AB

distance en latitude des deux parallèles ; cette longueur s est connue par l'équation (19), n"" 195, et représente un arc de méridien de()L — /) degrés. Le rayon GA => r du parallèle moyen est aussi connu : c'est la longueur KM [fig, 78) qui, dans le triangle rectangle KMN, où MN =N est normale, a pour valeur r = N cot /.

Soit encore d l'angle ACM que font les deux rayons CE, CM, le triangle CQM donne, en faisant CM = 0,

QM = a: = p sinô, CQ « p cosO, ^ « PM =s BQ -4- 5 « .f -h BC — CQ =a * -h p — p cos 0 ; donc

X sa p sinô, r = j -h p (1 — cosô) = j -+- 2p sin* - ô.

On peut môme éliminer p de cette dernière équation à l'aide de la première,

• /v ' — CO80 , I ^

x=.psmô, ^ = .ç-4-x, -^«j^xtang-0.

p est connu, puisque p s r — j ; ainsi il ne reste plus qu'à trouver 0, et l'on aura pour chaque point M de Farc BM les deux coordonnées x et 7. Bien entendu qu'il faut prendrez en signe contraire pour les parallèles situés au-dessous de AK, c'est-à-dire quand la latitude X du point M est</.

3o4 GBOMORPUIB.

La longitude donnée est A, c'est un arc d^équateur. Si Ton prend ud arc de la graduation A sur le parallèle, la longueur de cet arc sera d, puisqu'on détermine le point M sur la carte, en prenant BM d'autant d'unités métriques que cet arc de parallèle en contient sur la Terre. Ainsi A et G sont des arcs de môme longueur, mais pris dans les cercles, différents, dont les rayons sont p pour 0 et â/ pour A, x' ayant la valeur donnée (n** 204i pour le rayon du parallèle, sous la latitude \ (c'est Ofâ^fig. 78). On a

donc

j/ = N'cos).,

N' étant la normale en M ou en B. Les nombres de degrés des arcs égaux A et 9 étant entre eux en raison inverse de leurs rayons j/ et p, on a

A:0::p:a:', d'où ôe=AcosX-.

On peut donc marquer sur la carte tout point M dont on a la longitude A et la latitude X; car on trouvera d'abord les normales N et N', les rayons r et p, l'arc 7 et par suite les coordonnées x et / de ce point M.

354. Il est facile maintenant de comprendre comment on compose une carte, selon la projection dont il s'agit. On trace d'abord deux droites ÂC, AX perpendiculaires (fig, 121), passant par le milieu A de la feuille. SurAC, à partir de A, on porte, tant en dessus qu'en dessous, des longueurs telles que AB, qu'on prend égales respectivement aux valeurs de s; c'est-à-dire aux arcs du méridien répondant à i*", a"", S"",. . ..de distance de A, arcs qui vont en croissant vers le pôle, et qu'on a calculés préalablement sur la formule (n*» 204) (Table II).

On marque ensuite les points d'intersection des divers méridiens et parallèles ou les angles des quadrilatères curvilignes formés par les incidences de ces arcs projetés. Pour cela on calcule toutes les normales N, N', ... de degré en degré, les rayons p des parallèles projetés, enfin les amplitudes des angles B qui répondent à des valeurs A et X, variant aussi par degrés; d'où résultent les longueurs des coordonnées :r, ^ correspondantes, qui fixent la position de chaque sommet de nos quadrilatères; et observez qu'en calculant /-, et changeant p en r dans nos formules, elles s'appliquent aussi au parallèle moyen. Il ne reste plus qu'à porter ces

PROJECTION FRANÇAISE. 3o5

longueurs sur la carte, en prenant les parties sur une échelle à volonté.

355. Par exemple, pour la carte de France, le parallèle moyen étant à 45 degrés, on fera, dans Téquation (19), n* J95,;? = 3o9,65, /' = 45% /— /' ou > « ç, / -I- /' ou L = 90* -+- ç, avec les constantes a, p, y dont la valeur est donnée n" 194, et il viendra, pour la différence f en latitude,

S== III ii9",ax« -*- 30889", 37 sin^f— i5",437sin4f j> est donc négatif pour les arcs de 45 degrés jusqu'à Téquateur ; donc :

m ni

De45''à4i% .v= 444331,3, Do 45* à 46% 5=111127,5,

On cherche ensuite les rayons p en retranchant ces derniers arcs de r, puis les normales N consécutives. De là on évalue le rapport de chaque normale à p, et Ton cherche toutes les grandeurs 9 relatives à un môme parallèle, pour des quantités A variant de degré en degré. Enfin on calcule les nombres x et/ correspondants.

Des Tables étendues ont été calculées par Plessis, et servent de base aux constructions des cartes du Dépôt de la Guerre (voir ces Tables à la fin de la Topographie de M. Puissant).

356. Le territoire que l'on veut représenter sur la carte est ordinairement trop étendu pour être contenu dans une seule feuille : on est dans i'asage de former cette carte par la réunion bord à bord d'une séné de feuilles dont les cadres sont de 8 décimètres sur 5. Chaque feuille est dessinée et gravée à part. Pour trouver les positions des angles des quadrilatères sur ces cartes, on transporte l'origine des coordonnées à l'un des angles du cadre, opération qui consiste simplement à ôter ou ajouter une, deux, trois fois, ... 8 décimètres aux x, et 5 aux/, selon la place que cette feuille doit occuper dans l'assemblage général.

Et quant à Tordre qu'observent ces feuilles entre elles, on le marque par des signes qui désignent, l'un le rang horizontal, l'autre le vertical, en

F. — Géodésie. 20

3o6 GBOUORPHIB ASTRONOMIQUE.

inscrivant ces chiiïres sur les deux bords du cadre les plus voisins du

centre A de la carte. C'est ce que montre la ^/F^, im. Ainsi la carte [ | • est celle qui est la deuxième dans le sens horizontal et la troisième dans le sens vertical, à compter du centre A où se croisent le méridien et le parallèle moyens. Les chi(Ti*es sont inscrits sur les côtés qu'il faut coller pour réunir la feuille à celles qui, étant plus près qu'elle de A, ont ét^ collées les premières.

Ces cartes, ainsi assemblées, forment une seule grande carte ; et, comme chacune contient une partie des arcs de méridiens et de parallèles, il faut qu'après l'assemblage ces courbes s'ajustent bout à bout sans jarrets ni solution de continuité.

357. Quant au problème inverse de celui qui a été résolu ci-dessus Trouver la longUtule et la Unitudc d'un point donné sur la carte, nonjugeons utile d'en donner ici les formules. Comme les courbes des parallèles et des méridiens sont sensiblement des lignes droites, et que 1(^ quadrilatères formés par ces lignes sont à fort peu près dea parallélo grammes, on n'a point à craindre d'erreur notable, en menant par le poini donné des parallèles aux côtés du quadrilatère où il est renfermé, et » évaluer sur l'échelle les fractions que ces lignes forment entre elles.

Nous remettons à traiter des cartes plates et réduites lorsque nous parlerons des méthodes d'en faire usage dans la Navigation,