CA'=CA = ^ CB'=CB

Or, si le côté a est < ^, a tombe dans l'angle A'G A, comme CB, Cfi\ et l'on a deux triangles BCA, B'C A, composés des trois éléments donnés A, b et 0, c'est-è-dire deux solutions du problème. Alors l'un des angles B à la base est obtus, l'autre B' est aigu. Au contraire, si a > ^, l'arc a tombe comme C/', et le triangle ACf* est le seul qui réunisse les trois éléments donnés, attendu que l'arc C/, symétrique à C/, se trouve exclu, comme étant situé au-dessus du plan CA. Il n'y a donc qn^ujie sotution; et l'angle B du triangle AC/' est aigu en /', ainsi que b, EnGn, quand le côté a > C« s= i8o**— 6, l'arc a tombe comme CB", en dessus du plan ACa, et fV n^x a aucune sohuion possible*

Dans tout cela, l'arc b < 90**, puisqu'on a pris CA = 6; mais, si ron avait 6 s Ca > 90"*, et que le côté a tombât comme CB ou CB', on aurait encore deux solutions BCa, B'Ca, ayant à la base, l'un l'angle B aigu, l'autre l'angle B' obtus : tandis qu'on n'en aurait qu'«/ie seule aCf si ce côté a tombait en Cf dans l'espace A'Ca, avec un angle/' obtus aussi bien que b\ enfin il n'y aurait aucune solution si ce côté a tombait en CB*' au-dessus du plan ACa.

Ainsi, quand l'angle A est aigu, b étant > ou < 90**, il n'y a qu'une solution, lorsque le côté b tombe dans l'espace a G A', c'est-à-dire quand la \aleur de l'arc a est entre b et iSo""— b, et alors l'angle à la base est aigu ou obtus avec b : hors de ces limites, il y a deux solutions ou il n'y en a aucune; deux quand a tombe sur Tare AMA', circonstance où a < 90*", aucune quand a tombe sur l'arc a ma', où a > 90*".

Yenons-en maintenant au cas où Vangle A est obtus^ cas où le côté a qui ferme le triangle, en partant de C, doit ôtre au-dessus du plan aCA, tels que C/, CB', .... Le môme raisonnement montre que, si £i « G a > 90**, et si le côté terminal a tombe dans l'espace aCa', il y a deux soiaiions, toiles que aCB*, aCB*", ayant à leur base, l'une un angle B"* aigu, l'autre

TRIGONOUéTRIB SPBÉRIQUB. . 8l

on angle B' obtas ; qu*// /?'/ en a qu'une seule KC«, quand ce côté a tombe, comme ci-devant, dans l'angle a' CÂ, l'angle R à la base étant aigv ou obtus en même temps que b\ et enfin qu'il n'jr en a pas de possible, lorsque a tombe sur l'arc A' MA.

On opérera de môme pour le cas de a s GA < 90**.

Que l'angle A soit aigu ou obtus, on voit donc que la solution est unique, quand le côté terminal a, opposé à l'angle donné A, a sa valeur entrée et ido""— 6 : hors de ces limites, la question admet deux solutions on aucune; deux quand A et a sont de môme espèce (ensemble >ou<9o''), et aucune lorsque ces arcs sont d'espèces différentes. Et s'il n'y a qu'une solution, B et 6 sont de môme espèce. Or on sait (n*" 8i ) que la perpendiculaire abaissée du sommet G sur la basée tombe au dedans ou au dehors du triangle ( ce que d'ailleurs on reconnaît bien sur la^^. 55), selon que les angles A et B à la base sont d'espèces semblables ou différentes ; donc, dans les équations

c = y=i:ip', C=OdbÔ',

on prendra le signe + quand les arcs A et ^ seront de môme espèce, et — dans le cas contraire, condition qui détermine la solution. L'analyse du troisième cas du n"* 83 est ainsi complétée, puisqu'on sait quelle est celle des deux solutions qu'on doit admettre.

Donc, lorsqv^on aura un triangle à résoudre^ connaissant deux côtés Oy b et un angle opposé A, on comparera aà b et à iSo^— b] si a est Vane de ces limites ou compris entre elles, il n'y a qu'une seule solution :B et b sont de même espèce] C et c seront la somme ou la différence de leurs segments, selon que les arcs k et b seront d'espèces semblables ott différentes. Hors de ces limites, on a deux solutions, quand A et a sont de même espèce, et aucun triangle n'est possible dans le cas contraire.

Observez que la moindre et la plus grande valeur que le côté terminal // puisse recevoir sont CM et C/w, l'une >|», l'autre 180" — 4^5 si o n'était pas compris entre ces limites, c'est-à-dire entre les deux valeurs supplémentaires de '^ que donne l'équition (16), p. 76, le problème proposé serait absurde, parôe qu'on ne pourrait former aucun triangle avec les trois éléments donnés A, b et a. Au reste, ce cas n'exige pas de calcul

F. — Géodésie. 6

Sa GÉOMORPIIIB.

^écial pour être reconnu, attendu qu*il se manifeste de lui-même par «ne opération impraticable.

89. Deuxième cas. — On donne deux angles A et B, avec un côté o/>oosé b.

En raisonnant comme ci-dessus, on arriverait à une conséquence qu'on obtient plus facilement par la considération du triangle supplémentaire A' B'C'ifig. 48, n? 6»). On y connaît les côtés ct' = 180°— A, è' « i8o' - B, et l'angle B'^iSo^—b; et il suit de ce qu'on vient de dire que ces éléments appartiennent à deux triangles dont un seul convient à la question, quand b\ côté opposée Tangle B', est compris entre a'el iS&*—a, ou ce qui équivaut, quand Best entre A et 180''— A (en retranchant chaque arc de 180*^). Alors A et a doivent être de même espèce-, G et c seront la somme ou la différence de leurs segments, selon que les arcs A et 6 seront d'espèces semblables ou différentes.

Ainsi, lorsqu'on voudra résoudre un triangle où A, B et b seront donnés, on comparera B à A et 180'*— A; « B est l'un de ces arcs ou intermédiaire entre eux y il rCy aura qiCane seule solution; A et a seront de même espèce; dans les équations

on prendra le signe -f- quand les arcs A et b seront de même espèce j et — dans r autre cas, ce qui apprendra quelle est celle qu'on doit adopter ou rejeter des deux solutions que donne le calcul (n" 83, 4*)' ^^^ fie ces limites, il y a deux solutions quand B et b sont de même espèce, et aucune lorsque ces arcs sont d*espèce différente.

En outre, l'angle B doit être compris entre les deux valeurs supplémentaires de ^l^ données par l'équation (16) ; car sans cela on ne pourrait former aucun triangle avec les données, et le problème serait absurde.

90. Quand le triangle est rectangle, CM ou Cm (Jig, 55) est l'un des eôtés, et si l'on donne un angle et un côté opposés, il y a deux solutions qui se réduisent à une seule dans certains cas.

1** Étant donnés l'hypoténuse a et un côté b^ trouver l'angle opposé B. L'équation (/i), p. 66, fait connaître B par un sinus, qui répond à deux arcs supplémentaires. De même, étant donnés l'hypoténuse a et l'angle B, trouver le côté opposé b, La même équation donne deux arcs supplémen-

TRIGONOMBTRIB 9PHÉRIQVE. ^3

lairûs pour le côté opposé b. Biais, dans ces deux cas, on n'admet qu'une seule solution, parce que les deux arcs GA ou CA', qui ferment le triangle CMA, GMÀ', sont symétriques : ainsi B et 6 sont de même espèce, et il n'y a plus d'indécision.

i"" Étant donnés un côté b de Tangie droit et Tangle opposé B, la troisième partie cherchée admet deux valeurs : car si Ton demande l'hypoténuse a^ réquation (n) donne sina; si l'on cherche le troisième côléc, réquation (r) donne sine; enfin, pour trouver l'angle C adjacent au côté connu b, l'équation {s) donne sinC. Ainsi l'inconnue reçoit deux valeurs supplémentaires pour l'arc correspondant à chacun de ces sinus.

IH. Voici quelques applications numériques. I. Soient

tf = i33*i9', ^=i57'a8', A = 45^23'.

Le triangle est impossible, parce que a n'est pas entre 67'' a8' et son supplément iai*32', et qu'en outre A et a ne sont pas de même espèce. n. U en faut dire autant si l'on a

A = 120% Bs=5i% 6 = 101';

car on trouve que B n'est pas entre lao degrés et 60 degrés, et que B et b ne sont pas de même espèce.

Les exemples suivants sont établis sur un triangle sphérique dent voici les côtés et les angles :

fl= 76'*35'36" logsin» 7,98800 07612 logco8==ï, 3652a 78723

b =: 5o.io.3o 7,88536 35668 7, 80648 17481

e a 40. o.io 7,80809 2588o 7,88423 62983

: (Voir Connaissance des Temps de 1819, p. 322.) I m. Soient

il n'y a qu'une solution, attendu que a est entre b et 180'— 6; B est

84 GÉOMORPaiE.

<9o*, et i'aro perpendiculaire abaissé du sommet tombant dans le triangle, 7 et f' sont positifs; c est la somme de ces arcs. Le calcul de» équations (i), (5) et (3), p. 74, donne

tang^...

cosa..

cosA

COS«p..

tang<p...