface du niveau des mers. Comme il y a très-peu de différence entre chaque arc terrestre et sa corde, de petites corrections , faciles à faire, donnent les arcs par les cordes et réciproquement.

1 5 1 . Cherchons d’abord (fig. 8o) la corde G AH — k d’un arc GyH = y dont la longueur est connue; et réciproquement cette longueur y, quand celle h de la corde est donnée, le rayon du cercle étant IG = R. Prenons le rayon IL = î , la corde LO — a de l’arc a , est (p. 36, n° 35) a == a sin a. Mais , on a

sin — a

d’où

Mais , on a aussi IL : LO : 1 IG ; GH , savoir , 1 ; « ; : R ; k ,

et 1 : n :: R : y; ainsi , il faut changer a en — , et « en — ;

donc

et, lorsque le rayon est très-grand ,

excès ctun arc sur sa corde ,

En mètres logÿ= i5.oi 18474, en toises logÿ = i5. 5g r48y4, en adoptant la valeur de R qui convient à la France (n° i4y). , -3

On a aussi y == k -1 — - — — . . . .

et, substituant pour y sa valeur approchée k,

GÉOMORPHIE.

Ainsi, quand on connaîtra l’une de ces deux quantités, un arc terrestre y ou sa corde k , on pourra calculer l’autre.

Soit par exemple p = 39561“, 39. . . ' y». . . 13.79181

Corde de l’are a * = 39561,33 o”,064. 3.80366

1 52. Dans le triangle sphérique très-peu courbe ABC (fig. 7 2), on connaît le côté a en mètres , ainsi que les trois angles : on demande quels sont les angles A', B', C' et les côtés a, b' , c du triangle rectiligne formé par les trois cordes?

CZ est une verticale à angle droit , sur les arcs CA , CB , ou plutôt sur leurs tangentes en C ; ZCI est de 90°. L’angle ZC« est donc = 90° — \ a, puisque l’angle ICn, formé par une tangente et par une corde , a pour mesure f CaB , ou ~ a. De même ZC p — 900 — ï b.

Imaginons une sphère dont le centre soit en C; sa surface coupera les arêtes du trièdre ZCAB en m , p et n , ce qui détermine un triangle sphérique mpn. On connaît dans ce triangle, outre l’angle m = C que forment les plans ZCA , ZCB , les côtés qui comprennent cet angle, savoir ,mn — go° — ‘-a, mp = 90° — ~b. Pour en tirer le côté pn = C', qui est l’angle des cordes CA, CB, il faut résoudre ce triangle, et comme les arcs a et b ne sont au plus que de quelques minutes, nous imiterons ici ce qui a été fait p. 129 pour réduire un angle â l’horizon.

Cherchons l’excès f de C' sur C C' = C -J- r.

le triangle sphérique mnp donne

cos C' = sin f a sin ~ b -{- cos £ a cos - b cos C

or, on a cos C' = cos C — e sin Cj substituant et développant les sin et cos de 7 a et ‘ b , il vient

cos C — t sin' C — j ab — -J ( à1 -J- b1 ) cos C -f cos C, f sin C = — -j ab-\--t(a' -j-i’)cosC;

CALCUL DES COTÉS DES TRIANGLES, le resle du calcul est le même p. 1 ay , et , l’on a enfin

«=— sin x"tang ic+ i"cot ic...(L)

1 53. Cette valeur de e est aussi 'appelée excès sphérique, quoiqu’elle soit tout autre que la quantité à laquelle Legendre a donné ce nom. La formule ci-dessus exprime en secondes la correction que doit subir, avec son signe, l’angle C des arcs, pour devenir celui des cordes.

On applique celle formule à chacun des angles A, B, Cdu triangle sphérique , et l'on obtient les angles A' , B' , C' du triangle rectiligne formé par les cordes des arcs. On connaît d’ailleurs l’une k de ces cordes par le calcul de l’éq. H, n° 1 5 1 , qui enseigne à la déduire de l’arc j> , ou côté de triangle sphérique ; ainsi l’on pourra calculer les deux autres côtés du triangle rectiligne. Ensuite, on ramènera ces cordes k aux arcs ? par le même procédé, éq. I, n° i5i, et les côtés du triangle sphérique seront connus.

Tel est le procédé que Delambre a suivi dans la base du système métrique. Nou3 allons bientôt en montrer l’application à un exemple.

Mais avant , enseignons à réduire cette formule L en table , car on est obligé d’en faire le calcul pour tous les triangles du réseau. Or , en comparant cette éq. à celle A de la p. 1 3o , on voit qu’elle est la même en signe contraire , en remplaçant h et h par ^ a et { b. Ainsi, l’on entrera dans la table I, qui donne les valeurs des quantités comprises sous la forme -j m1 sin x", avec la somme et avec la différence des arcs j a et ^b exprimés en secondes, ou avec a et b, sauf à prendre ensuite le quart des résultats. On aura ainsi les log des coefficients de tang \ Cet cot j C, la i” négative et la a® positive. Ainsi on obtiendra les deux termes de la formule (L).

154. Il faut réduire en secondes les côtés a et b de l’angle B qui fait le sujet du calcul ; c’est ce qu’on fera ainsi qu’il suit.

On considérera, par approximation, le triangle sphérique proposé ABC , comme rectiligne , et l’on trouvera par le calcul les gSodSsie. 10