LOG COSINUS
LOG TARC.
«= 7i-a4-39 h = i4o.5a.4o c =114.15.54 B = i38.'tj.45 C =105.02.39
75. Le signe — qui suit plusieurs de ces logarithmes est destiné à indiquer que le facteur qui s'y rapporte est négatif; ce qu'il ne faut pas confondre avec les — qu'on place à gauche des logarithmes quand on veut écrire qu'il faut les soustraire, ce qui arrive dans le cas d'une division. Selon que le nombre des facteurs négatifs d'une formule est pair ou impair, le produit a le signe -h ou —, circonstance qu'il faut noter avec soin; car, par exemple, tangfl donne pour a un arc a < 90*, quand celte tangente est positive, et le supplément de cette valeur quand la tangente est négative.
Quant au T qui est l'entier de plusieurs logarithmes, cette notation indique que, le rayon étant pris égal à i dans nos équations, comme il faut retrancher 10 de toutes les caractéristiques des Tables, la caractéristique du logarithme dont il s'agit est réduite à — i, valeur négative qui accom-
TRIGONOUÉTUB SPHÉRIQUE. 71
pagne une fraction décimale positive. Nous jugeons plus commode de nous servir, par la suite, de ces caractéristiques négatives que des logarithmes totalement négatifs, lesquels appartiennent à des facteurs <i, et nous laissons R = i, au lieu de corriger les formules générales pour les approprier au cas où le rayon est R := lo^o. Du reste, ces parties entières négatives se comportent dans les calculs comme toutes les quantités soustractives.
Triangles sphériques obUquangles.
76. Passons en revue tous les cas qui peuvent se présenter ( fig. 53.) Premier cas. — Étant donnés les trois côtés a, 6, c, trouver l*angle A.
L'équation (3), p. 64, en substituant i — 2 sin* - A pour cosA [équation (6), p. 3a], devient
(i5) cosâ = cos(^ — r) — asin6sinrsin*-A.
Celte équation est d'un fréquent usage. On en tire
a sin b sine sin* - A = cos{6 — c) — cosa,
et, à cause de Téquation (la), p. 3a (i),
a* sin^sinc
Cette équation, propre au calcul des loganthmes, fait connaître l'angle A. Elle devient plus symétrique en posant
d'où
(16) sm«-A= — ii- — . , . ^•
(') Comme le premier membre est eMentiellemeDt positif, ainsi quesÎD^ et sine (attendu que b et c sont < 180^), on voit qu'il faut qu'on ait à la fois e<^+a et c> è — a, puisque les relations contraires sont visiblement absurdes; on retrouve donc ici le théorème 6*^, p. 62,
72 OSOMORPlilB.
De même, en mettant dans l'équation ( 3) a cos> - À — i pour cosÂ, on a
ces» - A = — ^. /r ^•
a sm^ sin c
Enfin, en divisant la première de ces équations par la seconde»
(.8) tang.iA = Sîfc^l|i!^i^.
^ ' ^ % sinpsin{p — a)
L'une quelconque de ces trois équations résout la question.
77. Deuxième cas. — Étfrnt donnés les trois angles A, B, G, trwiper le côté a.
Là propriété du triangle supplémentaire (n"" 69), appliquée aux équations précédentes par la substitution des valeurs et posant
aP = A-hB-f-C,
donno
. . I cosPcos(P — A) 2 smBsmC
,1 cos(P-B)cos(P — C^
COS« - r/ = ^^ ' li • n >
2 smBsmC
i2 cosPcos(P — A)
^^ a''"" cos(P— B)co8(P-C)'
78. TROisiàliB CAS. — Étant donnés deux côtés a et b et l'angle compris C, trouver le troisième côté.
L'équation (4), p. 64* peut être employée sous cette forme
cosc= cosacos6(i -H tangfl tango cosC).
Cette formule se prête mal au calcul logarithmique, ainsi que la suivante; mais nous reviendrons sur ce sujet.
79. Quatrième cas. — Étant donnés deux angles C^etT^et le côté adjacent n, trouver le troisième angle A.
L'équation (7), p. 65, donne
cosA = cosB cosC(tangB tangC cosa — i).
80< Cinquième cas. — De deux côtés et les angles opposés, connais^ sont trois éléments, trouver le quatrième. n faut recourir à la règle des quatre sinus [équation (5), p. 65].
TniGONOMÉTRiE SPHÉRIQUE. 73
81. Excité lorsque Ton connaît les trois côtés ou les trois angles d'un triangle, tout problème de Trigonométrie sphérique comprend, au rang des données, un angle et un côté adjacent, outre un troisième élément. Dans ce qui suit, nous désignerons toujours cet angle par A et ce côté par b. Abaissons de Tun des angles C (Jig. 53) un arc CD perpendiculaire sur le côté c ; ce côté c sera coupé en deux segments <p et r', et Tangle G en deux angles G et G', savoir
Bien entendu que l*une de ces parties sera négative dans chaque équa* tion, si rare perpendiculaire tombe hors du triangle^ cas qui se présente lorsque l'un des angles keth de la base est aigu et Vautre obtus; cet arc tombe, au contraire, au dedans du triangle quand ces deux angles sont de même espèce. En effet, des deux triangles rectangles ACD, BCD, tirons les valeurs de Tare perpendiculaire CD par l'équation (r), p. 66,
tangCD = tang A sin<p = tangB sin^'.
Si les angles A et B sont de même espèce, leurs tangentes ont même signe; sinf et sin^' sont donc dans le même cas; mais, quand A et B sont d'espèces différentes, leurs tangentes et, par suite, sin^ et sin^' doivent avoir des signes contraires ; alors l'arc perpendiculaire CD tombe hors du triangle, et l'un des segments 7 et 7' a seul le signe — .
82. Dans l^fig, 53, on voit que le triangle ABC est décomposé en deux, ACD, BCD, qu'on peut traiter séparément et dont la résolution fait connaître les éléments non donnés à l'aide de ceux qui le sont. Ce procédé conduit à des équations simples, auxquelles le calcul des logarithmes s'applique &cQement. C'est ce que nous allons montrer.
On résout d'abord les triangles ACD, BCD pour en tirer l'une des parties <f on 0 du côté c ou de l'angle C, en supposant connus l'angle A et le côté adjacent b. Les équations (p) et (9], p. 66 , conduisent aux équations (1) et (a). Puis, tirant de chacun de ces triangles les valeurs de l'arc perpendiculaire CD et égalant ces valeurs, on obtient les équations (5), (^)> (7) ^^ Wi lesquelles viennent respectivement des équations (m),
GBOMORPHIB.
{sh
(r)ei(p):
tang<p = tang^cosA,
cotÔ = cosôtaiigA,
COS/^/COSf' COsA^COS'p'
cosA sinO cosB^sinô''
tengA sin<p' tangB"~sinf '
tang^ cosô tang6~cosô''
sinA sina
sinB sma
sinC sine
83. Voici les divers cas qui peuvent se présenter et la manière de les traiter par ces équations, en ayant soin d'ailleurs d'avoir égard aux signes des cosinus et des tangentes, sigi^es qui sont positifs ou négatifs, selon que ces lignes appartiennent à des arcs < ou > go"".
Ouire les données A et b^ on a encore un troisième élément :
i* Si Ton connaît e {deux côtés b et c, et l'angle compris A), l'équation (i) donne 7, (3) donne (<p'), et ces arcs peuvent recevoir le signe—; (5) donne a; (7), B; enfin (9), G, dont l'espèce est d'ailleurs connue (n^ 8i).
a* Si l'on a C (deux angles X et C et le côté adjacent A), l'équation (2) donne 0; (4), Ô', qui peut être négatif; (6), B; (8), a\ (9), c, qui est d'espèce connue.
3* Quand on connaît a {deux côtés a et à et l'angle opposé A), l'équation (i) donner; (5), y'; (3), c; (7) et (9), BetC.
Ou bien (a) donne 0; (8), 0'; (4), c; (6) et (9), B et c
Dans ce cas, le problème a, en général, deux solutions ; car f' ou 0* étant calculé par un cosinus, l'arc a le double signe =b ; c et C ont donc deux valeurs, à moins qu'on ne soit conduit à en rejeter une comme négative, ou > 8o'. Les équations (6) et (7) donnent <p' et ^ par leurs sinus, et il en résulte deux valeurs de B ; de même pour G et c
4" Quand on connaît B {ileux emgles A et B, et le côté opposé 6), l'équation (a) donne d; (6),©'; (4), G; (8) et (9), <ieti?.
Ou bien .(i) donner; (7), «p'; (3), c; (5) et (9), <i et G.
Il existe encore ici deux solutions ; car t/ ou 0' étant donné par un si* nus, l'arc a deux valeurs supplémentaires; ainsi c dans l'équation (3) et a dans l'équation (8) reçoivent deux valeurs ; de même pour a et r dans (5) et (4), etc.
TRIGONOMKTRIB 8PHÉRIQUE. 75
Observez que, daos chacun des quatre cas que novs venons d'analyser, on ne se sert que des équations marquées de numéros, soit pairs, soit impairs; et lorsqu'on a le choix des deux systèmes, on préfère celui qui conduit à des calculs plus simples ou plus précis.
84. Voici plusieurs conséquences importantes (>^. 53) i i* L'équation (5) donne
cos//-> cosg cos<j» — cosy'
COàb -h C0S« "" COSf •+- cos^'' et en vertu des équations (i i) et (12), p. 3^, comme r » ^ + <)'', on a
(10) lang- (y— 7) = tang-(//-h^)tang-(rt — ^)cot-r.
Cofwaissatu les tt-ois côtés /?, 6, c d'un triangle, cette équation rait connaître la demi-différence des segments 7 et 7' et, par suite, ces segments mêmes, puisque - c est leur demi-somme. En résolvant les triangles rectangles ÂCD, BCD, on obtient les angles A et B, savoir :
(11) cosÂ=stang<f cot^, cosB = lang7'cottf.
a* L'équation (7] donne de même [équations (14) et (i5), p. 32 ]
tanp:A— tangB siny^— siny tang|(y'— y) tangA -h tangB "" sin<p'-H siny "" tang|(y'-h y)'
y I * I / / ^ sin(A — B) , I
(la) tang-(f — <p)= -:-7-r jj- tang-r.
^ ' ©a^^ ^' sm(A-4-B) ^ 'k
Quand on connaît deux angles k^^ et le côté adjacent c, cette équation donne f et y' (^, 53] ; les équations (11) déterminent ensuite^ et 6. 3* L'équation (6) donne, en opérant de la même manière,
(i3) tangi(Ô'-ô) = tangi(AH-B)tang-(A — B)tangic.
Lorsque les trois angles A, B, C sont donnés, cette équation fait connaître d et O'; on a ensuite les côtés a et b, en résolvant les triangles ACD, BCD
(i4) cos6«cotOcotA, cos/ï = cot6'cotB.
76 6É0H0RPH1E.
4"* Enfin Téquation (8) donne de môme
(.5) tangi(e'-e) = 5!B|^!cotic.
Connaissant deux côtés a^ b et r angle compris G, on obtiendra 7 et 7', puis  et B par les équations (14).
85. Les équations que nous venons d'établir servent à démontrer les théorèmes connus sous le nom ^'analogies de Neper, Égalons les valeurs
(io)et(i!i)detang-(f'— f),nousaurons,àcausedesin2«sasinacosa,
/ iï\ * "/ j.\* >/ Lx sini(A — B)co8l(A— B), ,1
(16) tang-(fl-+- A)tang-(flf — ^) = . ?). — ^^ \)-r — =ç(tang*-c.
^ ' ^^^ ' ^'a^ ' sm^{A-hB)cos|{A-»-B) ^a
Or l'équation {9) donne
sing — sin^ sin A •— sinB
sinfl -H sin^ ~" sin A h- sinB' d'où (i 5), p. 3a,
tangi(r/--&)^tangi(A-B) tangi(fl H- h) langui A -+- B) "
Multipliant ou divisant l'équation (16) membre à membre par cette dernière, tous les facteurs qui ne sont pas détruits sont au carré ; prenant la racine, il vient
Il . ,. sinj(A — B) ^ I tang.(.-*) = ^-j^-^tang-r, et tangl(fl + *) = 5^^4îtangic(«).
^a^ ' cos-i(A-hB) *'a ^ '
Égalons les valeurs (i3) et (i5) de tang-(d'— 9) et opérons de la môme manière sur Féquation résultante, ce qui revient à changer A et B
(') Comme taDg*cco8-(A — B) est une quantité positive, il faut que
tang-(<i+ *), et co8-(A-+-B) aient môme signe, d'où Ton conclut que la
demi'iomme de deux emgles quelconques est toujours de la même esphce que U demi-somme des deux côtés opposés, et réciproquement.
TRIGONOMBTRIB SPHERIQUE. 77
ci-devant en ^ et & et réciproquement, puis r en C ; nous avons
' . I / 1 n\ sinl(rt — A) . I ^ lang - (A — B) = -r-f^ j-: cot- C,
tang-(A-f-B) = — J^ 7-: cot-C.
''a^ ' cosi(«-+-4') a
Telles sont les analogies de Neper : on s'en sert principalement pour trouver deux côtés a et 6 d'un triangle, lorsqu'on connaît le troisième côté c et les deux angles adjacents A et B [équation (17)], ou bien pour trouver deox angles A et B, connaissant les deux côtés opposés a, b et l'angle comprise [équation (18) ci-dessus].
Triangles isoscêles,
86. Soient C et B les deux angles égaux d'un triangle isoscèle (Jfg, 54), & et c les deux côtés égaux, A l'angle du sommet, a la base; l'arc perpendiculaire qui va du sommet au milieu de la base forme deux triangles rectangles symétriques, dans lesquels on trouve les relations suivantes, formées des combinaisons trois à trois des quatre éléments A, B, a^ù\ces équations font connaître l'un quelconque de ces arcs, quand on a les deux autres. Ainsi, fie ces quatre parties d*un triangle sphérique isoscèle^ l'angle A du sommet, la base a, l*un b des côtés égaux, et l'un b des angles égaux, deux étant données, on peut trouver les deux autres,
M gin-assin-Asin^,
iq) cos^ = cotBcot-A,
(p) tang - «r = tang b cos B,
[s] cos-A = cos-asinB.
Des problêmes qui ont deux solutions.
87. Tout triangle sphérique résulte de la section d'une sphère par trois pkns qui passent au centre. La>^. 55 a pour base le cercle KBIK' et représente an hémisphère produit par l'un de ces plans : les deux autres pbos donnent les demi-ciFconférences AGa, BCB"* qu'on voit ici en per-
78 OÉOMORPUIË.
spective ; leurs plans se coupent selon le rayon GO et déterminent le triangle sphérique ABC. Les arcs GA, Ca sont supplémentaires; l'angle A est l'inclinaison du plan ACa sur la base KK'. En menant le plan MG m par le rayon GO, perpendiculairement à cette base KK', puis prenant MA's= BfA, de part et d'autre de ce plan MGiti, on obtient un deuxième plan A'Ga' symétrique à AGa, et Ton a
/ï/a = //ja', AG = A'C, Ca = Ca', A-A'=a«a'.
Si Ton fait tourner le plan AGa autour du rayon GO pour prendre toutes les positions GK, GB, G/, . . . , ce plan sera perpendiculaire à la base quand il coïncidera avec MGm; puis, dans Tune quelconque de ces positions, il formera avec la base deux angles supplémentaires, Tun en dessous, Tautre en dessus de ce plan. Les arcs GB, GA, G/, ... croissent en s'écartant de Tare perpendiculaire GM ^ ^, qui est le plus petit de tous, jusqu'à Tare perpendiculaire opposé G/;f, qui est le plus grand. En effet, (e triangle rectangle AGM, où GA » b, donne
cosAGM = cot^ tangv,
et le facteur tang^ est constant.
Quand Tangle AGM est devenu de 90 degrés, comme pour Tare GK, dont le plan est perpendiculaire à MG/t?, on a oot^BO, et Tare GK s= 90°. Le plan continuant ensuite de tourner vers G a', cosACM devient négatif et croit ainsi que cot6; en sorte que l'arc Gx' continue d'augmenter. Tout est d'ailleurs symétrique des deux côtés du plan MG//t; ainsi les arcs et les inclinaisons seront deux à deux égaux, pour des arcs égaux MA = MA', savoir G A = GA', angle A *= A'.
En tournant ainsi, le plan coupant s'incline d'abord de plus en plus sur la base KMK', en devenant GB, GA, GK, car le triangle rectangle AGM donne encore
(19) sinxp asin^sinA,
équation dont le premier membre est constant, et où sin6 va d'abord en augmentant, comme on vient de le dire : ainsi sinA décroît en même tett|». MAis, dès que le' côté b atteint ^ degrés (alors GB'deTÎent GK » 90"" » MK), sin6 diminue; donc sin A augmente, et Fangle A, aigti à la base, a pris sa moindre valeur au point K et commence à croître.
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQVE. 79
Ce point K est le pôle de la demi-circonférence MCm; l'angle K est mesuré par l'arc CM « -i' » K, ou de Tautre côté du plan coupant, par Cot=i8o*— >p.
On voit donc que tous les arcs partant de C [fig. 55) pour aboutir en quelque point de la base demi-circulaire Ë^MK'sont <9o''; tandis que les autres qui vont en K/wK' sont > 90**, et que CK = CK'= 90**. De plus, CM = 4* ®^ C/w = i8o*— 4* [valeurs de 4» que donne l'équation (16)] sont les limites entre lesquelles ces arcs CA sont renfermés. Plus un arc approche de CM, plus il est petit; plus il approche de Cm, plus au contraire il est grand.
L'inclinaison des plans sur la base, de 90 degrés qu'elle est en MC/w, diminue en prenant les positions CB, CA,..., jusqu'en CK où elle devient ÏC =4^; puis elle croît de K vers w, jusqu'à redevenir de 90 degrés en Cm. L*angte est aigu du côté de CM, mais il est obtus du côté de Cm, ces derniers angles étant suppléments respectifs des premiers : tous ces angles obtus sont < 180**— >p.
Enfin, tout' est synlétrique de part et d'autre de MCm, en sorte que, pour deux arcs égaux MA et MA', les inclinaisons de CA, CA' sont égales, et ces arcs sont égaux.
D'après cela, il est aisé de reconnaître si, pour an triangle quelconque BCÀ, ou B'CA, l'arc AM, perpendiculaire sur la base AB, tombe au dédans ou au dehors de ce triangle, et l'on vérifie les corollaire^ donnés (n* 72), relatifs aux grandeurs des côtés et des angles des triangles rec^ tangles.
Les problèmes qui ont des solutions doubles, et qu'on a coutume d'appeler cas douteux, sont ceux 0^^ parmi les données, il y a un côté et l'angle qui lui est opposé, ce qui arrive dans deux problèmes 3** et 4"*, p. 74.
88. Premier cas. — * On donne detus côtés a et b^ et Sangle opposé A.
Coupez l'hémisphtoe KMK' (fig, 55) par un plan ACa, passant par le centre 0, et qui suit ihcliné de l'angle A sur la base ; puis prenez AC <= ^ ; C sera le sommet du triangle, lequel doit être fermé par un arc CB «= ^ , de grandeur connue. Analysons ces conditions.
Supposons d'abord que Y angle A soit aigii^ CA «= 6 est l'un des côtés du triangle que ferme lé côté /ï qui doit toiliberdans la région aA' MA. puisque, si le côté a tombait comme C/, Ca', . . . , le triangle CA/,
SO GÉOUORPIIIE.
CAa', ..., au lieu de Tangle aigu À, aurait celui qui, de l'autre côté du plan CA, en est le supplément. Ce côté terminal a, partant du sommet C, doit donc se rendre en quelque point de l'arc AMa. Les arcs, tels que CB, CB', sont deux à deux égaux et autant inclinés sur la base, lorsqu'ils vont en des points B, F, à égale distance de M. Prenons UX'^ MA, MB' = MB ; les arcs seront
