L^'ID

r=< -^■(fi-+-7/., )cos«e-^^sin«20.

Telle est l'équation polaire du méridien, en se bornant au premier ordre de w. En prenant 0 = go**, on a

-=i=CP,

FIGURE DE LA TERRE. iSQ

ce qu'on savait déjà; faisant ô = o, il vient

f 3/** ik 4 ^

ainsi le sphéroïde est aplati aux pôles, et le rayon équatorial CÂ excède celui CP du pôle. Le rapport de Texcentricité de l'ellipsoïde de la première approximation à l'excès dont il s'agit est celui de -^ à -^ -h -*^j ,

3/ ou de I à I + -^* Or /est la force centrifuge sous l'équateur (à fort peu

près, puisque CA diffère peu de CP), force qu'on sait être le -^ de la gravité /■. Ainsi l'excentricité a augmenté du y^ de ce qu'elle était d'abord ; et comme les observations ne peuvent saisir une aussi petite différence, on n'a aucun intérêt à supposer au sphéroïde une figure autre que celle de l'ellipsoïde de révolution (voir v^ 591, tome II de la Méca* nique de M^ Poisson).

173. Les physiciens attribuent la forme aplatie du sphéroïde terrestre à un étal primitif de fluidité. Comme cette hypothèse surprend au pre* mier abord, et que ]'étonnement est augmenté surtout lorsqu'on apprend que cet état existe encore sous la croûte mince et solide qui recouvre notre globe, et est produit par une prodigieuse élévation de température qui ne se dissipe pas avec le temps, il importe, avant d'aller plus loin, de mettre ces faits en évidence. Nous ne pouvons mieux faire, à cet égard, que de citer les arguments mêmes que M. Arago a exposés dans V Annuaire rfc 1834. Cet illustre astronome, qui ne dédaignait pas de mettre la science à la portée de tous, est parvenu à traiter la question qui nous occupe de manière à ne laisser aucun doute sur la solution qu'il donne; nous reproduirons ici ses propres expressions :

« A r origine des choses^ la Terre était probablement incandescente. Aujourdhui elle conserve encore une partie notable de sa chaleur primi^ tive.

» Nous aurons fait un premier pas vers la démonstration de ces deux propositions capitales, si nous parvenons à découvrir dans quel état, soit fluide, soit solide, se trouvait la Terre à l'origine des choses.

» Si la Terre était déjà solide quand elle commença à tourner sur son centre, la forme qu'elle avait accidentellement alors a dû se conserver à

l6o GÉOMORPUIB.

peu près intacte, malgré le mouvement de rotation. Il n'en serait pas de même dans la supposition contraire. Une masse fluide prend nécessairement, à la longue, la figure d'équilibre correspondant à toutes les force» qui la sollicitent; or la théorie montre qu'une telle masse, supposée d'abord homogène, doit s'aplatir dans le sens de l'axe de rotation, et se renfler à l'équateur : elle donne la différence de longueur des deux diamètres; elle fait connaître que, dans l'état final d'équilibre, la ligure générale de la masse est celle d'un ellipsoïde; elle signale les modifications qui peuvent résulter, dans les hypothèses physiques les plus vraisemblables, d'un défaut d'homogénéité des couches liquides. Tous ces résultats du calcul se concilient à merveille, quant à leur ensemble et même quant à leurs valeurs numériques, avec les nombreuses mesures de ia Terre qu'on a faites dans les deux hémisphères. Un tel accord ne saurait être un pur efiet du hasard.

» La Terre a donc été ancicnncrhent fluide .

» Reste à découvrir la cause de cette antique fluidité. J'ai annoncé, en tête de ce Chapitre, que cette cause était le jeu, : mais il s'en faut de beaucoup qu'on se soit unanimement accordé sur ce point. Les géologues de V École neptunienne n'ont voulu admettre qu'une fluidité aqueuse. Suivant eux, les matières terrestres, dont les propriétés sont si diverses, étaient originairement dissoutes dans un liquide, et la charpente solide du globe s'est formée par voie de dépôt ou de précipitation. Les Plutoniens, de leur côté, rejettent toute idée de dissolvant. Pour eux, la fluidité des principes constituants du globe fut jadis le résultat d'une trèshaute température ; ia surface s'est solidifiée en se refroidissant.

» Les deux écoles, j'ai presque dit les deux sectes, tant elles montrèrent d'acrimonie, se combattirent par des arguments peu décisifs, empruntés aux phénomènes géologiques, et qui laissaient les esprits rigides en suspens. Le vrai moyen de mettre un terme aux débats était évidemment d'examiner s'il existait au sein du globe des restes, des indices certains de la chaleur d'origine invoquée par les Plutoniens. Tel est le problème dont les physiciens et les géomètres, par des effbrts communs, sont par^ venus à donner une solution satisfaisante.

» Dans tous les lieux de la Terre, lorsqu'on est descendu à une certaine profondeur, le thermomètre n'éprouve plus ni variation diurne, ni variation annuelle : il marque constamment le même degré et la même frac-

FIGURE DE LA TERRE. l6l

lion de degré, pendant toute Tannée et pendant toutes les années. Voilà te lait. Que dit la théorie?

> Supposons un moment que la Terre ait reçu toute sa chaleur du Soleil, Le csXcxA fondé sur cette hypothèse nous apprendra : i* qu'à une certaine profondeur la température sera invariable ; a** que cette température solaire de l'intérieur du globe change avec la latitude. Sur ces deux points, la théorie et l'observation sont d'accord ; mais nous devons ajouter que, d'après la théorie, dans chaque climat, la température constante des couches terrestres serait la même à toutes les profondeurs, du moins tant qu'on ne s'enfoncerait pas de quantités fort grandes relativement au rayon du globe. Or tout le monde sait aujourd'hui qu'il n'en est pas ainsi : les observations foites dans une multitude de mines, les observations de la température de l'eau d'un grand nombre de fontaines jaillissantes venant de différentes profondeurs se sont accordées à don* nerun accroissement de i degré G. pour 20 à 3o mètres d'enfoncement. Quand une hypothèse conduit à un résultat aussi complètement en désaccord avec les faits, elle est fausse, et doit être rejetée.

9 Ainsi, il n'est point vrai que les phénomènes de température des couches terrestres puissent être attribués à la seule action des rayons solaires.

f L'action solaire une fois éliminée, la cause de l'accroissement régulier de chaleur qui s'observe en tout lieu à mesure qu'on pénètre dans l'intérieur du globe ne saurait être qu'une chaleur propre, une chaleur d'origine. La Terre, comme le veut l'école plutonienne, comme le voulaient déjà Descartes et Leibnitz, mais les uns et les autres, il faut l'avouer, sans aucune preuve démonstrative, est devenue aujourd'hui, définitivement, un soleil encroûté dont la haute température pourra être hardiment invoquée toutes les fois que l'explication des phénomènes géologiques l'exigera. »

Nous ne suivrons pas le savant académicien dans l'examen qu'il fait de la question qui a pour objet de découvrir combien il a fallu de siècles pour refroidir la Terre à partir de son époque d'incandescence, où il prouve que depuis 2000 ans la température générale de la Terre n'a pas varié de 7^ de degré, etc. Toutes ces considérations physiques d'un haut intérêt sont étrangères au sujet que nous traitons. Il nous parait suffisant d'avoir montré que l'incandescence originaire de la Terre,

F. — GêodéV.e. 1 1

l62 GÉOMORPIIIE.

et celle même du noyau actuel jusque fort proche de aa surface, sont des faits incontestables; qu'obéissant à son mouvement de rotation autour d'un axe central, notre globe, jadis entièrement à Fétat de fusion ignéo, a dû recevoir la forme d'un ellipsoïde de révolution ; qu'enfin la surface, en se solidifiant par la perte de sa chaleur primitive, conservant cette même forme, n'a dû y éprouver que de faibles altérations produites, soit par des actions locales intérieures analogues à celles des volcans, soit par des causes encore inappréciées. Les inégalités aecidentellee do la Terre trouvent ainsi une explication vraisemblable.

174. Les mesures géodésiques, prises à la surface terrestre, ont fait connaître que le degré près du pôle est plus long que celui do l'équateur. et l'on a trouvé 456 toises de plus à l'un qu'à l'autre. Si l'on compare 456 au degré de n.éridien en France, qui est de 57020 toises, on trouve que cet excès n'en est que le yts. Ainsi les degrés de méridien, quoique inégaux, diffèrent très-peu, et, dans les reclierches qui n^ exigent pas unr grande précision y on peut supposer la Terre sp/térique. Toutes les opérations de ce genre ont confirmé cette proposition.

Gomme l'ellipsoïde de révolution est un corps de forme très-simple, qu'il est indiqué par la théorie et qu'il remplit les conditions relatives ci-dessus énoncées, il est naturel de consulter les observations pour s'assurer si cette forme convient .réellement à la Terre. Supposons donc que ce globe soit en efi'et engendré par la révolution d'une ellipse autour de l'axe des pôles qui en est le petit axe. Recherchons, par analyse, les relations des différentes parties de ce corps, et voyons si effecUveroenl cette hypothèse s'accorde avec les faits observés.

De grands travaux ont été entrepris dans ce but, en différents lieu:^. avec des frais immenses, par le secours des gouvernements; c'est de cette multitude d'efforts qu'est résultée la certitude q«e la Terre est un corps irrégulier, même en faisant abstraction des montagnes et des cavités, qni ne sont que des accidents minimes de localités. Mais on a reconnu aussi que, de toutes les formes régulières, l'ellipsoïde de révolution autour de son petit axe, qui est celui dos pôles, est celle qui ne diffère que très-pca du sphéroïde terrestre.

C'est en 1735 que des académiciens allèrent mesurer des arcs de méridien. Au Pérou, La Condamine, Godin et Bouguer; en Laponie, Mauper-

ELLIPSOÏDE DE BÉVOLVTION. l63

tuis, Ciairaut, Camus et Lemonnier, firent usage des méthodes et des instraments les plus parfaits qu'on eût alors. Un grand nombre de géomètres ont uni leurs efforts aux leurs. Snellius, dans les Pays-Bai;; Norwoodet Mudgeen Angleterre; Picard, Lahire, Cassini, Méchain, Deiambre, Biot, Arago en France ; Ulloa au Pérou ; Celsius et Swamberg en Laponie ; La Caille au Cap de Bonne-Espérance ; Lambton et Burow aux Indes orientales; Riccioli, Beccaria, Lemaire et Boscowich en Italie; Liesganig en Autriche; Mason et Dixon en Pensylvanie; les ingénieurs géographes français dans la haute Italie, etc., ont mesuré des triangles et des bases pour arriver à connaître Tare du méridien. De ces grands travaux résuite notre admirable système métrique, l'un des plus beaux monuments des sciences dans le xviii* siècle. Carlini, Plana, Nicoiet, Brousseaud ont pris la mesure des arcs de parallèles. Et, comme les oscillations du pendule à secondes sont liées à la figure de la Terre, de nombreuses expériences ont été faites en divers lieux, par Borda, Biot, Arago, Kater, Sabine, Freycinet, Duperrey, Poster, etc., pour trouver la longueur de ce volume, afin d'en conclure l'aplatissement de la Terre.

Prenant la question au point où l'expérience Ta amenée, nous allons rechercher les propriétés géométriques de Tellipsoîde de révolution et les formules qui en lient les divers éléments; puis, partant des faits observés et les comparant aux résultats de ces formules, nous montrerons qu'en effet cette figure convient très-sensiblement au globe terrestre ; et enfin noas donnerons les moyens de corriger les petites erreurs que cotte supposition entraîne, quand elles sont de nature à intéresser la science.

Formules relatives à l'ellipsoïde de révolution,

178. Supposons que l'ellipse APA' [fig, 78) tourne autour de son petit axe CP passant par le centre C et le pôle P; CA = A est le rayon du cercle équatorial, qu'on nomme la ligne équinoxiale; CP = B est le demi-axe polaire; F le foyer; CF l'excentricité; TM la tangente, et MF la normale en un point quelconque M, dont les coordonnées sont

CQ^x*, QM=/.

Les équations de l'ellipse, de sa tangente et de sa normale sont A«/« -t- B»x'» = A«B», A«^ ' H- B^xx' = A«B«,

l64 GéOMOIIPIlIB.

CF Soit e le rapport de l'excentricité CF au demi-grand axe CÂ, ou « = ^;

comme CF = v^A* — B*, on a

On appelle aplatissement le rapport de la différence des axes au grand

axe. Soit- l'aplatissement du globe terrestre supposé ellipsoïdal,

d'où

\ pi p p^

Comme le nombre p diffère peu de 3oo, on néglige souvent -^, et Ton

prend e» = - : le carré e^ est donc, à fort peu près, le double de Vaplatissement.

n6. Désignons par / la latitude du point M [x\ /) ; cet arc /, tel que

le donnent les observations astronomiques, ainsi qu'on le dira plus tard.

est la hauteur du péle P' sur l'horizon TM, c'est-à-dire l'angle FKT',

savoir

angle K = MNy=^/.

Or

et, comme l'angle T est le complément de K ou /, on a tang/ = .— ^,j

tangl

(3) B«x'tang/=A«/;

tirant kf de cette équation et substituant dans celle de l'ellipse, il vient, à cause de A»^* = A*B*,

A« . B«tang/

/A« -f- B* tang» / " v^» -+- B* tang» / ou

Acos/ A(i~-6'«)8in/.

ELLIPSOÏDE DE RBVOLLTION. l65

j/ est le rayon OM du cercle MM' parallèle à l'équateur, rayon donné ici en fonction de la latitude /du point M.

in. Tonte ligne partant du centre G, et aboutissant à un point M de l'eilipsoîde, est le rajron R de ce point de la surface; ce rayon varie avec les lieux : au pôle P, il est égal à B ; sous l'équateur, il est égal à A et va en croissant de B vers A, à mesure que la latitude diminue. On ne doit pas confondre le rayon R avec la normale MN = N, qui, dirigée selon la verticale MZ du lieu M, ne tend j)as au centre C, si ce n'est pour les lieux A et P. Cherchons la loi des variations du rayon R = CM; on a

Rt==x'n-y«,

d^où

■£f*8in*/

Dans le trlang!e MM V, où Tangle N = /, on a, N étant la normale NM,

NV = ar' = Ncos/;

d'une autre part, si Ton pose j: = o dans l'équation de la normale, pour avoir l'ordonnée CN du point >^ de section avec l'axe des^, on trouve

Ce signe — prouve que le point N est toujours situé de l'autre côté du grand axe AA'. On a, pour valeur de la normale et de la partie CN,

cos/ i/i— £.îsin«/ (6) {

f CN = =zi. =5 — N ^« sm/.

V v^i— irtsinV

178. On a souvent besoin de calculer Fangle CMN « i [fig, 78) que fait le rayon terrestre CM avec la verticale MN du lieu M dont la latitude est /; cet angle, très-petit, est d'un fréquent usage dans la théorie des parallaxes. Voici une formule propre à déterminer .l'angle / .

l66 GÈOMORPUIE.

Commo

et

/=MBO-MCQ, MBQ=:/, tangMCQ*ji = ~tang/, on trouva [équation (7), page 32],

lang/— jrtang/ [' — (1 — 7;) tang/ iH-jjUng»/ n-(i,— -j tang*/

à cause de j =» I • Multiplions haut et bas par coe*/,

T Isin/cos/

i sin'/-»- — siu*/

et, effectuant la division,

fa 1 — 4sin*/ 4sin«/(i — 2sin«/) 1 . , ,

tangi= ^ i— r -'••- Isin/cos/.