LONGITUDE DU LIEU

servirons bientôt pour trouver la longitude du lieu ; en sorte que le problème proposé se réduit à connaître la distance vraie A, quand on a mesuré la distance apparente è.

Dans la /^^. 157, z est le zénith, p le pôle, pzm le méridien; les triangles sphériques zls^ zVs* donnent [équations (3), n*" 67]

. cosf^— 8in/< sinA' cosA— sinH sinir, ~~ cos/icos/r' ~" côsîTcôsïF '

d'où, en ajoutant 1 aux deux derniers membres,

coS(y-t- cos (/i-f-//) cos A -+- cos (H -h ir ) , cos/icosA' cos H cos H' '

mais le premier numérateur est [équation ( 11 ], n° 31]

2 cos - (/i -f- // -i- (^ ) cos - (/i H- // — ^) = a cos //i cos (m — (?), en faisan'

le numérateur du second membre devient [équations (à) et (6), n** 30]

donc

2C0s'-(HH-H') — 2sin«iA:

• .'* •'/!! 11/ \ cosHcosH' , ^,

sm' - A = cos* - (H "H H ) -. — ;y7 cos/?i cos (/// — o).

Four rendre l'équation propre aux logarithmes, on pose

/cos H cos H , j,,

i / 7 T, C0S//Î cos ( /// — 0 )

. . V cosAcos/* ^ ' ") 8my = J^ eos^jH-Ml'j '

et Ton a enfin

(3) sin-A = co8-(H-+-H')cos<j>.

^insi les équations (i) et (2) servent à trouver les arcs auxiliaires m et 7, et l'équation (3) donne ensuite A.

Maintenant que la distance vraie A est connue, c'est-à*dire la distance qu'on observerait du centre de la Terre, s'il n'y avait pas d'atmosphère,

on recourt à la Connaissance des Temps, pour en tirer, à la date proposée, l'heure comptée à Paris lorsque cette distance vraie a lieu ; cet Ouvrage contient les distances vraies des deux astres de trois en trois heures; et, par interpolation, il est aisé de trouver à quelle heure de Paris la distance est A. Cette interpolation est d'ailleurs facilitée dans la Connaissance des Temps^ parce qu'on y trouve, à côté de chaque dislance, le logarithme de l'intervalle 3 heures, divisé par la différence première entre cette distance et la suivante; la caractéristique de ce logarithme est toujours zéro. On a donc l'heure de cette ville contemporaine à celle du lieu où l'on a mesuré (f; ce senties époques d'un môme phénomène instantané; la différence est donc celle des longitudes.

Nous allons donner un exemple complet d'une détermination de la longitude en mer par l'observation d'une distance lunaire.

Le 23 août 1878, à lo^iS'^o' du matin, temps vrai du bord (on le sa août à 22'' iS^o*), le navire étant par 43*47' de latitude nord, et 9**5" de longitude ouest estimée, on suppose que Ton ait observé la distance des bords les plus voisins du Soleil et de la Lune, la hauteur du bord inférieur du Soleil et la hauteur du bord supérieur de la Lune ; l'œil était élevé de 3 mètres au-dessus de la mer, et l'erreur instrumentale du sextant était -h 2'5o'; la distance du Soleil était orientale. La moyenne des observations a donné les résultats suivants :

Distance observée des bords C et © 58.46. 19

Hauteur observée du bord inférieur Q 5o. 9.67

Hauteur observée du bord supérieur (C 57. 16.45

Avec l'heure du lieu de l'observation et la longitude estimée, 00 cherche l'heure correspondante de Paris :

Temps vrai de l'observation, aa août aa. i5

Longitude ouest estimée 9. 5

Heure vraie de Paris correspondante, a3 août 7.20

A l'aide de !a Connaissance des Temps, on calcule pour cette heure de Paris le demi-diamètre du Soleil, le demi-diamètre et la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune; on tient compte de Taugmentation du demi-diamètre de la Lune due à la hauteur, et de la diminution de la

LONGlTUDfi DU LIEU. 447

parallaxe correspondant à la latitude du lieu; on ajoute à la dislance observée des bords Terreur instrumentale et la somme des demi-diamètres du Soleil et de la Lune; les hauteurs observées des deux astres sont corrigées de Terreur instrumentale, de la dépression de Thorizon et des demi-diamètres. Les résultats obtenus ainsi donnent lieu aux calculs suivants :

Calculs préparatoires,

Demi-diamètre O i5.5i,6

Demi-diamètre en hauteur C i5.53,6

Erreur instrumentale -+- 2.5o,o

Distance observée des bords 'iS. îfi. 19,0

Distance apparente des centres, $ 69 . 20 . 54 , 1%

Hauteur observée bord inférieur O 5o. 9. 57,0

Erreur instrumentale -e 2. 5o,o

Dépression de Thorizon ~ 3. a,i

Demi-diamètre G "^" '«^-^'iB

Hauteur apparente centre QJi 5o.a5.36,5

— ( réfraction — parallaxe ) — 4^,4

Hauteur vraie O) H 50.24.54,1

Parallaxe horizontale équatoriale (C 57 .25 ^o

Diminution relative à la latitude (n* 385) — 5,5

Parallaxe horizontale C clans le lieu, P 57. 19,5

Hauteur observée bord supérieur C 57. 16.45,0

Erreur instrumentale -f- 2.5o,o

Dépression de Thorizon — 3.2,1

Demi-diamètre en hauteur C — i5.53 ,6

Hauteur apparente centre C» ^' 57. 0.39, 3

— (réfipaction — parallaxe) (^) -+- 3o.35,4

Hauteur vraie C> H' 57.31.14,7

( ') Pour calculer arec plus de précision la parallaxe de hauteur de la Lune, on pourra employer ici la formule rigoureuse : sinus parall. de haut. C ^ sin P cos/t' [d'tprès TéquaUon (3), n* 385].

Calcul de la distance vraie Â.

^= 59. ao. 54)3 A= 5o.a5.36,5 /i'= 57. 0.39,3

cos-(H-+-H'). 1,7695535 cosç T, 9226855

siD- A 1,6922390

iA = 29%29'.33',2

comp. cosA 0,1958173

comp. cosA' 0,2640187

cos/n ï,o6o9i5i

cos(/;/ — <J) 1,9605792

cosH 1,8042907

cosH' 'ï',7^99^

somme ï, 0155905

moitié 1,6077953

comp. cos-(H-4-H')... o,23o4465

sinf 1,7382418

f «33.11.0,2 distance vraie A = 58.59.6,4

Calcul de l*heure de Paris correspondante et de la longitude,

n 8*agit maintenant de trouver l'heore moyenne de Pftris, le 23 août. à rinsiant où la distance orientale vraie de la Lune au Soleil était 58"" 59' 6', 4. Cette distance tombe, comme on le voit dans la Connaissanee des Temps de 1878, p. 558, entre les distances du Soleil, le 23 août à 6 heures et à 9 heures ; il faut trouver l'intervalle a qu'on doit ajouter à 6 heures pour avoir Fheure de Pans correspondant à la distance vraie 58'' 59' 6", 4 obtenue en mer. La proportion suivante résout la question :

Si, pour — 1''32'27' de différence entre les distances à 6 heures et

à 9 heures, il y a un intervalle de 3 heures, pour une différence de

— oM3'2i' entre la distance à 6 heures et la distance A, quel sera Tinter-

valle X :

3''x(o''4a^ai')

3* ^ log -^r-T — i est donné à droite de la distance à 6^, c'est 0,2894 ; ^

suffit donc d'y ajouter le logarithme de la différence o"" 4a' 21 'pour avoir

CALCUL DE l'iIEURB ET DE L.V LONGITUDE. 449

le logarithmo de Tintervallo or; on a ainsi :

Distance à 6 heures. 59.41.9.7 ^^^Âlf' *^»^^9^

Dislance trouvée... 58.59. 6

Diflférence 04. •2.'2i=»254i'.. log 3,4o5o

Intervalle X i'*2a"a8» .. logx.... 3.6944 j: = 4948*

Le logarithme 3,4o5o de la différence o'' 42' 21' = ti54i' s'ajoute à 0,2894 ; la somme 3,6944 est le logarithme de 4948* ou de i'>22'"a8'. Cet intervalle ajouté à 6 heures donne 7^22^28' pour l'heure moyenne cherchée.

Mais la valeur ainsi obtenue de l'intervalle x exige une correction pour les différences secondes des distances lunaires. Avec Tintervalie approché i''22™28', et la différence 20 des logarithmes consécutifs 0,2894 et 0,2874, on trouve, dans la table XI de la Connaissance des Temps, la correction +6'; elle est additive, parce que les logarithmes vont en décroissant, ainsi qu'il est expliqué dans la note qui est à la fin de cette Table; donc a: = i*'22"'34', et l'heure demandée est 7*» 22" 34% 23 août.

Actuellement, pour avoir la longitude, il faut comparer ce dernier résultat avec l'heure moyenne du lieu correspondante. Dans notre exemple, l'heure vraie du bord est 22''i5'"o', 22 août; si nous interpolons l'équation de temps pour le 23 août à 7" 22" 34', temps moyen de Paris, nous trouvons +2" 23*, 6; le temps moyen du bord, à l'instant de l'observation, est donc 22"* 17" 23', 6. On a donc

Temps moyen de Paris 7 . 22 . 34 23 août

Temps moyen du lieu 22 . 17 . 24 22 août

Longitude ouest cherchée 9. 5. 10

Cette longitude est occidentale, parce que l'heure de Paris est la plus avancée.

Si la longitude trouvée s'écartait par trop de la longitude estimée, on recommencerait l'opération en partant du résultat obtenu ; en effet, les données, établies d'après une longitude supposée, pouvaient plus ou moins manquer d'exactitude. Pour plus de précision, il sera utile d'observer aussi le baromètre et le thermomètre au moment de l'observation, afin de pouvoir calculer les réfractions avec plus de rigueur, à l'aider des Tables I et II de la Connaissance des Temps,

F. — Géodésie. ^9

45o NAVIGATION.

La distance du Soleil à la Lune est plus facile à observer que celle de la Lune aux étoiles, parce qu'on doit, en outre, prendre les hauteurs des deux astres, et que, quand les étoiles sont très- visibles, T horizon de la mer l'est bien peu. Mais, comme on peut aisément calculer la hauteur d'une étoile (n''408)à un instant donné, on ne doit pas renoncer à se servir des étoiles pour trouver la longitude du lieu. C*est pour cela qu on a indiqué, dans la Connaissance des Temps, les distances vraies des étoiles les plus brillantes à la Lune, et de trois en trois heures. Les planètes Yénus, Jupiter, Saturne et Mars sont tellement éclatantes, qu'on peut aussi se servir des observations de ces astres; leurs distances vraies sont pareillement indiquées dans la Connaissance des Temps.

Le calcul de la distance vraie est assez long, surtout lorsque, au lieu de mesurer en môme temps les deux hauteurs, on veut les calculer; quand, au milieu des fatigues de la mer, on est dans la nécessité de faire ces opérations, il est bien avantageux d'en diminuer les difûcultés. Dans tous les cas, on doit recommander de s'assurer avec beaucoup de soin de l'heure, du lieu, et de préférer mesurer les hauteurs plutôt que de les calculer, surtout celles de la Lune, aûn de ne pas augmenter les chances d'erreur. Comme il est indispensable, pour avoir l'heure exactement, de prendre une hauteur, on peut faire servir à la détermination de l'heure l'heure qui est contemporaine à la distance 9 qu'on a mesurée.

Les Tables IX et X de la Connaissance des Temps, calculées par Burkhardt, ont été construites dans le but de faciliter le calcul des distances vraies; elles donnent, sous le titre différences logarithmiques à sept décimales, pour le Soleil et les étoiles, les valeurs de log ^^^^"^"''^'^'^ ,

° cos hauteur apparente

qui entrent dans la formule (2] ci-dessus. L'explication qui est au bas de ces Tables indique comment on y introduit les corrections barométrique et thermométrique. Mendoza a aussi calculé, dans le môme but, des Tables qui ont été revues et publiées par le capitaine Richard.

525. Par les chronomètres. — On a un chronomètre dont la marche cit connue et parfaitement uniforme; on l'a réglé avec soin au port de départ ; et, comme la Connaissance des Temjjs est composée pour le méridien de Paris, on trouve de l'avantage à prendre pour origine des heures le midi de temps moyen en cette ville. Voici comment on opère.

CALCUL DE l'heure ET DE LA LONGITUDE. 45 1

526. Avant de quitter le port, on a fait, pendant plusieurs jours, des observations astronomiques qui ont donné l'heure de temps moyen du lieu ; d'où Ton a conclu l'avance diurne a du chronomètre, son avance absolue A, à un instant déterminé du jour. Comme la longitude L du lieu est connue par rapport au méridien de Paris, on sait que, quand il est rbeure H dans le lieu, il est à Paris H + L, et que le chronomètre avance alors de A sur le temps moyen du lieu. Il avance donc de A — L sur Paris ; et comme, durant les H -t- L heures écoulées depuis midi moyen

en cette ville, la montre a avancé de — /7(H h-L), on voit qu'à ce midi die n'avançait réellement que de

/i = A-L-^fl(H-+-L).

Telle est l'heure que marquait le chronomètre le jour indiqué, quand il était midi de temps moyen à Paris. Si A et £? sont des retards, on les fait entrer négativement dans le calcul, ainsi que la longitude L si elle est orientale.

Exemple. — A 5**io"i2' = H de temps moyen à Brest, la montre retardait de V

A=~2«i7',5; son retard diurne est

la différence des méridiens de Brest et de Paris ost L = 27"*i8'0uest

en temps,

et l'on a

d'où

= Hh-L

iS

neure du chron. à midi moyen de Paris, /i = — 29.23, 12 c'est-à-dire qu'il était alors au chronomètre i i''3o"36', 88 matin.

45a NAVIGATION.

5^7. Voici maintenant comment on trouve, quelque temps après, Theure 9 de temps moyen à Paris, à une époque déterminée :

n jours après, le chronomètre devra marquer A + a/i, à midi moyen de Paris, ce jour-là; etO heures après» il indiquera

a4 Cette heure T est connue, et Ton a

ô = T — /l — <î/? — -îr flO.

On trouve 0 en négligeant d*abord le dernier terme qui est inconnu et en général très-petit; on a d'abord Theure de Paris, à très-peu près; on substitue ensuite pour B cette valeur dans le dernier terme, et Ton obtient Theure actuelle 0 de temps moyen à Paris quand le chronomètre marque T.

Mais les observations astronomiques faites sur le navire font connallre Theure du temps moyen du lieu au même instant; la différence de ces heures est la longitude du vaisseau, comptée du méridien de Paris.

Reprenons l'exemple qui précède, et supposons qu'au bout de trente jours après celui où l'heure h de Paris ( à midi moyen ) a été calculée, on ait trouvé 6*'a9"49',5 pour l'heure moyenne du lieu, lorsque le chronomètre marque

— '* -hag.aSjia

^an = + 5a',8x 3o jours -h26.ai,o

Heure approchée 0 6. ii . i5, la

Or— ~aO = a^2X6^I87 h- i3,6i I

Valeur corrigée de 9 6. n .28,73 '

Heure contemporaine observée du navire 6.29.49,60 |

Longitude du lieu en temps o. 18.ao.77 E.

La longitude est orientale, parce que le lieu le plus oriental compte toujours V heure la plus avancée,

K28. On remarquera qu'on doit, dans ces formules, prendre négati-

CALCUL DB l'hEUBE ET DE LA LONGITUDE. 4^3

vement les quantités A et a^ quand elles expriment des retards, et aussi L quand la longitude du lieu de départ est à Test; n serait négatif, si les jours précédaient celui dont on a pris le midi pour origine.

Un navire en rade de Toulon avait son chronomètre en avance de à == + 3'*52' sur le méridien de cette ville, à 5''7"'8* » H, temps moyen

de Toalon : avec un retard diurne o = — 7*,a4, d'où -r a = — o',3oi7.

Comme la longitude est L = — i4"aa' à l'est de Paris, on trouve

— L = -M4.aa

L^-M.aa ^•>»7X4,88 ~«(H-hL). + i,47