CÔTÉS
Bufraracb . . U Madrés.
Pic d*Ap;>i.
Réductions à ri
Somme des ang Différence à i8<j Tiers h ajouter
-H '.94 lorizoD.
les réduit de{rrés.
à chaque
angle réduit.
La première colonne contient les noms des stations ; la deuxième les angles observés, mais réduits à Taxe du signai ^n"* M7) ; la troisième les hauteurs des signaux pour opérer les réductions à l'horizon ou corrections^ qui sont dans la quatrième colonne (n"* 138), c'est-à-dire qu'il font ajouter ces corrections â aux angles observés ( deuxième colonne ) pour avoir les angles réduits à l'horizon, ou les angles du triangle sphérique très-peu courbe. La somme des angles réduits devrait surpasser 180 degrés; mais, en ajoutant toutes les trois réductions, ou leur somme + 1 ,94, à celle des trois angles observés, on a la somme des angles réduits ; et comme cette somme est < i8o», on reconnaît une légère erreur dans les observations qui a absorbé l'excès sphérique et un peu plus, savoir o'fiS : le tiers 0,04 doit donc être igouté à chaque réduction à l'horizon. Telles sont les corrections qu'il faut faire subir aux angles observés, et l'on obtient les angles du triangle rectiligne de la cinquième colonne. Enfin, connaissant un côté, le calcul donne les deux autres côtés, comme cidevant, et le triangle sphérique est connu en totalité.
|34 âÉOMORPHIE.
144. Dans ces opérations, il n*est pas nécessaire, comme on voil, do calculer Texcès sphérique t, parce qu'il est compris dans le calcul même avec les erreurs d'observation. Mais, lorsqu'il s'agit d'obtenir les azimuts des côtés, les longitudes et latitudes des stations, et la longueur d'un arc de méridien terrestre, on ne peut plus se dispenser de connaître s et de faire la part des erreurs séparément. Faisons donc voir comment on peul calculer c D'ailleurs, dans les méthodes qui seront exposées, cette opération est indispensable.
On commence par chercher approximativement les côtés du triangle, en considérant les angles A, B, G réduits à l'horizon, comme ceux d'un triangle rectiligne, et la surface de celui-ci comme égale à celle du triangle
sphérique S = -ab sinC, Tout sera donc connu dans l'équation (B), sauf
le rayon terrestre R, dont nous assignerons bientôt la valeur. En adoptant celle du n"* 147 qui convient à la France, on a
. . . p , , j en mètres 9»4o545
: /Y7^smC, logX= ] I
! en toises 9,9^509
Gomme le coefficient X* est fort petit, il n'est pas nécessaire de faire le calcul avec beaucoup de précision, parce que les erreurs sont rejetées sur des décimales plus éloignées que celles qu'on conserve au nombre s (trois au plus). Nous donnons ici le calcul pour le premier des deux exAmples qui précèdent. Nous trouvons « =* 3*, 34.
sinG T,945i4
Ge déviait être l'excès sur 180 degrés de la somme des trois angles réduits ; mais, comme on trouve 6",97 pour cet excès, on reconnaît qu'il y a 3",63 d'erreur dans les observations, savoir i',2i sur chaque angle, outre i*,ii, provenant de l'excès sphérique.
Ge triangle, l'un des plus grands qu'on ait formés, a ses côtés d'environ 40000 mètres; c'est à peu près tout ce que permet la portée des lunettes;
RÉDUCTION A L*HORIZON. l35
et cependant l'excès sphérique y est bien faible. On prendra donc confiance aux calculs qu'on fera sur des triangles moindres. Au reste, il y a un triangle, Desierto, Mongo et Campuex, qui joint les lies Baléares à la côte d'Espagne, et qui est plus grand encore ; son excès sphérique est de 39 secondes.
145. Il convient de réduire la formule (B) en Table, pour abréger les calcula de Texcès sphérique, qui se répètent souvent. Voici comment on 8*y prend : soit ABC {J!g, 82) le triangle rectiligne dont on demande la surfece S. La perpendiculaire ÂD sur la base BC décompose cette aire en ÂBD-i-ACD; or on a
DC = ^cosC, AD = ôsinC,
ACD= i^'sinCcosC = 7 A* sinaC.
De même on trouve
et, par conséquent,
ABD = 7r«sin2B,
c = a/'S = -A (à* sinaC-hr» sin^B).
Or imaginons qu'on ait construit une Table à double entrée, donnant toutes les valeurs de - ^^^sinaC, pour tous les angles G de degré en degré, et toutes celles de b de 1000 en 1000 mètres; on en tirera tout de suite les deux termes de t , en entrant tour à tour dans cette Table avec les nombres ^ et r, et les angles respectifs G et B (toujours un côté et l'angle adjacent). La somme des deux résultats este. G'est ainsi qu'est construite la Table IV de la Géodésie de M. Puissant. On a soin de prendre pour B et Clés deux plus petits angles du triangle, afin d'éviter le cas où la perpendiculaire AD tombe hors du triangle.
On peut encore faire une Table des valeurs de s = aXS, en prenant pour a^uments la base B et la hauteur H du triangle, savoir
S = iBH, e = XBH.
On mesure avec un compas sur la carte la base et la hauteur du triangle,
1 36 GÉOMORPUIE.
et ces données ont une exactitude sufiBsante pour ce genre de calculs, parce que c varie très-lentement pour de grands changements de B et de H attendu que A est extrêmement petit. C'est la Table Y de M. Puissant. Dans le Système méttique, ce sont les Tables V et VI du tome P^ Nous avons jugé inutile de les reproduire ici.
146. On a souvent besoin de réduire en secondes un arc de la surface terrestre horizontal, donné, soit en toises, soit en mètres, ou réciproquement. Voici comment on opère :
Nous verrons bientôt comment on est parvenu à déterminer par expérience la longueur de Tare de i degré terrestre. En prenant l'arc de méridien qui traverse la France, par exemple, on trouve
Degré du méridien en France 57020* = 1 1 1 134".
Or, si 36oo secondes ont cette longueur, quelle est celle de i seconde? D*oii
Longueur de l'arc de i* = / = i5*, 83889 = 3o"',87o57, en toises. . . i , 1997247 compl. = 2 ,8002753
log I =
' en mètres., i ,4895447 compl. = 2,5io4553
(G) Longueur de l'arc de n secondes S = in,
équation qui fait connaître l'un des nombres S ou /i, l'autre étant donné. Mais, comme la longueur de Tare de i degré du méridien varie avec les lieux, parce que la Terre n'est pas sphérique, on ne peut appliquer celte valeur de 1 qu'à la France. £n d'autres contrées, le degré terrestre sera représenté par 57020' ■+- x, et, quand on connaîtra .r, on aura, pour la longueur de Tare de i seconde,
'='-^36335 l'arc de n secondes sera donc
S'= I « = I/I-Hr7.^*
36oo •
Si l'on veut opérer par logarithmes, on a
logr = log/-Hlog(.-h3^.),
RÉDUCTION A L*HORIZON. iSj
et développant, H étant le module (p. 4),
dODC
log/* = logi -*- Q x, IogS'=IogS-hQx;
En toises Q =» r = 0,00000 762, log « 6,8817570,
En mètres Q = 0,00000391, Iog = 6,59a3!i83.
Ainsi l'on calculera l'arc s comme s'il était en France, et l'on ajoutera à logS la correction Qx, produit du facteur constant Q, par l'excèsx (positif ou négatif) du degré dans le pays dont il s'agit sur le degré de France.
147. n est facile de déduire de ces calculs la longueur du rayon terrestre R, qui convient à une sphère sensiblement coTncidente avec la surface de niveau de la contrée dont il s'agit; car la circonférence R est
air R = 57020* X 36o*, ou bien 1 1 1 1 34" x 36o*,
qnand c'est celle d'un méridien de France. On en tire
toises... 3267005 log = 6,5141498,
' mètres.. 6367509 log = 6,8039696.
Mais, en d'autres pays, le degré étant différent, le rayon n'est pas le même. On trouve
2irR'= (57020 -f-x)36o*, R' = R-f-fAX,
en consen'antàfA degrés la valeur donnée (p. 34), où f* = ; — ;= ?
arc 1 fT
El si roD veat logR, on prendra les logarithmes des deux membres logH' - logR -+. log ( I + î^) = log R + îîf^, logR'= logR + Md^ = ,ogR + 5^ = logR + Qx.
l38 GÉOUORPHIE.
La correction Qx que doit éprouver logR pour devenir logR' est la même que pour Tare du méridien.
Nous reviendrons plus tard sur la détermination des valeurs de S, S*, R et R', quand nous aurons trouvé la forme et les dimensions du globe terrestre, et nous exprimerons l'arc du méridien el son rayon en fonction de l'aplatissement et de la latitude du lieu.
AuXres procédés pour calculer les edtés des triangles.
148. Nous avons dit qu'on ramenait tous les triangles observés à lev projection sur la surface du niveau des mers ; on a ainsi une chaîne de triangles assez petits pour qu'on puisse regarder chacun comme sphérique, où Ton connaît un côté et les trois angles. Au lieu de réduire on triangles à d'autres rectilignes, comme on vient de le fidre, on peut les résoudre en les supposant tracés à la surface d'une sphère, de rayon connu R. C'est le deuxième procédé que nous exposerons.
Après avoir calculé l'excès sphérique, pour évaluer les erreurs d'obsor^ vation, on corrigera celles-ci en les apportant par tiers aux trois angles du triangle, qui ne seront alors affectés que de l'excès sphérique; puis on résoudra le triangle par la règle des quatre sinus [équation (5), p. 65].
Mais le calcul est plus simple et plus exact en développant en séries leB sinus des petits arcs a, ^, r. On a, au quatrième ordre près,
(D) logsinassloga^Xa',
en faisant
^ = const.=.g^.
On trouve, en prenant la valeur de R du n"* 147, qu'en France on a
En toises IogX-==:T5,83i33i6
En mètres logA =75,2516916
L'équation (D) donne sina lorsque le côté a est connu par sa longueur métrique ; on a ensuite
,v\ • L sinB .
(E) sm6 = -r-T sm/i, ^ smA '
G\LCUL DES CÔTéS DES TRIANGLES. 189
éqaation qui donne smb; enfin le côté b se trouve en mètres ou en toises par l'équation suivante, qu'on tire de (D) :
(F) log b == log sin b -h A- sin* b.
Par exemple, pour le premier triangle résolu ci-devant (p. i3i), où Ton a reconnu 3", 63 d'erreur d'observation etô = 39561", 29, on retranchera i',2i de chaque angle, réduit à l'horizon :
Rodos A = 6i*32'52*,6o a»...*... 9,19^54
Matas B = 56' 38' 53', 57 k Ï5, 25169—
Mont-Serrat.. C = Gi'»48'i7',i7 -28 6,44628—
Correction de log a = —0,0000028
sinC î, 9451448 sinB 1,9218480
sinA —1,94^0956 sînA -1,9440956
sine 4,5983168 sin^ 4,5750200
n reste à exprimer en mètres les arcs ^ et ^ :
X i5,25iC9 i5, 25169
sin*^ 9 , i5oo4 sin^c- 9 ,19663
Corrections ... o , 0000025 o , 0000028
sin^ 4*5750200 sin 4>^9S3i68
log6 4,5750225 loge 4,5983196
Ce sont précisément les logarithmes obtenus p. i32. 449. On peut encore modifier l'équation (F) ; car on a
(cosô)^=i-r^, -Iogcos6 = --^ = -.i^«;
d'où
partant l'équation (D) dévie it
(G) log^ = log smb — g log cùsb,
J 40 OBOUORPHIB.
Au reste, on peut remarquer que tous les calculs qu'on fait pour appliquer la théorie de l'excès sphérique, due à Legendre, se retrouvent ici, et qu'on en fait quelques-uns de plus. Le procédé qui vient d*étre exposé est donc moins simple que le premier : il a plus de précision; mais on n'y doit recourir que pour les triangles très-étendus, et encore il est douteux que les résultats soient différents de ceux de la première méthode.
150. Il convient d'examiner maintenant le procédé de Delambre, parce que ce procédé a été suivi dans la Base du systèine métrique. Il consiste à ramener par le calcul les triangles, déjà rendus sphériques par leui réduction à l'horizon, à des triangles rectilignes formés par les cordes des arcs ou côtés de ces triangles très-peu courbes. On a de la sorte un polyèdre à faces triangulaires inscrit au globe terrestre, et dont les sommets sont situés à la surface du niveau des mers. Gonune il y a très-peu de différence entre chaque arc terrestre et sa corde, de petites 'corrections, faciles à faire, donnent les arcs par les cordes, et réciproquement
ISi. Cherchons d'abord {fig, 80) la corde G/U = X* d'un arc G^H = ? dont la longueur est connue, et réciproquement cette longueur 7, quand celle k de la corde est donnée, le rayon du cercle étant IG «= R. Prenons le rayon IL = i, la corde LO = a de l'arc a est (p. 35, n® 35)
Mais on a
a ass 2 sm - £7.
sm - a =» - -
2 2 a*. 2. 3 2*. 2. 3. 4. 5 d'où
24 1920 Mais on a aussi
