ii
111284.5 111266,0 11 ia3o,a 11 io5i,9 111018,0
Carcassonne..
Montjouy
Formentera ..
La dernière colonne contient la diminution de longueur du degré aux diverses latitudes indiquées dans la colonne précédente. Pour que cette diminution suivît une loi régulière , elle devrait être partout de 24. mètres environ : et l’on trouve que la diminution est trop faible aux deux extrémités , et trop forte au milieu. Les longueurs du degré croissent, il est vrai , avec la latitude; mais ces variations ne sont pas soumises à la loi de proportionnalité aux carrés des sinus de la latitude.
igo. Nous reprendrons encore ici le tableau de la page 175, qui paraît donner la même conséquence. On y voit que le degré de la Caille , mesuré avec de bons instruments et des soins égaux à ceux que Delambre a pris en France , est 1 1 1 r 63 mètres, nombre trop fort pour la latitude de 33°i8' 3o",ce qui semblerait indiquer que l’hémisphère austral n’est pas semblable au boréal.
La Caille a aussi mesuré un degré en France, à la latitude de 47°, et l’a trouvé de 111211 mètres ; mais ce résultat était déduit de la base de Rhodez , qui était trop courte. Il en faut dire autant de l’opération du P. Liesganig en Hongrie; dont l’exactitude est suspecte.
191. L’opération de Lemaire et Bosco wi ch dans les États Romains, établie sur deux bases, doit aussi être rejetée comme donnant une distance trop forte de 108 mètres, de Rimini à
178 GÉ0M0RPH1E.
Rome. L’une de ces bases, située sur la voie Appia, près de Rome, est de 1 it)64m,3o; l'autre près de Rimini, au bord de la mer, est de 1 1 j66m,i 2. Ces bases ont été retrouvées par les ingénieurs géographes français. La dernière a été vérifiée à l’aide de celle du Tessin par une chaîne de triangles qui lie l’une à l’autre. Enfin le travail de Beccaria , en Piémont, établi sur une base de ii79i“,34vprès de Turin, sur la grande route de Rivoli, vérifiée aussi à l’aide de celle du Tessin par les mêmes ingénieurs , est plus défectueuse encore : car cette base , trop faible de 6 mètres, conduit à une longueur trop courte de 120” pour le degré en Piémont. MM. Carlini et Plana ont aussi vérifié cette base de Beccaria, et ont trouvé qu'un nouvel étalonnage de la toise de Mairan faisait disparaître cette erreur. V ay. l’ouvrage qu’ils ont publié.
On peut voir, dans la Revue encyclopédique de décembre 1823, la discussion que j’ai faite de ces travaux et les preuves des erreurs qu’on vient de signaler. Les ingénieurs français ont recommencé ces travaux et en ont reconnu les vices. Ainsi les conséquences que La place a déduites des nombres consignés dans le tableau qu’il cite ne sont pas exactes (voy. Mécanique célette , T. II, p. 1 38).
M. Corabœuf prouve (voy. la Revue citée) que le degré de méridien évalué d’après celui
de Rome à Rimini est de. . . . 1 iog34 mètres,
de Rome à Venise est de. . . . 111212
de Rimini à Venise est de . . . m648
Pour la latitude de 45" , ces résultats supposent p = a58.
Delambre trouve (T. III, p. 92) que p = i5o en France; Legendre a trouvé p — i48; selon M. Puissant, p=-^- cet aplatissement est beaucoup plus grand que les résultats obtenus p. 176, savoir p = 3 1 2, par une 1 rc approximation. Les travaux de Lambton dans l’Inde donnent p = 1 20. Plus tard, nous trouverons p = 3o5 et 3 10, tous nombres différents.
192. Ces discordances , sur lesquelles on ne peut élever aucun doute, résultent de plusieurs causes: 1° des attractions locales
peuvent faire dévier les niveaux et donner des latitudes défectueuses; a0 les observations peuvent avoir quelques inexactitudes; 5° les méridiens peuvent ne pas être elliptiques; 4° les parallèles n’étre pas circulaires; et enfin la terre peut être un sphéroïde irrégulier.
Les oscillations du pendule ont fait reconnaître qu’il y a des localités où l’attraction terrestre est plus puissante que ne le veut la théorie. Les travaux de Maskelyne sur l’influence des montagnes; ceux de Boscowich et Beccaria en Italie, attestent ce. fait. Or, i" d’erreur sur l’arc du méridien donne environ 3 1 mètres de différence sur la longueur du degré.
On ne peut se refuser de reconnaître que , même en dégageant par la pensée, la surface terrestre de ses inégalités , qui ne sont jamais que des accidents minimes et sans importance pour notre objet, la terre n’est pas rigoureusement un solide ellipsoïdal de révolution. Cependant, quoique irrégulier, ce solide peut être considéré comme une sphère, dans les questions qui n’exigent pas une extrême précision, et comme un ellipsoïde de révolution dans toutes les autres. Mais dans ce dernier cas, si l’on veut opérer avec rigueur, il faut choisir l’ellipsoïde dont les dimensions conviennent le mieux à la contrée, c.-à-d., prendre les axes et l’aplatissement que les localités exigent , en recourant au calcul que nous allons indiquer , fondé sur les mesures géodésiques actuelles.
Donc i° on peut toujours admettre que la terre est un ellipsoïde de révolution autour de son petit axe passant par les pôles.
u° Il faut donner à cet ellipsoïde les axes et l’aplatissement qui conviennent à la contrée qu’on considère , et les erreurs de cette supposition seront toujours au-dessous de oelles de l’observation.
193. Parmi les inégalités lunaires, il en est une qui dépend du défaut de sphéricité de la terre; l’aplatissement, cause delà précession et de la nutation , produit aussi un effet dont on peut tenir compte , par le calcul , sur les mouvements de la lune.
Burckhardt a développé ces calculs, et en a déduit que p — 3o4,6, en ayant égard aux inégalités en longitude, et p =*= 5o5,o5 relativement à la latitude.
180 GÉOMOIU'HIE.
Ainsi , l’aplatissement -jfr peut être considéré comme exempt de toute influence des localités. C’est donc cette quantité qu’on devra préférer dans les calculs astronomiques destinés à embrasser le globe entier. Nous verrons d’ailleurs bientôt que ce nombre s’accorde, à fort peu près, avec les résultats des meilleures opérations géodésiques et des mesures du pendule ; quand on pousse les séries jusqu’au degré convenable d’approximation.
ig4. Développons d’abord les formules précédentes jusqu’aux e'*.
L’éq. (1 6) p. 173 étant développée au 6e ordre près, est d» = A(i — e’ )( 1 sin’ l -f- -x e* sin1 l)dl,
et à cause des relations entre les puissances des sinus et cosinus d’arcs multiples ( Court de Math. , T. II, p. 192),
sin’ l = t( 1 — cos sin1 f = t ( 3 — 4 cos 2 1-\- cos 4 1),
d'où . dt = A ( 1 — e’ ) ( * — C cos 2I -{- 7 cos 4/ )dl;
en faisant , pour abréger a = 1 -f- x 4" lr
f-T-'+Tï*4*
11 vient en intégrant
* = A ( 1 — «’)( al- — Xe s*n + s’n 4/). . . (18)
Comme nous voulons que l’arc » du méridien commence à l’équateur et se termine à la latitude l , nous n'ajoutons pas de constante, pour que / — o donne *=o.
195. Pour un autre arc commençant aussi à l’équateur , mais terminé à la latitude f, on a de même
• — A ( 1 — «’)(«/’ — x S sin af -f- -j- 7 sin 4f ).
I.a différence de ces formules donne l’arc » — s de méridien , commençant à la latitude t, et terminé à la latitude /, savoir
— ^==a(/— ^—-^sin 2è— sin 2/’)-(- -?(sin 4/— sin4r)j
faisons
et il viendra , à cause de l’éq. ( i o) , p. 34 ,
S = A( i — e" ) («a — fsinji cosL -|-^sin a Acos2L).,.(ig)
Celte équation est destinée à donner la longueur S d’un arc de méridien terminé aux latitudes l et t.
Mais, pour en faire l'application , il faut avant tout connaître les constantes A et e\ L’arc S est exprimé par la même unité que A. Le terme «A est le produit d’un nombre constant a par la longueur de l’arc A qui, dans un cercle dont le rayon est 1 , mesure la différence des latitudes l — F des deux bouts de l’arc. Pour la commodité des calculs , on doit diviser A par le nombre
fi — (page 36), C.log fi — i. 24167737 ,
et remplacer A par dans l’éq. (19). Alors A désigne le nombre
de degrés de la différence des latitudes extrêmes.
196. En faisant dans cette formule /= l -{- i°, on trouve pour la longueur H de F aro d un degré du méridien, se terminant à la latitude l,
H=A( 1 -eJ)[*arc i°-Ssin 1 °cos('if-f- i )-{-~>sin2°cos2(2/-]- 1 )](2o).
Le parallèle sous la latitude l a pour rayon a?' = N cos l, N étant la normale (ooy. p. 168) . La longueur de cette circonférence est — 2xN X cos l : ainsi l’arc de
.... ■ t XT , N co s / ' , .
i 0 de longitude = d = N . cos l — . . . (2 1 )
C’est d’après ces deux éq. qu’a été construite la table II , en prenant pour A et e * les valeurs qui conviennent à l’aplatissement o,oo324 =
197. On peut se servir de l’éq. (19) pour déterminer la constante e’ et l’aplatissement ; car , si l’on mesure deux arcs S et S' de méridiens , chacune de ces valeurs connues sera liée à ses lati-
182 GÉ0M0RPH1E.
tudes extrêmes par une éq. telle que l’éq. (19). En divisant ces éq. membre à membre , le facteur A ( 1 — «’ ) disparaîtra , et 1 on aura cette relation , qui ne contient plus que la seule inconnue «% laquelle entre dans les constantes C et y:
S aX — C sin x cos L sin 2A 003
S' aX' — S sin x' cos L' -}- 7 y sin xX' cos aL' ’
ici x' est la différence et L' la somme des latitudes extrêmes de l’arc S'.
Il reste à tirer la valeur de e' de cette éq. Or, après avoir réduit au même dénominateur, posons
tn = S?.' — S'a,
n = S sin x’ cos L' — S' sin X cos L ; q == S sin : iX ' cos 2L' — S' sin -jX cos aL,
on trouve «m — Cn t ? 1 — °*
Substituant pour a, S et y leurs valeurs en e’, on a donc
m — 7«*(« — ”») + 7T *4(5m — ^ n TTî) — °> éq. où m,n,q sont des grandeurs connues , et qui est de la forme m — Be* Ca'* = o.
Pour résoudre cette éq. , on ne pourrait la traiter à la maniéré du 2“' degré, parce que la valeur de e1 serait de la forme g ± \/h, et que a’ serait la différence entre les deux parties g et \Zh qui sont presque égales; en sorte qu’il faudrait pousser les approximations très-loin pour que la différence g — ÿh fût exacte. Mais on suit le procédé ci-après. On tire d’abord
puis e — g-,
en négligeant le petit terme Ce’, pour une première approxima—
lion. Mais ensuite on substitue — au lieu de e% dans le dénomi-
nateur , et l’on obtient pour «' une valeur plus approchée , qu’on
substitue de nouveau dans Ce' , et ainsi de suite , jusqu’à ce qu’on trouve que le 2° membre conserve la même valeur après deux de ces substitutions successives ; de sorte que cette valeur est celle de e', avec le nombre de décimales qu'on a conservé dans tous ces calculs successifs. C’est, au reste, le procédé ordinaire de calcul dans tous les cas semblables.
Et quant à l’aplatissement, la valeur de e ' le fait connaître* (voy. page 167), et l’on trouve
doit
