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3 degrés, e^. Ton suppose que, dans chaque intervalle de temps, il a régné une température constante égale à la moyenne entre les deux extrêmes. Un thermomètre logé dans la règle môme sert à connaître les changements qu'elle éprouve, ainsi qu'on va le dire.

Dans les règles employées pour la grande triangulation française, le thermomètre était métallique. C'était une réglette de laiton, logée dans une espèce de canal pratiqué le long et dans l'épaisseur de la règle, où cette réglette était maintenue entre deux rainures. L'un des bouts de la réglette était invariablement hxé à la règle par des vis ou une soudure, Tautre était libre. Comme les métaux de la règle et de la réglette étaient différents (en platine et en cuivre), leur dilatation n'était pas la môme pour la môme variation de température. Deux traits qui se trouvaient en coïncidence sur l'une et l'autre à un certain degré thermométrique cessaient d'y être à un autre degré. On conçoit qu'à l'aide d'une loupe et d'un vemier on pouvait aisément lire sur les divisions de la règle la quantité dont d'égales longueurs de cuivre et de fer se sont plus allongées Tune que l'autre, sous l'influence de la chaleur, et par conséquent les variations de température. Tel est le système qu'on a adopté pour mesurer les changements de longueur des règles, à l'aide d'un thermomètre métallique que porte la règle dans son épaisseur: les degrés y sont gravés, et l'on n'a que la peine de lire. Il reste ensuite à calculer les longueurs correspondant à ces températures, ainsi qu'on va l'expliquer.

]1 importe d'abriter les règles des rayons solaires ; on les recouvre d'une espèce de toit en planches posé sur le madrier : les deux bouts de ce toit sont armés de pointes verticales qui servent à aligner les règles dans la direction voulue.

Pour éviter les erreurs, chaque lecture est faite deux fois pour la languette, le thermomètre métallique et l'inclinaison de la règle. Les mesures sont inscrites sur deux registres qu'on a soin de collationner avant do passer outre à une nouvelle mesure.

i29. Étalonnage. — Donnons connaissance des procédés qui servent à déterminer la longueur exacte des règles. Il faut pour cela les comparer à quelque autre longueur connue. On se sert d'un instrument appelé cornparateur, qui mesure, en les agrandissant, les plus petites différences de longueur entre deux règles superposées l'une à l'autre, et ayant un de

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leurs bouts appuyé sur un arrêt fixe. Nous ne décrirons pas cet instrument (voir le Système métrique, t. III, p. 464); nous dirons seulement qu'un levier portant sur les extrémités libres amplifie considérablement les plus petites différences de longueur, et en donne la mesure. Ainsi Ton saura quelle est la longueur de la règle comparée à celle de l'étalon ; mais il faut avoir égard à la nature de leurs substances et à la température.

i30. On a reconnu que, pour un changement de i degré C, l'unité de longueur varie de la quantité a, donnée par la Table suivante :

Platine. , a — 0,00(1008 jG5>

Laiton a = 0,0000187785

Fer doux forgc^ ol — o,ooooi.*2o45

Acier non trempi- a = 0,0000107915

C'est ce qu'on appelle la dilatation linéaire. Ainsi le mètre de cuivre, qui passe de i à 100 degrés, s'allonge de o"',ooi 87785 ou près de 2 millimètres. Un effet aussi considérable ne peut être négligé dans la mesuro des bases; c'est, au reste, ce dont on jugera bientôt.

Soit / la longueur d'une règle de métal à une température donnée. / désignant un nombre quelconque de mètres, etc. Si le thermomètre monte de / degrés C, on a l'allongement de l'unité par la proportion i** : a : : r v^ a étant le nombre qui répond dans la Table au métal de la règle. Ainsi la longueur / s'allonge de a//, et devient, pour / degrés,

(1) L = /(i-+-sc/).

131. Premier cas. — Si la règle est en bois et l'étalon en métal, on commence. par calculer la longueur L de cet étalon, sous la température actuelle, connaissant celle de / qu'il avait à zéro : ce nombre / est ordinairement gravé à la surface. Ainsi L est la longueur de la règle de bois, si on l'a amenée à être la même que celle de l'étalon, en usant l'extrémité; ou bien, à l'aide du comparateur, on en connaît la différence avec l'étalon, et par suite la longueur de la règle de bois, qui est invariable, ainsi qu'on l'a déjà fait remarquer. C'est ce nombre qu'on inscrit à la surface de la règle.

Deuxième cas. — Si la règle est de même métal que l'étalon, il n'y a

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aucun calcul à faire; car, lorsque Tun est égal à l'autre, on grave sur la règle le nombre / qui est la longueur de Fétalon à zéro ; et, quand les longueurs sont très-peu différentes, on évalue cette différence ^ avec le comparateur, et / + ^ est la longueur de la règle à zéro. La température actuelle est inutile à considérer ici.

Troisibue cas. — Enfin, lorsque les métaux sont de différentes natures et qu'on a coupé la règle de même longueur que l'étalon, sous la température /, voici ce qu'on observera. Quand la température redeviendra zéro, rétalon sera réduit à /, et la règle à la longueur inconnue x, qu'il s'agit de trouver. L'équation ( i ) apprend que de zéro à / degrés G. ces règles longues de / et x doivent devenir

L'étalon / (1 -f- a/),

La deuxième règle j:( i -1- a'/),

z et a! désignant les dilatations linéaires de l'unité des métaux respectifs ; H comme alors les règles sont égales, on a

/(i-4-ar) =a:(i-ha'r), d'où

en développant la puissance -> 1 de (1 + oift). et négligeant les termes du deuxième ordre en a et a'. Telle est la longueur x que la règle se trouvera avoir à zéro. Sa longueur à la température G. 0 sera donc

et si elle n'a pas été taillée exactement sur la longueur de l'étalon, ^ étd'U !a petite différence des deux, la longueur de la règle sera x±:S.

C'est ce nombre xifc J qu'on gravera sur la règle, et qui sera pris pour valeur de x dans l'équation (3). Lorsqu'on aura mesuré une ligne avec cette règle, sous une température G. 0, il faudra en calculer la longueur X par le secours de l'équation (3), a' étant alors, la constante propre au métal employé.

132. Observez que cette méthode a l'inconvénient de donner pour la onguenr "k de la règle un nombre embarrassé de fractions, parce que

120 GEOMORPHIR.

celle /de l'étalon à zéro est un nombre entier (de 4 mètres ordinairement). Si Ton tenait à réduire \ à n'avoir pas de fractions, il faudrait diminuer la règle de la quantité (<x — a')tl, et alors elle aurait, comme rétalon, la longueur / à zéro ; mais, comme cette diminution serait trop difficile à faire, qu'elle peut d'ailleurs devenir une augmentation qu'il serait impossible de produire, voici comment on peut opérer:

Admettons que notre règle ait la même longueur que Tétalon à la température /, savoirL si / (i -i- a r). Quand la température s'abâissant deviendra T, c'est-à*dire décroîtra de / >- T, cette règle diminuera de

L«'(/-T); ainsi sa longueur sera

L[i-.a'(/-T)] = /(i-haO(i-a'/-+-a'T).

Or cherchons quelle doit être cette température T, pour que la règle ait précisément la même longueur / que Tétalon avait à zéro ; en égalant à / et négligeant les termes du second ordre, on a

On inscrit alors sur la règle la longueur / de l'étalon, mais avec la température T sous laquelle cette longueur existe. On a dans ce cas, pour /, un nombre entier.

Pour calculer ensuite la longueur \ de la règle à toute autre température, on emploie la formule (3), B étant l'excès de la température actuelle sur T.

133. Supposons, par exemple, que l'étalon ait 5 mètrei à zéro et soit en platine, et que la règle à étalonner soit en laiton et ait été Uillée de même longueur, le thermomètre marquant lo degrés, on a

où l'on fera

/siOy /=5, a' — a = 0,00001021 3;

ainsi la longueur de la règle à zéro serait