CHAPITRE III

GÉOMORPHIE TERRESTRE.

Principes généraux, stations, signaux,

409. Lorsqu'on veut déterminer les positions relatives des points les plus remarquables d'une contrée fort étendue, telle qu'une province, un royaume, on y distingue d'abord des lieux assez élevés pour permettre, lorsqu'on y est placé, de découvrir au loin les régions environnantes ; ce sont les stations d'où l'on fait les observations. On y construit, quand cela est nécessaire, des abris, des signaux qu'on puisse apercevoir des stations environnantes. On éloigne le plus qu'on peut ces stations (8 à toooo mètres et plus), autant pour économiser le temps, la peine et

"l\)a • CEOMORPHIE.

les dépenses, que pour arriver à des résultats plus précis, ainsi qu'on le dira bientôt. Jointes, par la pensée, par des lignes droites qui traversent l'espace, ces sommités déterminent une sorte de réseau formé par un enchaînement de grands triangles, qui, par leur continuité, couvrent toat le pays qu'on veut lever. On calcule ou l'on mesure tous les éléments de ces triangles, comme on l'expliquera par la suite.

L'ingénieur mesure avec un soin extrême tous les angles de oes triangles, ainsi qu'une longueur qu'il appelle une base. Cette base est l'un des côtés de nos triangles, et le calcul lui apprend à connaître les longueurs de tous les autres côtés, parce que cette base fait partie de la triangulation générale. Il appelle ce réseau un canevas trigonométrique.

Ces divers triangles sont, il est vrai, situés dans l'espace, et forment un polyèdre à faces triangulaires qui enveloppe le sol ; mais, en abrjsâant une verticale de chaque sommité, cette droite rencontre un point de la surface prolongée sous terre du niveau des mers. Cette surface est considérée en Géodésie comme étant celle du sphéroïde terrestre, parce qa on y néglige les petites inégalités des montagnes, comme étant tout à fait insensibles comparativement aux immenses dimensions du globe. Ainsi l'on substitue, par la pensée, aux triangles rectilignes qui font, dans l'espace, le sujet des observations, d'autres triangles curvilignes tracés à la surface de ce sphéroïde, et c'est par le calcul qu'on détermine la forme et les dimensions de ces triangles. Projeter ainsi sur le sphéroïde terrestre les triangles observés, c'est ce qu'on appelle les réduire à Pftorizon; et comme on trouve que la figure du sphéroïde diffère extrêmement peu d'une sphère, on est en droit de supposer que chacune de ces projections est faite sur une sphère d'un certain rayon, attendu la petitesse des dimensions de chacun de ces triangles : ce rayon est d'ailleurs variable avec les lieux.

On nomme triangles du premier ordre ceux qui ont ainsi les plus grandes dimensions dans le réseau. Ensuite on choisit d'autres stations dans leur intérieur, qu'on rattache aux premières par des observations, dont la précision est encore très-grande, quoique moindre que pour les triangles primitifs. On forme ainsi des triangles du deuxième ordre qui sont moins étendus que les premiers; ceux-ci servent à leur tour à en former de troisième ordre. Dès que les côtés n'ont plus que 600 à 1000 mètres de longueur, leur courbure est si peu prononcée, qu'on est

STATIONS. SIGNAUX 1o3

en di-oit de les regarder comme rectilignes. Ces longueurs servent alors de bases pour déterminer la position des objets de détail, ce qui rentre dans les procédés de la Topographie. Ainsi la Géomorphie embrasse la détermination exacte des triangles de premier, deuxième et troisième ordre, et leurs projections sur la surface du sphéroïde terrestre.

110. On s'est aussi proposé de trouver la longueur d'un arc très-étendu qui traverse le réseau, par exemple Tare du méridien. On sent qu'il serait tout à fait impossible de mesurer effectivement cette longueur; ce genre d'opération est extrêmement difficile pour des bases de loooo à I2000 mètres situées horizontalement; mais, s'il s'agit d'un grand arc terrestre, les inégalités du terrain et les obstacles qu'il présente ne perraettent môme pas cette mesure actuelle. On fait en sorte que cet arc traverse une série des triangles du réseau, ou s'en écarte peu, et, à l'aide dn calcul, on obtient les longueurs des diverses parties, ainsi que nous l'expliquerons.

C'est ainsi qu'on est parvenu à connaître la longueur de Tare du méridien terrestre qui traverse la France, de Dunkerque à Barcelone, arc qu'on a depuis prolongé au delà de ces limites. On a trouvé aussi des arcs perpendiculaires à cette méridienne. De ces opérations, on a pu oonclare la figure et les dimensions du sphéroïde terrestre, la longueur du mètre, etc.

Il faut aussi connaître la longitude et la latitude de chaque station, ainsi que Vaztmut de chaque côté de triangle. Les observations astronomiques font connaître ces éléments, du moins pour quelques stations ; le calcul les donne pour les autres.

Pour obtenir le relief du terrain, il est nécessaire d'en faire le nivellement, a&n de connaître l'élévation de chaque station au-dessus du sol environnant, et, par suite, au-dessus de la surface du sphéroïde terrestre : c'est œ qu'on appelle Yaltitude,

Tels sont les sujets que nous nous proposons de traiter dans la Géomorphie.

m. Voyons comment les stations doivent être coordonnées entre elles pour conduire à des opérations précises.

Soient a, b, c [fig. Zi) les côtés d'un triangle rectiligne quelconque;

I04 GKOMORPHIE.

À, B, C los angles qui leur sont respectivement opposés. On a (i] asinB = 6sinÂ.

Cette équation donne le côté a lorsque Ton connaît A, B et 6. Or, si l'on a commis une petite erreur dans la mesurede ces angles, savoir, 7 sur A, /' sur B, b étant d'ailleurs supposé exact, on fera usage de valeurs défectueuses, et ce qu'on prend pour A et B est réellement A-hj, B+/, qu'on doit employer, au lieu de A et B ; l'équation (i) donnera pour a une valeur dont x sera l'erreur : ainsi l'on doit changer dans l'équation (i, «en («H- jt), B en (Bh-/') et A en (A -h 7),

[a-^x) sin(B-H/') = ^sin(A H-j).

Développons ces sinus, et commet et j' sont toujours très-petits, metloni ces arcs pour leurs sinus et i pour leurs cosinus, il vieiidra

(flH-a:)(sinB-+-7'cosB) = ^(sinA-i-^cosA).

Réduisons, à l'aide de Téquation (1), et supprimons le produit x/'cosB. qui est du deuxième ordre,

orsinB -t- ay' cosB = A/cosA;

« .. /JsinB ,

enfin mettons . . ■ pour è, nous aurons smA ^ *

j: = fl Lr cotA —y' cotB).

Telle est Terreur x qu*on commet sur le côté a, par l'efTet des erreurs d'observation y et / sur les angles A et B.

Mais X est visiblement d'autant plus petit que A est plus près d'être égal à B, en même temps que 7 à 7'; et l'erreur sur a est nulle, quand il arrive que celles de A et de B sont égales et dans le même sens, en même temps que y^yi dans ce cas, quoique obtenu par des valeurs angulaires défectueuses , le côté a sera exactement donné par le calcul ; et si les erreurs/ et^' sur A et B sont égales et de signes contraires, l'équation devient

x = ay (cotA -4- colB),

STATIONS, SIGNAUX. lo5

que la ooodition A » B rend un minimum. En effet, on a

(cosA cosB\ sin{A-4-B)

sinA sinB/ sinAsinB

Or, en retranchant Tune de l'autre les équations (2), p. 82, on trouve

asinÀsinBa=cos(A~B) — cos(A-^B) = cos(A — B) -»- cosC;

donc

2 sînC

^"^^ cos{A — B) H-cosc'

expression que A » B rend visiblement la plus petite possible.

On voit qu'il est avantageux, pour atténuer les erreurs sur les angles, soit que les erreurs soient dans le même sens ou en sens contraire, que le triangle soit équilatéreil, et qu'alors l'erreur qui en résulte pour a peut être tout à fait nulle. On regarde comme certain que, lorsque les côtés cherchés sont presque égaux chacun à la longueur mesurée ^ V erreur des angles est insensible. Mais, comme cette condition est souvent impossible

à remplir, on se contente de ne jamais admettre d'angle de triangle qui

soit < 3o*, afin de se rapprocher autant qu'on peut de l'état ci-dessus.

On dit alors que le triangle est bien conformé. Autant que possible, les

stations doivent être choisies conformément à ce principe.

il2. Supposons maintenant que la mesure du côté b soit fautive, mais que les angles A et B soient exactement connus. La vraie valeur de b ^T2i remplacée par ^ h- z, en môme temps que a par a -h or, les erreurs

étant z et x,

(a -¥■ x) sinB = (6 -f- 2) sinA;

. ^ . . sinA

x8mB»28mA, x^z-v-ït- ' smB

Ainsi, plus l'angle B est petit, plus l'erreur z du côté opposé influe

sur la valeur qu'on trouve pour <r, où elle s'agrandit pour ainsi dire.

Lorsque B » 30*", valeur qu'on a reconnue convenable sous d'autres

rapports, on a

sinB = -) X = 22 sinA.

Mais alors A-4-C= i5o*, et chacun des angles A et C doit s'approcher

I06 GBOMORPHIE.

de 76 degrés; sin A est donc peu différeat de i et j; de a z. Ainsi Terreur z commise sur le côté b se porte sur le côté ar, par suite du calcul qui fait connaître cette longueur, et môme peut devenir double. S'accroissanl ainsi de triangle en triangle, on peut, en définitive, arriver à des valeurs très-défectueuses des côtés qui terminent la chaîne. Concluons de là que, dans un triangle bien conformé, une petite erreur commise sur la longueur d'un côté a beaucoup plus d'inconvénient que celles qu'on fait sur les angles, parce que la première s'agrandit par le calcul des autres côtés du triangle, et peut môme devenir double dans des cas d'ailleurs assez favorables; tandis qu'il peut arriver que les erreurs des angles n'altèrent nullement les valeurs des côtés qu'on en déduit. Il faut donc mesurer la base avec une extrême précision, sous peine de voir les erreurs s'accumuler de proche en proche, dans les calculs successifs des triangles du réseau.

413. Il est à peu près impossible que la base mesurée ne soit pas quoique peu fautive ; et cette base est nécessairement fort courte, comparée à l'étendue de la contrée qu'on veut lever. Cette base est un côté d'un premier triangle qui se lie à un deuxième, celui-ci à un troi<ûème, etc., en agrandissant peu à peu ces triangles. Lorsqu'ils sont tous presque équilatéraux, on a autant de garanties d'exactitude qu'on peut en désirer, et l'on évite ainsi les accumulations d'erreurs. Mais, lorsque l'opération entière est terminée, il importe de s'assurer de son exactitude et de celle des calculs qui ont fait connaître tous les côtés de proche en proche. La vérification se fait en mesurant une autre base très-éloignée de la première, et formant l'un des côtés du triangle. Alors cette longueur se trouve connue de deux manières, savoir, par le calcul et par la mesure directe : ces deux résultats doivent s'accorder pour que la triangulation soit exacte.

On obtient encore d'autres moyens de vérification par les longitudes et latitudes des stations et les azimuts des côtés des triangles ; car, en observant astronomiquement, ainsi que nous l'exposerons, ces valeurs angulaires à l'une des stations, on peut, par le calcul, en déduire, de proche en proche, les graduations de ces arcs pour toutes les autres stations. Cette théorie fera bientôt le sujet de nos recherches. Mais comme on peut aussi réitérer les observations astronomiques en divers lieux du réseau#