PROJECTIONS CONIQUES

On a beaucoup varié les procédés; nous nous contenterons de décrire ici ceux qui sont en usage.

340. Pour commencer par la projection conique, imaginons qu'on demande la carte d'un royaume, tel que la France, renfermé entre des cercles donnés en longitude et en latitude. On suppose le globe terrestre enveloppé d'un cône tangent au cercle du parallèle du milieu, entre les limites nord et sud, et l'on considère ce cône comme coïncidant sensiblement avec ce parallèle et ceux qui en sont voisins. Ensuite on développe ce cône sur le plan de la carte, en un secteur circulaire; les méridiens sont des droites convergeant au sommet du cône, centre tlu secteur; les parallèles sont des arcs de cercle qui ont pour centre commun ce même sommet, et sont également distants pour des graduations égales en latitude.

Ainsi, dans la y%. ii8, SMN est le développement d'une portion de surface conique; MN, mn sont les parallèles extrêmes de la carte, AB celur du milieu; M//tS, N/iS les méridiens extrêmes, ODS celui du milieu.

Calculons les éléments de cette figure, pour en faire le tracé exact.

Soit ab \Jig. ii5) le diamètre du parallèle moyen sur le globe F/iP AG ; les tangentes sa^ sb et l'axe se déterminent, par leur révolution autour de/C, le cône dont il s'agit, en sorte que SA [fig. ii8) doit être pris égala «a [Jig. ii5); de plus l'arc AB doit avoir pour longueur celle de l'arc décrit par ac entre les limites des longitudes extrêmes de la carte. Ces remarques suffiraient pour faire l'opération graphique dela^for. ug; mais, pour plus de précision, il convient d'y appliquer le calcul.

SoientFG Téquateur [Jig, u5), P le pôle, /zF = / la latitude du parallèle moyen ac a cos/, en faisant le rayon a G » i; si D est le nombre de degrés en longitude que doit contenir la carte, c'est-à-dire sa largeur, et si, de plus, S désigne l'angle au sommet (en degrés) ASB du secteur développé, on a

AB =a développement de D degrés de la circonférence ac\ d'où

/ ,, r, TrOcot/

i8o* : TT X flc (ou TT cos/) : : D : — - — = AB= la longueur développée sur l'arc moyen du secteur.

Û96 CéOMORPHIE.

Mais dans le triangle snC^ comme s/r « SA, on a

5fl» tangflCj ou SA = cot/ {fg. 118), piiia

iSo** : ir X SA (ou TT cot/) : : S : AB « •^-jgjjr' *

En égalant ces deux valeurs de AB, on trouve

D 3os/ = S cot/, ou angleS = D sîn/.

341. Ainsi Ton tracera un angle BfSN d'autant de degrés que le vent

cette expression, et Ton aura Tangle S du segment développé; on prendra

SA » cot/ : ce sera le rayon de Tare qui représente le parallèle moyen;

puis on portera de A en M et /H les longueurs développées en ligne droite

du méridien F/iP entre les limites de latitudes extrêmes. Si la carte doit

iT fi comprendre r/degrés en latitude, Mm sera égal à -r— ;» et l'on prendra les

loO

longueurs AM = Xm « ^ (voir la valeur de p", n* 34); puis, partageant AM et Xm en autant de parties égales qu'on voudra, on décrira du centre S des arcs qui figureront les parallèles de la carte. Quant aux méridiens, ce seront des droites partant du sommet S et passant par des points égalements distants pris sur MN ; pour les régions éloignées do pôle, le centre S est trop loin pour se prêtera cette construction [voir ce qui sera dit n"" 350).

II ne restera plus qu'à placer dans ce réseau chaque ville en son lieu, d'après la longitude et la latitude connues, à figurer les rivages, les montagnes, les sinuosités des rivières, etc. Cette construction est si simple, qu'on la préfère souvent à toute autre, et la plupart des cartes particulières des États sont tracées d'après ce système.

342. Pour plus de précision, au lieu de faire le cône tangent à la sphère, on a imaginé de l'y inscrire, en le faisant passer par les deux cercles parallèles extrêmes, ce qui ne présente pas plus de difficulté. En effet, soient FG l'équateur (^g, 1 16), F le pôle, aa* l'arc de méridien du milieu de la carte, ac, a'c' les rayons des deux parallèles extrêmes, dont les latitudes / et / sont G^i, Ga'\ la corde ac^ prolongée est sur la génératrice sL du cône. Ainsi, en faisant tourner Ls autour de Cx, axe des

PROJECTION DE FLAlfSTEED. ^97

pôles, aa' engendrera la surface conique qu'on doit développer et qui formera la carte. L*angle s a pour mesure - (Oa — Pa'),

0« = 90*» -+- /, Pfl' == 90* — /';

ainsi

et, comme le triangle rectangle sca donno ac B= cts sin J.

on a

tfoù

cos/=«^8in- (/-*-/'); cos/ , cos/'

sini(/-4-/')' sini(/-H/')

Kous connaissons donc les élôments du secteur développé; le reste est comme ci-devant.

343. On peut encore faire en sorte que le cône soit dirigé par deux parallèles situés à mi-distance du parallèle moyen et des extrêmes; ce CÔD6 se trouve alors partie interne, partie externe à la sphère. On place les points A et a' de la^. 1 16, non plus aux limites de la carte en latitude, mais au quart et aux trois quarts de Tare de méridien du milieu. C'est ainsi que Delisle a construit sa grande carte de Russie, qui embrasse 33 degrés de latitude, et qui a son parallèle moyen à 55 degrés de Féquateur.

Maintenant on préfère à la projection conique celle de Flamsteed modifiée, dont on va traiter; cette construction est plus exacte et no présente pas plus de difficultés.

Projection de Flamsteed,

344. Dans cette projection (Jîg. ia3) la verticale AB du milieu de la carte représente un méridien, que traversent, à égales distances, une série de droites perpendiculaires figurant les cercles parallèles à l'équateur. Ainsi, après avoir tiré la verticale AB, méridien moyen, on y por^

29S GâOHIMKlIB.

tei-a des [mrties égales, ab^ bc^ cd^ . . . destinées à représenter chacune I degré de latitude, et par les points de division à^ c^d^ ... on tirera des perpendiculaires MN, PQ, RS, . . . , qui seront les parallèles à Féquateur. Cela fait, on cherchera la longueur du degré de ces parallèles sous les latitudes successives BIN, PQ,... (voir ci-après), et Ton prendra ffut, bp, cr, ... respectivement égales à ces longueurs. Pour cela on remarque que ab est la longueur de Tare de i degré du méridien ou de l'équateur, grand cercle de la sphère, construisant une échelle de parties égales sur cette longueur ab^ on saura combien de parties de cette échelle doivent être comprises dans am, dans bp,,.., d'après les latitudes respectives de ces parallèles, et Ton prendra ces longueurs avec le compas pour les reporter de a en m, de ^ en /?,... . Joignant ensuite les points m, /y, r, ... par une courbe, ce sera un nouveau méridien de la carte.

Prenant ensuite mo » am^ pq «s bp^ lr= rc^.,,^ la courbe oql. . . sera encore un méridien; et ainsi des autres.

Bien entendu que, selon l'étendue de la carte, les parallèles pourront être tracés, si Ton veut, de a en 2 degrés, ou de 5 en 5 degrés, ou de 3o en 3o minutes, etc., en observant la môme règle de construction.

345. Venons-en maintenant au calcul de la longueur des arcs am, bp,... des parallèles. Soient BD, B'D' (^. 117) les rayons de deux de ces cercles sur le globe terrestre; les circonférences sont comme les rayons, et, comme BD est le sinus de Tare AB, A étant le pôle, ou le cosinus de la latitude / du lieu B, on a

cire. B'D* cos/ cire. BD " cos/'

Ainsi deux arcs de parallèlt's qui ont mêmes graduations sont entre eux comme les cosinus de leurs latitudes. Prenons l'un de ces arcs sur l'équateur; à cause de cos /' » i, on a

arc de D degr. de parall. = cos/x arc d*éq. de D degr. de mér.;

et comme, sur notre carte, on a pris à volonté la distance ab pour représenter cet arc de D degrés de l'équateur dont on a fait une échelle, par exemple, de 1000 parties, on voit qu'il faut multiplier par 1000 les cosinus des latitudes / des cercles qui doivent entrer dans la projection.

PROIBCTION DE FLAMSTEED.

346. Nous donnons ici, pour une échelle de looo parties, comprises

dansai (Jig, laS), le nombre de parties qui forment amjtp^cr^

Ainsi Ton reconnaît que, si MN est le cercle de 60 degrés de latitude, la distance €un est moitié de ah^ parce que le degré de parallèle est égal à 5oq. Celle de hp pour 61 degrés est 484,81 ; celle de rs pour 62 degrés est 469,47, . .., ces longueurs étant prises sur l'échelle dont ah, hc, cd,,,, contiennent 1000 parties égales. Ce sont tous les cosinus pour le rayon 1000.

Table des degrés de latitude^ le degré de Véquatcur étant 1000.

LATIT

C0SIKC8.

LATIT

COSINUS

LATIT

COSINUS

LAin.

COSINUS

9ao,5i

la

5oo,oo

ai

aa

347. Sans plus de difficulté, on peut, dans cette projection, tenir compte de Taplatissement de la Terre. On ne divise plus le méridien du milieu ÂB {fig. i23) en parties égales; mais on prend ces parties de mdmes longueurs croissantes vers le pôle que les arcs de i degré du méndien. Ainsi, en France, cet B.Tcab sera de 57017 toises, ou 1 1 1 128 mètres

3ao GéuitonPHiE.

à 45 degrés de latitude; près de Dunkerque, on fera de de m a3i mètres, etc. En outre, on prendra les nombres qui expriment les arcs de I degré de parallèle dans la Table II à la fin du Livre, qui donne les longueurs de ces arcs à différentes latitudes.

Il reste ensuite à placer, sur ce réseau, chaque ville au point qu'indiquent sa longitude et sa latitude, à figurer les côtes, les rivières, les montagnes, etc.

Cette carte, dont Flamsteed a fait usage pour dessiner ses planisphères, a l'inconvénient de déformer beaucoup les régions éloignées du méridien du milieu AB : c'est ce qui a fait donner la préférence à la modification suivante, où les parallèles sont représentés par des arcs de cercle concentriques, comme dans la projection conique, n"" 340.

Projection française ou du Dépôt de la Guerre,

348. Après avoir tiré la droite verticale SO {fig. 118) au milieu de la carte, pour représenter le méridien moyen, on prendra sur cette ligne des longueurs ab^ bc, ... d'autant de parties d'une échelle arbitraire, que chaque degré du méridien contient d'unités métriques (par exemple environ 57012 toises ou III 120 mètres à 45 degrés de latitude). On prend ensuite a S, comme au n"" 341, égal à la cotangente de la latitude du lieu central a, ou plutôt, pour avoir égard à l'aplatissement de la Terre, on fera aS égal à la tangente du méridien elliptique au point qui a cette latitude centrale, tangente terminée à l'axe des pôles. (Cette longueur est KM, J!g, 78.) Du centre S, on décrira les arcs m/t, AB, MN, . . . , par tous les points de division du méridien moyen SO; ce seront les représentations des parallèles. Sur chacun de ces arcs, on portera des parties égales aux longueurs respectives de l'arc de i degré soas les latitudes correspondantes. Par exemple, si MN est le parallèle de 60 degrés, on prendra les parties égales des deux côtés du point 0, chacune de 28616 toises, ou 55774 mètres, qui est la longueur de l'arc de i degré de parallèle à cette latitude (voir Table II).

On joint enfin les points de division du môme rang sur ces arcs parallèles par des lignes, et Ton obtient les méridiens, tant à droite qu'à gauche. Ces lignes forment une courbe qui se présente ici avec la forme polygonale; mais, comme on peut espacer les parallèles et les méridiens seulement de 3o ou 40 minutes, ou moins encore, ces petites lignes mises

PROJECTION FEANÇAISB. 30L

bout à bout se réunissent en forme de courbe. Dans les cartes qui représeDtent les lieux sur une grande échelle, on espace même les cercles de minute en minute, sauf à effacer ensuite ceux des arcs qu'on ne croit pas nécessaire de conserver.

349. A proprement parler, l'espace ab du méridien qui sépare deux parallèles est arbitraire; il n'est déterminé que lorsque le rayon Sa Test lui-même; mais, comme ce rayon est donné par cot/, on a coutume de prendre à volonté l'arc aby qui représente une longueur métrique connue; on prend cette distance sur une échelle de parties égales, appropriée à l'objet. Mais ensuite le rayon Sa est déterminé et égal à eot /, qu'on trouve sur la même échelle, d'après la valeur numérique de ce rayon.

Pour tracer une carte selon la projection de Flamsteed modifiée, il est bon de calculer l'amplitude de l'arc moyen ÂB par la formule

angleS = Dsin/ (n* 340),

D étant le nombre de degrés de longitude que la projection doit embrasser, et/ la latitude du parallèle moyen dont il s'agit; et l'on divise ensuite cet arc en parties égales, pour obtenir les points de section des méridiens. On évite ensuite les petites erreurs dues à ce qu'on regarderait l'arc de i degré comme égal à sa corde. Au reste, ce qu'on va dire de l'application du calcul à cette projection lève toutes les difficultés.

350. On est arrêté dans ces constructions par l'impossibilité de décrire des cercles d'un très-grand rayon ; car les régions qu'on veut figurer sont si étendues, le plus ordinairement, que le centre S se trouve trop éloigné pour que les plus grands compas puissent y suffire; cet inconvénient se rencontre surtout dans les basses latitudes. Il est donc préférable de déterminer les arcs de cercle par points, à l'aide du calcul : c'est ce que nous allons exposer.

On tracera au milieu de la feuille les perpendiculaires indéfinies Câ,N'N (fig. 119); N'AN représente le parallèle moyen de la carte; on connaît le rayon CA s= R cot/, R étant le rayon terrestre, et l'on suppose que la distance CA s r est trop grande pour que le parallèle puisse être décrit d'un mouvement continu. La carte doit embrasser D degrés de longitude; ainsi l'angle N'GN s^ G est connu et égal à D sin/, / étant la latitude du parallèle N' AN. Faisons la corde N'N = 2 a, et la partie a « 6 ; ces

3oa GÉOMOAPOIB.

lignes sont connues, car le triangle rectangle NCI donne

NI = a«rsin - C, C =» rcos -C=6, Alerfi— oos-^cV

AI = arsin^ic [équation (6), n*30].

On a donc les limites N, N' de l'arc en longitude, et son point A de rencontre avec le méridien principal. L'équation du cercle dont l'origine est en C est :c* -H /« = r* ; pour la porter en I, il faut changer jp en x + 6, et l'on trouve {x h- €)* = /« —7*,

Pour un point M de l'arc, IP «= /PM » x. On divisera IN en parties égales, et, pour chaque point de division, on trouvera l'or correspondant; en sorte qu'on obtiendra autant de points qu'on voudra de Tare AN, et par conséquent de AN', qui lui est symétrique.

351 . Si l'on veut tracer les droites NG, N'G tendant au point éloigné C, on se servira du théorème suivant :

Lorsque deux lignes ba, bc (Jig. lao) concourent en C, o« peut, sans connaître ce point C, tirer d^un point f donné une droite f g qui concoan en ce même point G.

En effet, menez ac^ bd parallèles quelconques, puis la droite fd^ et par le point c, sa parallèle indéfinie ch\ vous aurez les proportions

Cd'Xc\:bd: ca, Cd'Xcl : d/lcg;

on a donc bd :ca\: df: cg. Portez sur ch la longueur cg^ quatrième proportionnelle à bd^ eu et df] la ligne y^ ira concourir au point G.

332. Il ne reste plus qu'à diviser en parties égales l'arc NAN' ^fig. 119) pour avoir les points de section des méridiens avec ce parallèle; et même, s'il s'agissait ici de la projection conique, on tracerait ces méridiens, puisqu'ils sont dans ce cas des droites concourantes en G. Il en est autrement dans la projection de Flamsteed modifiée.

A partir de A, au milieu de la carte, on portera sur AG, tant en baut qu'en bas, des longueurs égales à l'arc de i degré de méridien, et il restera à tracer par points chacun des parallèles passant par ces divisions,

PROJECTION FRANÇAISE. 3o3

et dont les rayons r', /^, ... sont visiblement connus. On pourra donc, pour chacun de ces arcs, se servir des onèmes formules, en y prenant r', /*,... au lieu de r.

Mais, comme nous faisons abstraction, dans ce qui précède, de Taplatissement de la Terre, il convient de généraliser cette théorie.

353. £tani données la longitude A et la latitude X d'un lieu, trouver les coordonnées rectangles x et y tlu point de la carte où ce lieu est situé

[fig. I2l).

Soient C le centre de la projection, AK le parallèle du milieu, dont la latitude est /; BM un autre parallèle dont la latitude est).; M le point dont il s*agit, dont les coordonnées sont AP &= x, PM » j^; AX étant tangent en A et perpendiculaire au méridien principal CA, on a