OH = FH-FO

et les angles adjacents. On calculera les autres parties, donc OP.

Enfin, résolvant les triangles PHK, PKZ, ZKT, XLT, on obtiendra PZ, ZT, TX. Réunissant toutes les parties de l'arc, on aura la longueur totale AX du méridien. U faudra que les triangles s'écartent peu de cet arc, et que surtout la dernière station L en soit très-voisine, parce que l'arc LX perpendiculaire à AV ne serait plus sensiblement parallèle à l'équateur, et les latitudes des points L et X ne seraient plus les mômes. Au reste, nous reviendrons sur ce sujet ( n" 23.1).

163. Ces calculs supposent que, connaissant les sinus de CM et CD, on en lire la différence DM entre* ces arcs, circonstance qui revient souvent dans la suite des opérations. Il convient donc de résoudre ce problème: Trmiper le logarithme sinus de la somme ou de la différence de deux

l5o GéOMORPHIB.

arcs^ connaissant les logarithmes sinus de ces arcs. Soient mei n deux arcs donnés. On a [équation (lo), p. 3aJ

smiM — sm/i BB asm - m — n) cos-(m-hn).

mais sinf » asin - 7 cos - o, où, faisant f = m — 72,

sin (m — /ï) = asin- (m — n) cos-{m — /?).

Remplaçant a sin - (/n — /7) par sa valeur tirée de la première équation,

. , X / . . X cosi(w — /î)

sm(wi — ;î) = (sm/ii — sm/î) — 7^ (,

^ ^ ^ ' cosi (m ■+■ ny

et par suite, à cause dé l'équation (6), p. 3a,

. , \ . / sin/i\ I— 2sin*i(//f — n)

sm (m — /î) a smni I : — | x :-—-) ( •

\ sin//i/ I — 2Sin'i(/w -»- /i)

Prenant les logarithmes et développant [équation (aa), p. 33], se bornant aux deuxièmes puissances des petits arcs /» et /z, il vient pour le logarithme de cette dernière fraction, à cause de l'équation ( i3), p. 3a,

aMl sin*-{/w — n) — sin» ^{m h-/i) I = aMsin-wi sin-/?; L 4^ ' 4 J a a '

rétabh'ssant le rayon R au lieu de

- rrrSm/W Sm/lt

donc enfin

log sin {m d= II) =s w sin/w -h log ( i ±: -: — ) qp — rrr sinm sinii. ® ^ / R o y^ sm/?f/ aR«

M désigne le module (p. 4), R le rayon de la Terre, pour que les arcs m ein soient pris dans le cercle de rayon R.

164. Cette manière de trouver Tare AX fen mètres est due à Legendre, et comme los observations astronomiques ont fait connaître les latitudes des points extrêmes A et L, le nombre de degrés de Tare AL est connu.

MESURE DE LA MÉHIDIENNE. l5l

Ainsi Ton saura avec précision quelle est la longueur de l'arc de méridien dont la graduation est donnée.

Le seul défaut de ce procédé est qu'il n'est pas analytique ; il faut avoir ons les yeux une figure pour gouverner les calculs. On peut d'ailleurs varier les opérations, en employant divers angles et côtés des triangles, ce qui donne une vérification des calculs, puisqu'on définitive on doit retrouver la même longueur pour Tare AL. La précision est la même des deux parts, puisqu'on n*y introduit aucune donnée nouvelle tirée de l'observation ; en sorte que, si l'on commettait quelque petite erreur de calcul, on trouverait des compensations. En déplaçant quelque peu le point M sur AL, on allongerait AM, mais on raccourcirait MO.

Au reste, nous reviendrons sur ce sujet et nous exposerons un autre procédé purement analytique, qui n'exige le secours d'aucune figure et porte avec lui sa vérification.

i6S. Voici l'application de cette méthode aux premiers triangles de la méridienne de France, A est Dunkerque (y^. 74 ), où l'on a mesuré Tazimut CAM = a. Les données sont

Dunkerque A.. «= 16° 46' 26', 58 ) . , ^ ,„ , ^

^ . "^ * f le côté AC = 27458'", 60.

CasselC..ACM==7=i43.i3.4i ,52 j ^

Le troisième angle sphérique M = 6 du triangle ACM, considéré comme rectiligne, est à fort peu près connu, et il est facile d'en tirer 1 excès sphérique « = o' , 96 ; donc

Pour rendre le triangle ACM rectiligne, il faut retrancher de chaque

angle ^ c » o',32 ; donc ces angles deviennent :

a'« i6'»46' 27^,27 AC 44,386784

7'= 143.13. 3i, 20 sinv' 17,77*589

6'= 19,59.51,53 sin6 —15,340026

AMs=48o65»,63 AM 46,818347

On trouve de même

CM = 23170", 97, d'ailleurs CD» 11177,86,

i5a GéouoRPHic.

d'où

DM = CM -CD =11993™. 11.

Le triangle DMR, où Ton connaît DM, l'angle DMR = € (ou i9*57'5i',85) et MDR = 134** II' 14', 78 qu'on a mesuré, donne de môme

MR=i9745",90,

et ainsi de proche en proche. On obtiendra donc enfin la longueur de tous les arcs partiels, et par suite de la méridienne entière. Il faut observer que les angles opposés au sommet, tels que M, bien qu'étant égaux, ont des excès sphériques différents, comme étant parties de triangles différents. Ainsi, quand on réduit aux triangles rectilignes, ces angles cessent d'être égaux.

166. C'est ainsi qu'on a trouvé l'arc de méridienne qui traverse la France, depuis Dunkerque jusqu'au parallèle de Montjouy, près deBarcelonne : cet arc est de 55i584*,7. Le mètre était alors inconnu, et c'est la toise qu'on a employée à cette mesure. Cette distance équivaut à 1075059 mètres.

L'arc est de 9*40' 24", 24 ,

En outre, on a calculé des arcs compris entre les parallèles de quelques stations dont on avait trouvé les latitudes; ce qui a permis de comparer entre elles les longueurs des degrés à ces latitudes. Nous reviendrons sur ce sujet, lorsque nous aurons développé la théorie de la figure de la Terre (nM87).

167. Depuis les premières opérations, on en a entrepris de nouvelles pour prolonger l'arc du méridien.

l'^Le général Roy l'a étendu jusqu'à Greenwich, près de Londres. IJB travail de ce savant, exécuté avec un soin extrême, et des instruments différents des nôtres, s'accorde à donner aux triangles du nord de la France exactement les mêmes éléments qu'on tire de la base de Melun, quoique ce général soit parti d'une autre base mesurée à Honslow-Heath, en Angleterre, avec la toise anglaise.

2° MM. Biot et Arago ont prolongé du côté du sud l'arc du méridien, et l'ont étendu au delà de Barcelone, jusqu'à l'île Fermentera, la plus australe des Pityuses; et M. Arago seul l'a prolongé jusqu'à Mayorque.

FIGURE DE LA tERRE. l53

Nous avons déjà fait observer (q"" 145) qu'il existe un triangle, le plus grand de tous ceux qu*on ait employés jusqu'ici, dont l'un des côtés a environ 160900 mètres (40 i lieues). L'excès sphérique est de 89 secondes, et l'erreur des observations seulement de i',594. Cette opération est une des plus belles et des plus précises qui aient été exécutées.

On a

Latitude de Greenwich. . . 5i* a8' 39',5

9 de Formentera . . 38 . 89 . 56 , o Arc de méridien de i2''48'43'',5

C'est le septième du quart du méridien de Paris, mesuré dans une région que coupe par moitié le parallèle moyen, ou de 45 degrés.

Au reste, nous exposerons plus tard un procédé analytique qui n'exige pas qu'on ait sous les yeux une figure représentant les positions relatives des stations, et qui fera connaître la longueur de tous les arcs partiels, ainsi que l'arc total du méridien. Ce procédé a aussi un moyen de vérification', il consiste à projeter tous les côtés, soit orientaux, soit occidentaux, des triangles, par des arcs perpendiculaires à la méridienne principale. La somme de ces projections respectives donne l'arc total.

Le procédé que nous avons décrit peut également s'appliquer à la détermination d'un arc de parallèle à l'équateur. Nous donnerons les formules relatives aux usages qu'on fait de ces arcs pour connaître l'aplatissement de la Terre et la forme de ce sphéroïde.

Sur la figure de la Terre.

168. La Terre est un globe à peu près sphérique, dont nous voulons connaître la forme avec précision. Lorsque, du rivage de la mer, on commence à apercevoir un navire au loin, avec une lunette, ce sont les voiles, c'est la mâture qu'on découvre d'abord ; on ne voit le corps du vaisseau que quand il est assez près de la côte ; et comme les dimensions de cette masse auraient dû la faire apercevoir avant les mâts, il faut en conclure que le corps du navire était caché par la rondeur de la surface de la mer. Les voyages de long cours conduisent souvent les navigateurs aux régions les plus éloignées; ils font le tour entier de la Terre, et reviennent au point de départ, en marchant toujours dans le môme sens, ou du moins en suivant une route sinueuse dont on peut conserver la

l54 GÉOHORPHIE.

trace sur une carte, et qui équivaut à celle-ci. Enfin, quand on s'avance vers le nord, la hauteur du pôle sur l'horizon augmente de plus en plus, et au contraire on cesse d'apercevoir du côté du sud certaines constellations qui sont visibles pour nous ; des étoiles que nous voyons se coucher du côté septentrional ne peuvent plus atteindre l'horizon de ces contrées. Des apparences opposées se font remarquer lorsqu'on procède vers le sud; le pôle nord finit par se cacher sous l'horizon, à mesure qu'on découvre d'autres constellations australes qu'ici nous ne pouvons jamais voir.

169. Ces remarques prouvent que la Terre est un globe isolé dam V espace et à peu près sphérique^ et ce fait est confirmé par la forme de l'ombre qu'elle projette dans les éclipses de Lune.

Comme les hautes montagnes ne sont que des accidents rares sur la Terre, que les plus élevées ne vont guère à plus de i lieues dans la direction verticale, quantité à peine sensible quand on la compare au diamètre de la Terre, on doit aplanir, par la pensée, ces petites inégalités. Il est donc certain qu'un spectateur placé au loin dans les espaces céleste, ne pourrait distinguer ces montagnes, et qu'il verrait la Terre sous la forme d'un disque presque circulaire, tels que nous paraissent être le Soleil, la Lune et les planètes.

Mais si, dans la plupart des cas, on est autorisé à regarder la Terre comme sphérique, il en est d'autres où cette approximation ne suffit plus. Des preuves physiques et géologiques conspirent à faire penser qu'autrefois la Terre a été dans un état complet de fluidité, et qu'elle est même encore liquide dans son intérieur, sous l'influence d'une énorme chaleur, ainsi que nous le ferons bientôt voir. La surface s'est refroidie, et, en se solidifiant, elle a à peu près conservé la forme qu'elle avait reçue sous l'influence des causes qui avaient déterminé cette forme.

Les planètes nous offrent des conséquences analogues, et il est bien vraisemblable que ce n'est pas par un simple effet du hasard que ces corps sont à peu près sphériques. L'observation montre que les diamètres de Jupiter ne sont pas égaux, et que cette planète, qui tourne, comme la Terre, sur un axe, est aplatie de -^ sur ^s pôles. Le globe terrestre est pareillement aplati, ainsi que nous le prouverons, at il est naturel de rapporter cette circonstance à la même cause.

170. On a cherché, par la théorie, quelle forme prendrait un globe de matière liquide, dont les molécules seraient soumises à leur attraction motuelie, à un mouvement de rotation autour d'un axe central, et à une pnissaoce attractive extérieure. S*il n'existait que la première de ces forces, ia Terre formant une masse liquide et immobile devrait prendre la figure spbérique.

Mais la rotation diurne de la Terre sur un axe constant, cause de la révolution apparente du ciel étoile et de la succession des jours et des Doits, agissant sur cette masse sphérique, on reconnaît que cette forme n'a pu être durable, et que le globe a dû se renfler sous Téquateur et s'aplatir aux pèles, par un effet de la force centrifuge. Un liquide quelconque homogène, contenu dans un siphon ouvert, doit s'élever à la mâme hauteur dans les deux branches, parce que l'équilibre exige que les pressions produites par la pesanteur soient les mêmes des deux parts, liais concevons un siphon dont le coude serait au centre de la Terre, et dont les branches à angle droit iraient l'une au pôle, l'autre à Téquateur. Entraînée par la rotation de la Terre, cette seconde branche décrirait diaque jour le cercle équatorial, et le liquide y deviendrait moins pesant: car la force centrifuge, étant opposée à la gravité, diminue le poids du liquide qui est dans cette branche, sans agir sur celui qui est dans fautre; et puisque la première colonne est moins pesante, elle ne £8dt plus équilibre à la seconde. Pour que les deux poids soient égaux, il fimt donc que le liquide s'élève à une plus grande hauteur, dans la branche où le poids est moindre, jusqu'à ce que les deux colonnes aient des poids égaux de liquide.

171. Newton a exprimé par l'analyse les conditions de ce problème, et a trouvé que si le globe terrestre était homogène, l'aplatissement serait yjy (voir Figure fie la Terre, par Clairaut, a* Partie, n* 20) ; mais cette hypothèse n'est point admissible. Les densités variables des couches intérieures changent la valeur de cette fraction.

Ce qui tend à prouver que l'aplatissement de la Terre est dû à sa fluidité primitive et à son mouvement de rotation, c'est que l'aplatissement de Jupiter, qui est beaucoup plus considérable que celui de la Terre, est aussi produit par une rotation plus rapide. Les taches qu'on voit à la surface de cette planète ont permis de mesurer la vitesse de ce mouve-

l56 GBOMORPHIE.

ment et de reconnaître qu'elle est presque triple de celle de la révoluUon diurne de notre globe, et comme, en outre, le volume de Jupiter est ia8i fois celui de la Terre, la force centrifuge y est beaucoup plus grande et produit un aplatissement que, par le calcul, on prouve être a4 fois plus fort. Il est, comme on voit, très-vraisemblable que la Terre et les planètes ont été autrefois fluides.

Quoique nous ne sachions pas comment la densité varie dans Tintérieur de la Terre, sa fluidité doit rendre la masse croissante vers le centre. Clairaut a démontré (Figure de la Terre ^ a' Partie, n** 38) que Faplatissement est moindre que dans le cas de l'homogénéité, ce que nous trouverons conforme à l'observation; ainsi l'hypothèse de la fluidité se trouve justifiée. Mais pour trouver a priori, et théoriquement, la forme que prend un sphéroïde liquide de densité variable, soumis à l'attracUon mutuelle de ses molécules et à une vitesse de rotation, il faut connaître la loi des densités, savoir s'il existe un noyau central, et quelles soat sa figure, sa densité, etc. (voir l'Ouvrage cité et le Livre III de la Mécanique céleste),

172. Soit PMA (fg, 71) une section du sphéroïde par Taxe de rotation PC, qui est celui des pôles. On sait, par THydrostatique, que les équations de la surface du corps et des couches du niveau sont

S(XdX'^Ydy-\'ldz) = const . ;

J7, 7, z sont les coordonnées d'une molécule quelconque, sollicitée par les forces accélératrices dont X, Y et Z sont les composantes parallèles aux axes rectangulaires ; la masse est supposée fluide et incompressible. Or on sait que :

I" Xrte -h Yr/7 -+- Zrfs doit être une difiérentielle exacte, ou du moins rendue intégrale par quelque facteur ;

a"" L'équation exprime cette propriété importante de la surface libre, que la direction de la normale en un point quelconque coïncide toujours avec la direction de la force qui agit sur la molécule.

Appliquons cette théorie au cas où les molécules sont soumises à une force attractive vers le centre G, en raison inverse du carré des distances, et à la force centrifuge due à la rotation autour de l'axe GP des /. En désignant par X- la force d'attraction à la distance i du centre G, elle

FIGURE DB LA TERRE. iSj

est -^ à la distance r, sur la molécule M, en faisant CM = r; les cosinus

des angles que fait la direction de cette force (selon CM) avec les axes

sont ~j "^ ; ainsi les composantes dans le sens des axes sont r /•

^'x ^ ky — —et -<-..

En outre, soit/ la force centrifuge à la distance i de Taxe GP de rotation, elle est =^fx pour la molécule M, puisque cette force croit proportionnellement à la distance MO « x. Elle se confond avec sa composante dans le sens des x\ celle suivant les x ^^ nulle.

Nous n'avons pas égard à l'axe des z, et nous faisons Z » o, puisque, dans Fétat des choses, la surface étant de révolution, les molécules de tous les méridiens se comportent de môme, et que nous avons pu raisonner sur Tun d'eux PMA; ainsi Ton a

ce qui change notre équation fondamentale en

- X- / £ÎjL Z Z-^ j fxrix = const.

Et, comme f* = x^ -hj-^, rdr = xdx -h jrdjr^ on trouve -/• r^-h I fxrix,

Eu faisant le rayon polaire CP = i , on a pour le point P r = I et x = o :

ainsi la constante = /'. Faisons l'angle MCA — 0, d*où

, A /r2cos*0 , x = r cosô et ~ -^ ■ = a\

k fx^ ou --h' — = const.

Pour faire intervenir dans le calcul la condition que le sphéroïde est peu différent d'une sphère, faisons r =: i -h u, u sera une petite quantité

l58 GEOMORPHIK.

variable avec tes divers points M de la surface. Or notre équation donne

développant (i -i- m)~* «= i — 3a et nous bornant aux termes du premier ordre, on a

(î) i/cos»e = /(« — 3««).

Pour une première approximation, négligeons le terme Su^,

ku s= -/c08*Ô, r= n- -ï^ cos«Ô:

la surface est donc celle d'un ellipsoïde de révolution, puisque l'équation

de tous les méridiens est celle d'une ellipse dont l'excentricité est^-

Tirant la valeur du terme /// dans l'équation ( i ) et substituant pour « sa valeur dans r = i -h «,

r=n-4-cos«eH- 3«« « I -4- 4-cos«Q -h ^Z*/^*^,

en metlant pour ka sa valeur approchée -/cos*0. Or on a

cos*ô = cos2ô(i — Bin«0), ce qui change notre dernier terme en

-^cos«9--^co8te8in«e = ^co8»9--^{a8mecos9)';

donc