IL:L0::IG:GH, savoir

i:«::R:X et i:rt::R:ç;

ainsi il faut changer a en ~ > et a en ^ ; donc

CALCUL DES CÔTÉS DES TRIANGLES. l4l

et, lorsque ie rayon est très*grand,

Excès d'un arc sur sa corde. ... «p — X = — ^ — n ç»»,

En mètres... log^ =15,0118474,

En toises log 7 = îT, 59 1 4874 ,

en adoptant la valeur de R qui convient à la France (n° 147). On a aussi

et, substituant pour 7' sa valeur approchée />, (I) ^^^^^.

Ainsi, quand on connaîtra Tune de ces deux quantités, un arc terrestre 0 ou sa courbe h^ on pourra calculer Tautre.

Soit, par exemple. .. ^ = 39561", 290 ^* 13,79181

— o"',o64 T5,oii85

Corde de Tare a X- = 39561", «36 o'",o64 . . . â,8o366

<j< — X- as 0,064

152. Dans le triangle sphérique très-peu courbe ABC {fig, 72], on connaît ie côté a en mètres, ainsi que les trois angles : on demande quels sont les angles A', B', G' et les côtés a\ bf^ c' du triangle rectiligne formé par les trois cordes.

CZ est une verticale à angle droit (sur les arcs CA, CE, ou plutôt sur leurs tangentes en C, ZGI est de 90*"). L'angle ZC/i est donc

ZC/i = 9o''--ia,

puisque l'angle IG/i, Formé par une tangente et par une corde, a pour

mesure CaB ou -a. De même a 2

ZC/^ = 9o*— -^».

Imaginons une sphère dont le centre soit en C ; sa surface coupera les arêtes du trièdre ZCAB en m^p et /i, ce qui détermine un triangle sphé-

1^2 GÉOMORPHIE.

rique mpn. On connaît dans ce triangle, outre l'angle m = C que forment les plans ZGA, ZCB, les côtés qui comprennent cet angle, savoir :

mn = 90** flr, mp = go* b.

Pour en tirer le c6\épn = C, qui est l'angle des cordes CA, CB, il faut résoudre ce triangle, et, comme les arcs £7 et 6 ne sont au plus que de quelques minutes, nous imiterons ici ce qui a été fait p. 124 pour réduire un angle à Thorizon.

Cherchons Texcès s de G' sur G :

le triangle sphérique mnp donne

cosC' = sin - a sin - ^ -H cos - a cos - b cosC. 22 22

Or on a

cosG' = cosG — c sinG ;

substituant et développant les sinus et cosinus de - a et - 6, il vient

cosG — « sinG = - «6 — (/i* -f- à* ) cosG -h cosG, 4 o

c sinG = — 7 ^//^ -f- 5 ( ^' -f- ^' ) cosC ; 4 o

le reste du calcul est le même qu'à la page 125, et Ton a enfin (L) . = (l^y8m.'tangiC-H(î^)'sin.'cotIc.

153. Gette valeur de « est aussi appelée excès sphérique, quoiqu'elle soit tout autre que la quantité à laquelle Legendre a donné ce nom. La formule ci-dessus exprime en secondes la correction que doit subir, avec son signe, l'angle G des arcs, pour devenir celui des cordes.

On applique cette formule à chacun des angles A, B, G du triangle sphérique, et l'on obtient les angles A', B', G' du triangle rectiligne formé par les cordes des arcs. On connaît d'ailleurs l'une X- de ces cordes par le calcul de l'équation (H) du n*" i51, qui enseigne à la déduire de l'arc (^ vu côté de triangle sphérique ; ainsi Ton pourra calculer les deux autres

CALCUL DES CÔTÉS DES TRIANGLES. l43

e6tés du triangle rectiligne. Ensuite on ramènera ces cordes k aux arcs 9 par le même procédé [équation (i) du n° 151], et les côtés du triangle sphérique seront connns.

Tel est le procédé que Delambre a suivi dans la Base du s;^ sterne métrique. Nous allons bientôt en montrer Tapplication à un exemple.

Mais avant, enseignons à réduire cette formule (L) en Table, car on est obligé d'en faire le calcul pour tous les triangles du réseau. Or, en eomparant cette équation à celle ( A] du n"^ 138, on voit qu'elle est la même

eo signe contraire, en remplaçant h en h' par - /i et - ^. Ainsi l'on entrera

la Table I, qui donne les valeurs des quantités comprises sous la

ferme - m* sin 1', avec la somme et avec la différence des arcs - ^ et - ^ CKprimés en secondes, ou avec a et ^, sauf à prendre ensuite le quart des résultats. On aura ainsi les logarithmes des coefficients de tang - C et caot-C, la première négative et la seconde positive. Ainsi Ton obtiendra te deux termes de la formule (L).

ISU. Il faut réduire en secondes les côtés a et ^ de Tangle B qui fait le SQJet du calcul : c'est ce qu'on fera ainsi qu'il suit.

On considérera, par approximation, le triangle sphérique proposé ABC comme rectiligne, et Ton trouvera par le calcul les côtés a, 6, c, qui seront à peu près exacts; mais l'usage auquel on destine ces nombres n'exige pas qu'on les connaisse avec plus de précision, car l'erreur extrêmement petite qui affecte les longueurs de ses côtés ne peut influer sur la valeur qu'on en tirera pour c, qui est très-petit. Au reste, on pourrait convertir en Table la formule (C) du n"* 146, pour en tirer à vue les valeurs des côtés a et 6 en secondes.

155. L'exemple suivant est destiné à montrer comment on doit gouverner les calculs:

GÉOMORPHIR.

STATIONS

ANGLES RÉDCITS

4 l'borlion.

EX. SPH.