La figure 73 représente une chaîne de triangles qu’on a

MESURE. DE LA MÉRIDIENNE. 181

choisis dans la disposition propre à offrir tous les genres d’incidence sur l’arc AV de la méridienne du point A. Cet arc est censé déterminé par des observations astronomiques qui en ont donné la direction. A et L sont les deux stations extrêmes de la chaîne. De L, on abaisse l’arc LX perpendiculaire sur la méridienne AV, et il s’agit de trouver la longueur et la graduation de AX , pour avoir l’arc du méridien terrestre , compris entre des points A et L dont les latitudes sont connues. On a donc ainsi la longueur et le nombre de degrés de cet arc AX , ce qui donne celle du degré de méridien terrestre en cette contrée , etc.

Tous les triangles sont sphériques et très-peu courbes, tracés à la surface du niveau des mers , et l’arc AX est sur cette même surface. On connaît dans ces triangles les angles et les côtés , et nous verrons bientôt qu’on peut calculer les longitudes et les latitudes de tous les sommets, ainsi que les azimuts des côtés, c’està-dire les angles qu’ils font avec la méridienne AV, savoir les angles CAM, FMO, etc.

Prolongeons le côté CD jusqu’à sa rencontre en M avec la méridienne. Nous calculerons d’abord AM ; dans le triangle sphérique très-peu courbe ACM , nous connaissons le côté AC, l’angle ACM =7, mesurés et réduits à l’horizon, enfin l’azimut CAM= a, du i,r côté CA, déterminé astronomiquement (n° 44g). D’après la méthode de Legendre (n° i4i), on trouvera l’excès sphérique e de ce triangle; la somme des trois angles sera 1 8o° -f-e= 7,

ce qui fera connaître l’angle M = C. On réduira ce triangle à un autre rectiligne *'??', en retranchant ÿ e , de chacun des angles a et ?; le supplément de leur somme à x8o° est l’angle M — C'. On posera la proportion

sin e : sin 7' :: AC : AM = x AC.

sin r

Le calcul fera connaître en outre. CM, puis MD — CM — CD.

On cherchera de même MO, dans le quadrilatère MDFO; car la diagonale FM partage cette figure en deux triangles DMF, MFO. On connaît dans le i", DF, DM et l’angle D, supplément de CDF ; ainsi l’on en trouvera les autres parties. Dans MFO, on

182 GÉ0M0RPI11E.

connaît le côté FM et les deux angles adjacents : ainsi l'on calculera MO. Bien entendu que , dans chaque triangle , on aura égard à son excès sphérique, pour le réduire à être rectiligne.

Dans le triangle OHP, on a OH = FH — FO , et les angles adjacents. On calculera les autres parties.

Enfin , résolvant les triangles PHK, PKT, XLT, on obtiendra PZ, ZT, TX. Réunissant toutes les parties de l’arc, on aura la longueur totale AX du méridien. Il faudra que les triangles s’écartent peu de cet arc , et que surtout la dernière station L en soit très- voisine , parce que l’arc LX perpendiculaire à AV ne serait plus sensiblement parallèle à l'équateur , et les latitudes des points L et X ne seraient plus les mêmes. Au reste , nous reviendrons sur ce sujet (n° 2 4g).

i63. Ces calculs supposent que, connaissant les sinus de CM et CD, on en tire la différence DM entre ces arcs, circonstance qui revient souvent dans la suite des opérations. Il convient donc de résoudre ce problème : Trouver le log sinus de la tomme ou de la différence de deux arc* , connaissant les log sin de ces arcs. Soient m et n deux arcs donnés. On a (éq. 1 o , p. 34)

sin m — sin n = 2 sin 7 ( m — n ) cos ( m -f- n ), et comme sin iy — 2 sin j> cos y ,

. , x cos v ( m 4- » )

sin m — sin n = sin ( »i — n ) . — ! <.

eos - ( m — n )

donc, à cause de l’éq. 6, p. 34,

. , . . . cos j(m — n)

sin ( m — n ) = ( sin m — sin n ) . — : ^

. / sin n \

— smm ( 1 : — I

V sin m/

1 — 2 sin’ j(m — «) 1 — asin’^wi-f-n).

Prenant les log et développant (éq. 22 , p. 35), se bornant aux 20B puissances des petits arcs m et n , il vient pour le log de cette dernière fraction, à cause de l’éq. i3, p. 34,

2M j sin’ j ( m — n) — sin’ j ( ni -J- n ) j = 2M sin m . sin i n ,

= -j- M sin m . sin n.

MESURE DE LA MÉRIDIENNE

ISS

Donc, enfin

log sin (m ± n) = log sin m -j- log ^ 1 ±S—— ^ =p-^ sin m sin n.

M désigne le module (p. 4) , R le rayon de la terre , pour que les arcs m et n soient pris dans le cercle de rayon R.

164. Cette manière de trouver l’arc AX en mètres est due à Legendre , et comme les observations astronomiques ont fait connaître les latitudes des points extrêmes A et L, le nombre de degrés de l’arc AL est connu. Ainsi , l'on saura avec précision quelle est la longueur de l’arc de méridien dont la graduation est donnée.

Le seul défaut de ce procédé est qu’il n’est pas analytique ; il faut avoir sous les yeux une figure pour gouverner les calculs. On peut d’ailleurs varier les opérations , en employant divers angles et côtés des triangles , ce qui donne une vérification des calculs , puisqu’en définitive on doit retrouver la même longueur pour l’arc AL. La précision est la même des deux parts, puisqu’on n’y introduit aucune donnée nouvelle tirée de l’observation ; en sorte que si l’on commettait quelque petite erreur de calcul, on trouverait des compensations. En déplaçant quelque peu le point M, sur AL , on allongerait AM , mais on accourcirait MO.

Au reste, nous reviendrons sur ce sujet, et exposerons un autre procédé purement analytique , qui n’exige le secours d’aucune figure, et porte avec lui sa vérification.

1 65. Voici l’application de cette méthode apx premiers triangles de la méridienne de France. A est Dunkerque (fig. y4), où l’on a mesuré l’azimut CAM = a. Les données sont

Dunkerque A a—\6° 46' 27", 5g) CaseelC ACM = ?= i43. jl3.4i,52 j

le côté AC=27458m,6o.

Le 3e angle sphérique M = £ du triangle ACM considéré comme rectiligne est à fort peu près connu , et il est facile d’en tirer l’excès sphérique e — ©",96 ; donc

154 GÉOMOUPHIF-.

Pour rendre le triangle ACM rectiligne , il faut retrancher de chaque angle jf = o",3a ; donc ces angles deviennent