BASES
Et si Ton trouve incommode de se servir de ce nombre fractionnaire, on verra que la température sous laquelle la règle de laiton a aussi 5 mètres est, équation (4), T = 5°,44; alors on graverait sur la règle ces deux nombres 5 mètres et 5"*, 44* l^ calculs seraient les mêmes en partant de Tune ou de l'autre de ces deux déterminations.
D'après cela, supposons qu'on ait reconnu qu'une longueur est com« posée de aooo fois la règle ci-dessus, la température étant de i8 degrés ; OD pourra trouver cette distance* totale de deux manières : soit en faisant, dans l'équation (i), / = 4",9994 8935, a = 0,0000187786 et /=i8; soit en prenant, dans Téquation ( 3 ), j: » 5, ce môme nombre a avec B s= la'^jSô, excès de 18 degrés sur T»5'',44. Ces calculs donnent également L = 5",ooii79: ainsi la base formée de aooo fois cette longueur est égaleàioooa",358. Si Ton eût négligé d'avoir égard à la dilatation des métaux, on aurait réputé la règle de 5 mètres et la base de 10 000 mètres; on aurait donc commis une erreur par défaut de ti"',358, ce qui eût été une faute considérable.
134. Rédaction d'une base brisée à la ligne droite. — n est a désirer qne la base soit une ligne droite; mais les localités ne permettent pas toujours de trouver un sol rectiligne à peu près horizontal de 10 000 mètres environ. On est alors obligé de faire mesurer des longueurs formant une ligne brisée. C'est ce qui est arrivé pour les bases de Melun et de Perpignan.
Soit donc la ligne brisée ACB (^. 77), dont on connaît les longueurs âC, GB, ainsi que l'angle C, que nous supposerons voisin de 180 degrés, savoir Ca=i8o°--ô, en faisant Ô»BCI, très-petit angle. On fera AC ss ^, BC = /7 ; il s'agira de trouver AB » C, qu'on regardera ensuite comme étant la base mesurée. On a ( ' )
c* ^{i* -h b^-i- naïf cos9 et cosO = i 0»,
(') Le triaogle ABC est sphérique; mais on le ramène à être rectiligne en retranchant de l'angle obtenré G le tiers de l'excès sphérique (n* 140) et pre* nant le reste pour râleur de C. Dans la réalité, une base est une lii^ne à double courbure, que nous considérons comme étant un arc de cercle dons un plan rertieal , comme si la Terre était une sphère; mais l'erreur est insensible [voir la Base du système métrique, t. II, p. 683).
121 GEOMORPHIE.
en négligeant les quatrièmes puissances de 0 ; donc
enfin
,.,, , fl^0*sin»i'
en développant la puissance - jusqu'au second ordre, et désignant par h
le nombre de minutes de cet arc (p. 34).
Et, quand on n'a pu voir le'signal B de la station A, mais le signal C, pour rapporter les points circonvoisins à la base B, comme les angles ont été mesurés par rapport à AG, il faut les rapporter à AB, et par conséquent connaître l'angle A. Or on a
sinA a - n n ^ m
-—- = -, avec sm0 = O— -ô':
smO c b '
et substituant pour c la première valeur ci-dessus
inA = 7 I -+- -—r j-rr- Ô« •
sm^
Or on a trouvé que
A = sinA -4- tr sin^A o
[équation (i8), p. 33]; substituant pour sinA sa valeur, puis changeant
les petits arcs A et G en A sin l' et 9 sin i' pour les exprimer en minutes,
on a
,^, . a9 /jrA(rr— A) OSsin^i'
(o) A= tH --ri r-s •
135. Réduction au nireau de la mer. — Nous connaissons, par le calcul, la différence de niveau des deux extrémités de la base (n* 127) : abaissons par la pensée le bout élevé d'autant que nous élèverons le bout inférieur, en faisant tourner la ligne autour de son milieu; nous pourrons regarder cette base comme un arc de cercle très-peu courbe, dont
BASB8. 123
le ceatre coïncide avec celui de ta Terre. Soient AÀ' (fy. 76) cet arc égal àB, dont la longueur est connue; eut' Tare concentrique décrit au niveau de la mer; CaaR le rayon terrestre (ou plutôt la normale du lieu, B* 177 ) ; Aa =* A la hauteur des extrémités au-dessus de ce niveau.
Il s'agit de trouver Tare aa' = 6, et la base B sera réduite au niveau des mers. Il suit des procédés dont nous ferons usage par la suite que le réseau de triangles géodésiques qu*on observe doit être projeté sur la surface de niveau dont il s'agit, et c'est pour cela qu'on doit y projeter aussi la base B. La longueur B de cette base a été mesurée sur Tare de cercle, puisque nous avons sans cesse conservé, par le fait ou par le calcul, la direction horizcmtale, perpendiculaire au rayon terrestre. [Nous verrons bientôt (n* 177), que ce rayon doit en effet être remplacé par la normale.] Quant à la hauteur Xa = A, nous indiquerons plus tard le moyen de l'obtenir ; c'est l'élévation du point milieu de la base au-dessus de la mer.
On a la proportion
CXlCay. AA': rra' = b,
comme R surpasse 6000000 de mètres, et que h est toujours trèspetit, cette série est convergente ( on peut même, dans presque tous les
cas, se contenter des deux premiers termes B — -• Ainsi, pour réduire
la base B au niveau des mers, il faut lui faire éprouver la correction
soustraclive -^- • K
136. Voici donc la série d'opérations et de calculs qu'on doit faire pour obtenir une base géodésique. Après s'être procuré deux règles exactement étalonnées et leurs supports, on jalonne la ligne droite ou brisée, et l'on y porte bout à bout les règles successivement. On enregistre chaque observation sur une feuille divisée en colonnes : chaque fois qu'on opère, on remarque la température et l'on en tient note, on écrit chaque double inclinaison de la règle, la longueur de la languette saillante, la différence de hauteur des deux bouts. Le calcul donne ensuite la différence de niveau des extrémités de la base, sa longueur B réduite, s'il y a lieu, à la ligno
lli GÉOMORPHIE.
droite, le tout en ayant égard à la température. On projette enQn B sur le niveau des mers, et l'on a la longueur demandée b, par le calcul du n"* 135.
La mesure des bases est une des opérations les plus délicates de la G^ désie, puisque de là dépend la précision de toutes les autres déterminations ; aussi les ingénieurs apportent-ils un soin extrême dans tous les détails des observations. Pour donner un exemple du degré d'exactitude qu'on est parvenu à obtenir dans Tappréciation des bases, nous citerons les bases de Melun et de Perpignan, mesurées par Delambre et Méchain, la première, près de la grande route de Paris à Melun, la seconde, de Vernet à Salces.
La base de Melun, toutes corrections faites et réduite au niveau de la mer, a été trouvée de 6075^90.
Celle de Perpignan était de 6006,249 (Système métrique, p. 56, t. U).
La distance de ces bases était considérable, et pour passer de Tune à l'autre, elles ont été liées par une chaîne de 63 triangles de premier ordre. A Taide des formules dont nous donnerons bientôt la démonstration, on a pu calculer Tune de ces bases par le secours de l'autre; et voici le résultat de ce calcul :
Base de Perpignan, mesurée 6006,949
» » calculée 6006 ,089
Différence o, iCo
Ainsi Terreur n'est que de 0,16 de toise ou ii'',52, quantité à peine digne d'être prise en considération. Mais il est hors de doute que cette coïncidence très-approchée n'est due qu'à des compensations fortuites d'erreurs ; car on a reconnu que la chaîne de triangle d'Orléans à Bourges était défectueuse, ce qui a été vérifié par la mesure de la chaîne dite méridienne de Fontainebleau, et confirmé par une autre ligne latérale à l'ouest de la première (i).
Nous ne citons donc point ces résultats pour en montrer l'exacte préci-
(*) L*erreur de la base de Perpif^nan a été reconnue de l'ySi; cette tMse est égale à 11 706^,4; il en est résulté que l'arc du méridien du Panthéon h Montjouy a été trouvé par Delambre trop court de 33',3 . Bouguer n'a trouvé que 65 centimètres d'erreur sur la base du Pérou, calculée par une série do 38 triangles, couvrant un arc qui excède SSoooo mètres.
HÉOUCTION A L*HOBIZON. • l'25
sîon, mais plutôt comme un exemple du soin qu'on doit apporter dans la mesure des bases, et de Tattention qu'on doit avoir pour se mettre en garde contre des conséquences prématurées sur le bon ou mauvais succès des opérations.
Sept bases ont été mesurées en France, et nous donnerons plus tard les résultats des comparaisons qu'elles ont conduit à faire, en calculant chacune par les autres, à Taîde de la chaîne de triangles qui les lie eulre elles. On y reconnaîtra des erreurs si petites, qu'on est plutôt induit à les attribuer à des causes dont nous parlerons qu'à des vices de Topéralion même. Ces beaux travaux font le plus grand honneur aux habiles ingénieurs qui en ont été chargés {voir la Nouvelle description géométrique de la France, p. 458, où la base mesurée dans les Landes de Bor- Jeaux est comparée à celle qu'Oriani a mesurée près du Tésin.)
137. Rédnclion à lliorison, excès sphériqae. — Les triangles géodésiques sont situés dans l'espace; l'observation a fait connaître leurs angles : il s'agit de les projeter sur la surface de niveau des mers, où notre base a déjà été évaluée. Soit 0 (fig. 69) une station d'où l'on découvre les signaux M et N, et l'on a mesuré l'angle MON = 0, qu'on veut projeter sur l'horizon selon mOn, Abaissons de M et N les verticales M/7f, N/2 sur la surface de niveau Om/i; il s'agit de calculer l'angle mOn = 0', projection de l'angle 0.
Les plans verticaux MO//1, NO/t se coupent suivant la ligne OZ qui va au zénith Z, et déterminent avec le plan MON un trièdre, et par conséquent un triangle sphérique ABC, dont les trois côtés sont connus. En effet, l'arc AB = 0 = l'angle MON; et Ton a pu, du point 0, mesurer les distances zénithales MOZ ^ z\ NOZ = 2. Ces plans verticaux font ensemble l'angle dièdre MOZN, mesuré par l'angle mOn qui est la projection 0* qu'on cherche. La résolution de ce triangle sphérique (n* 76) donne
Ainsi Ton saura projeter chaque angle des triangles, et ramener ceux-ci à des triangles sphériques très-peu courbes, tracés sur le sphéroïde terrestre.
126 * GÊOUORPIIIE.
138. Mais il arrive presque toujours que les stations sont si éloignées et si peu élevées, que les différences de niveau sont très-petites, et les valeurs angulaires z et z' très-voisines de 90 degrés. Le dénominateur de notre formule est donc très-près de i , et le calcul manque de précision. Faisons
A et h' seront les hauteurs des stations M et N [fig. 69) vues de 0, savoir
NO/î = /i, MOw = /*'.
L'équation fondamentale (3), p. 64, devient ici
cosO = sin^ sin^' -+- cosA cosA' cosCy.
Mais, h et h' étant très-petits, on en peut négliger les quatrièmes puissances, et poser
sinA = /i — - A», cos/* = 1 /i',
d'où
et
sin/i' sin// = hh\ cos/i cosA' = i (/i* -i- //« ),
r , -. 1 ^/,2 ^ /,'î)1 cosO' = cosO - hh'.
Pour dégager cosO' de son coefficient, il faut multiplier le second mcml're par la puissance — i de i — (/i*-f-^'*), ou par i -+- ~ f/i«-h ^'«),
cosO' =: cosO - hli -h i ( //» -h /l'i ) cosO.
Au lieu de chercher 0', il est plus commode de chercher le petit arc i dont 0' surpasse 0, savoir :
0' : 0 -+- (J, cosO' =5 cosO — <? sinO ;
nous négligeons ici les puissances de ^, parce qu'on va voir que 9 estda second ordre. En comparant ces valeurs de oosO', il vient
(^sinO = hh' - i (/*« -+- /*'«) cosO. 2 ^
RéDCCTION A L'HORIZON. I27
Or faisons
sinO = asin - 0 ces - 0, cosO = cos* - 0 — sin' - 0 : 2 a 2 2
pois multiplions le terme hh' par cos» -0-4- sin* - 0, qui est = i ; il
viendra, toutes réductions faites, en exprimant en secondes les petits arcs ^, // et h' (c'est-à-dire en les multipliant par sin i", p. 34),
(A) ^=( - — j smi'tang-O— ( — J smi'cot-O, avec
Le calcul donnera le nombre de secondes de Tare S et son signe : ce sera la correction que doit subir l'angle observé 0 dans l'espace, pour être réduit à sa projection sur l'horizon.
Lorsque l'angle 0 est mesuré avec un théodolite, aucun calcul n'est nécessaire, et l'instrument donne cet angle tout réduit, ou 0'.
Prenons pour exemple les signaux Aubassin et la Bastide^ vue de Puy-Violan^ à lo lieues de Rodez ( Système métrique^ 1. 1, p. 268).
On a observé l'angle
0 = 5iV^9',744, et les arcs de hauteur Jubassin .... A = - i^ 32'45* - [h -+- A') = - i» i9'57',5 = — 4797',5
La Bastide,. h'=—i. 7.10 - (/* — A') = — o. 12.47 ,5 = — 767%5
^log4797»5 7,362o3oo 2log767',5 5, 7701 568—
sin 1' 6,6855749 6,6855749
tang - 0 T,68oo38o compl 0,3199620
0 = 5i°9' ^9,744 angle observé,
0'= 61.10.17,190 angle réduit à l'horizon.
128 GÉOJUORPIIIE.
Comme ces calculs doivent être répétés sur tous les angles du réseau, on les abrège en construisant une Table des logarithmes de- a' sim' ( coefficient de tang et cot - 0 j pour toutes les valeurs de a, arc exprimé
par son nombre de secondes (voir Table I).
On y entrera deux fois, Tune avec le nombre a~h-\- //, Tautre avec a^h — h\ L'interpolation sera souvent nécessaire pour donner les valeurs de ce facteur; il ne restera qu*à y ajouter les log tang et cot^O, et
Ton aura ainsi les nombres de secondes représentant les deux termes de notre formule; on prendra le dernier en ~. Dans l'exemple ci-dessus od a
^gjO
.. 2,047603 .. î,68oo38
compI
Delambre et M. Puissant se servent de deux Tables pour calculer la formule (A), et n'emploient pas les logarithmes tabulaires. Nous croyons notre procédé plus simple.
439. Démontrons une propriété remarquable des triangles très-peu courbes tracés à la surface du sphéroïde terrestre. Concevons que de& angles A, B, C [fg, 66) d'un tel triangle on ait mené des rayons au centre 0 de la sphère, rayons que nous représentons par R ; les côl^^ seront a^ b, c. Ces rayons OA, OB, OC déterminent un trièdre, et un autre triangle sphérique Ai Bi Ci sur la sphère concentrique dont If rayon est i = OAi ; les côtés sont a', b\ c, et les angles Ai, Bi, Ci, respectivement égaux à A, B, C. Or on a [équation (3), p. 64],
siu«' sin^' cosC = cost' — cosa' cosb\
«^°^ = rV-6ïïï)' ^^^^ = '-ïRi-*-i4ïr*-
En effet, on doit substituer dans les développements, p. 82, des sinus et cosinus, pour a\ b\ c', leurs valeurs g, s » g J de plus, on est en droit
RBDUGTIOlf A L* HORIZON. I29
de négliger les cincniièines puissances de ces fractions, puisque les arcs sont fort petits par rapport à R. En substituant, développant les produits, on trouve, au cinquième ordre près,
ab { 1 STTT- I cosC = 1
Divisant tout par le coefficient de cosC ou multipliant par sa puissance—i, qui est
on a, en négligeant le cinquième ordre,
cosC = 7 »- ^ , ,' •
^ao 24/7^R*
Cela posé, concevons un triangle rectiligne Â'B'C formé de côtés /7, b, r ayant mêmes longueurs que ceux de notre triangle courbe ABC. Pour déterminer F un des angles G' de ce nouveau triangle, nous avons [équation {16), p. 35]
cos>C-=,-^sin«C- = ^-'-^^:--'^
pujj*
— 4a«^« sin«C' = («« -h A* — c«)« — 4 a^bK
Or ce deuxième membre est précisément le numérateur de la deuxième fraction ci-dessus; donc, S désignant la surface du triangle rectiligne,
savoir S = -ab sinC, on a
^ ^, flAsin*C' ^, S . ^,
cosC = cosC g^^ — = cosC — r^ smC
Comme le triangle proposé ABC et le triangle rectiligne A'B'C ont à fort peu près même surface, on peut indifféremment prendre S pour Taire de l'an ou de l'autre de ces triangles.
Désignons par <f la petite différence entre les angles correspondants
C et C, ou
F. - Géodésie, 9
l3o GÉOUORPHIB.
d'où
cosC = cosC — (ysinC.
On en tire, en comparant cette équation à la précédente,
Ce dernier terme étant une fonction symétrique des côtés n, 6, (, il est évident qu'on a pareillement
et, faisant la somme de ces trois équations, à cause do
A'-+-B'-+-C'=i8o», on e
Donc ia somme des trois angles de tout triangle spfiériqae très-peu courbe surpasse 180 degrés d*une petite quantité qui est
cette quantité s est ce qu'on appelle V excès sphérique. En rexprimant en secondes (p. 34), on a
/«. S flAsinC 1 * . n
^ ' R*smi' 2R*smr '
en posant le coefficient constant
*=5RïkT'^' '08^=9,40545.
Nous montrerons bientôt l'usage de cet excès sphérique, et nous enseignerons à en calculer la valeur. On prend ici R = 6367524". Nous donnerons (n" 147) les moyens de calculer la valeur de R qui convient â différents lieux de la Terre, et l'on en déduira facilement la valeur correspondante de la constante k. Au reste, la recherche de la grandeur de B sera l'un des principaux sujets que nous nous proposons de traiter.
RÉDUCTION A L*UORIZON. l3l
140. Donc aussi // existe toujours un triangle rectiUgne qui a les mêmes côtés a, b^ c qiCun triangle sphérique très-peu courbe^ et les angles de ce dernier sont chacun plus grands que son correspondant dans tautre^ d^une petite quantité égale au tiers de t excès sphérique s.
Par coQséquent, si l'on retranche ? c de chaque angle sphérique, le triangle
ABC sera changé en un autre recti ligne Â'B'C formé des mêmes côtés, et, dans le calcul de ces côtés, on pourra substituer celui-ci à Fautre. On y connait toujours un côté et les angles, et les formules de la Trigonométrie rectiligne feront connaître les deux autres côtés qui sont aussi ceux du triangle sphérique.
Ce théorème est dû à Legendre.
14i. D*après cela, les angles observés dans l'espace étant réduits au centre de station (n"" M9), puis à Thorizon (n"* 138], si Ton fait la somme des trois angles, on trouvera qn'elle excède i8o degrés; cette différence est dne à deux causes : les erreurs d'observation et l'excès sphérique. Ce qu'on peut supposer de plus vraisemblable, c'est de regarder les erreurs comme égales sur chaque angle, et comme il faut aussi répartir l'excès sphérique par tiers, il est évident qu'on devra réduire à 180 degrés la somme des trois angles, en retranchant de chacun le tiers de la quantité qui excède 180 degrés dans la somme des trois angles sphériques. On pourra alors supposer que le triangle est rectiligne, et en chercher les deux côtés inconnus, parce que ceux-ci ont même longueur que ceux du triangle sphérique proposé. La résolution se fait par l'équation (24), p. 35,
6sinA = a sinB, ....
Le premier triangle, dont on a un côté qui est la base mesurée et réduite au niveau des mers, aura ainsi ses deux autres côtés connus. Les triangles voisins qui s'appuient sur ces côtés auront aussi tous les côtés connus par un calcul semblable, et ainsi des autres de proche en proche ; en sorte qu'on connaîtra les angles et les côtés de tous les triangles du réseau réduits au niveau des mers.
142. Voici un exemple tiré du Système métriqucy 1. 1, p. 477> et 1. 11, p. 836, Il 3' triangle.
GÉOMORPHIB.
Rodos .
Matas..
Mt Serrât.
