LIVRE VINGT-HUITIÈME

Suite de la Théorie de la Géographie. — Des Caries géographiques. — De la Projection stéréographlqiM,

de Torthographlqae et de la centrale.

« Les grands globes sont des instruments dispendieux et incommodes; les petits ne présentent pas des détails suffisants. Il a dcmc fallu avoir recours à des tableaux qui, sur une surface plane, donnent une représentation du globe et de ses parties. Ces représentations embrassent ou la terre entière , ou une partie du monde, ou une seule contrée. Dans le premier cas, on les appelle mappemondes, et, lorsqu'elles ont la forme circulaire^ p/anifpA^re$; celles de la seconde classe sont nommées cartes générales; les autres sont des cartes spéciales. Parmi les cartes spéciales, il y en a qui représentent eu grand une province avec tous ses endroits rCiUarquables ; ce sont des cartes chorographiques. Si le dessinateur est entré dans tous les détails de la nature du terrain , ou s'il a même retracé les habitations isolées et la division des diamps, ce sont des caries topogra^hiques. On sent que ces sortes de cartes doivent nécessairement embrasser un petit canton, et que, par une pente insensible, elles se rapprochent des plans géométriques. L'usage confond quelquefois ces dénominations. On distingue encore des cartes géographiques proprement dites , celles qui sont appropriées à un usage particulier ; telles sont les cartes hydrographiques destinées aux marins, les cartes minéralogiques , géologiques et autres (').

» La figure de la terre s'oppose à ce qu'on puisse en donner un tableau général dans lequel les distances des lieux et l'étendue relative des régions soient conservées dans leurs rapports mutuels. Il y a des surfaces qui peuvent s'étendre sur un plan sans déchiiiire ni duplicature, et se nomment pai* cette raison surfaces développables : telles sont celles des cônes et des cylindres ; les autres , comme celles de la sphère et des sphéroïdes, se refu-

(') Mayer, Inlroducllon complète à l'Art de tracer les cartes géographiques, hydrographiques cl céleslcs, etc. Erlang. 1794 ( en aWemand). Puissant, Traité de topographie, liv. Il, p. 92-152. Comp. Robert de f-^wtgondy , Inslilulions géographiques» part. Il, etc.

sent absolument à cette extension. La terre étant un i^héroîde , sa surface ne saurait coindder rigoureusement avec un plan; et de là résulte l'impossibilité de marquer sur une carte, en même temps et dans leurs rapports naturels , l'étendue des pays , les distances des lieux, et la similitude des configurations. Les géograi^es sont obligés d'avoir recours à des constructions diverses pour représenter, au moins d'une manière approximative, chacun de ces rapports en particulier.

» On a donné à ces constructions le nom de projections , nom qu'on applique en général aux dessins dont l'objet est d*indiquer sur un plan les dimensions de l'espace et des corps qu'il renferme. Il y en a de deux sortes : les unes sont de véritables perspectives du globe ou des parties de sa surface , i^ses de divers points de vue et sur divers plans de tableau; les autres ne sont que des espèces de déveli^ pements , assi^jettis à des lois approximatives et appropriées aux rapports qu'on veut conserver de préférence. C'est des projections ai perspective que nous allons nous occuper dans ce livre. Exposons d'abord la théorie générale de la projection, aussi bien que cela peut se faire sans le secours de la haute géométrie ('}•

» La projection , en termes de perspective , signifie la représentation d'un objet sur le plan perspectif ou le plan du tableau . Car, dans tout tableau , on suppose entre l'objet à représenter et le point de vue un plan qui intercepte tous les rayons de lumière dirigés de diacun des objets visibles au point de vue. Alors on conçoit une multitude de points d'intersection de ces rayons avec le plan du tableau. L'ensemble de ces points est l'image de tout ce qui se tix)u ve sous la vue du spectateur. Chaque poiut d'intersection est la per^[>ective du point d'on émane le rayon de lumière qui , en traversant le plan perspectif, vient aboutir au point de

(') Voyez Euler, Acta acad. Petropolit. I, p. I. Lagrange , Mémoires de rAcadérole de Berlin, année 1779. A/o//tt'cidc , Analyse de la projection stéréographiquc, dans Zach, Correspondance xrv , 437 igq., btS sqq

GE06BAPRIE MATHÉMATIQUE.

vue. Pour que la perspective d'une figure, comme d'un carré, d'un cercle, soit une figure semblable , il faut deux choses : premièrement que le point de vue soit dans l'axe de la figure ; secondement , que le plan du tableau soit perpendiculaire à cet axe. Si la figure superficielle à représenter se trouve dans une autre plus perpendiculaire à celui du tableau, elle ne pourra être représentée que par une ligne dix>ite. On ne peut voir un solide entièrement d'un seul point de vue, il en faut au moins deux. Pour qu'une sphère soit partagée en deux surfaces égales par la perspective simple, il fkut que le point de vue soit à une distance infinie. La ligne droite tirée du centre du globe au point de vue, est l'axe du grand cercle qui sépare l'hémisphère visible de celui qui ne l'est pas. On l'appelle axe optique.

>» La projection de la sphère se dlviseordinaireraenten orthographique et stéréograpkique.

• La projection orthographique est celle où la surface de la sphère est représentée par un plan qui la coupe par le milieu , l'œil étant placé verticalement à une distance infinie des deux hémisphères. Voici les principales lois de cette projection (*).

» !• Les rayons par lesquels l'œil voit à une distance infini sont parallèles. 2" Une droite perpendiculaire au plan de projection se projette par un seul point, qui est celui où cette ligne coupe le plan de projection. 3° Une droite qui n'est point perpendiculaire au plan de projection, mais qui lui est parallèle ou oblique, se projette par une ligne droite, terminée par desperpaadiculaires menées sur le plan de ses extrémités. 4'' La projection de la ligne est le plus grande possible, quand elle est parallèle au plan de projection, ô"" De là il s'ensuit évidemment qu'une ligne parallèle au plan de projection se projette par une ligne qui lui est ég^le ; mais que si elle est oblique au plan de projection, elle se projette par une ligne moindre qu'elle. 6^ Une sur&ce plane , si elle est perpendiculaire au plan de projection , se projette par une simple ligne droite ; et cette ligne droite est la ligne même où elle coupe le plan de projection. 7** De là il est évident que le cercle dont le plan est perpendiculaire sur le plan de projection, et qid a son centre sur ce plan, doit se projeter par le diamètre, qui est

0) /^'^/em^efi, Encyclopédiemétbodiqueiaumot PrcjectiM.

sas

sa commune section avec le plan de projection. 8* Il est encore évident qu'un arc de cercle dont l'extrémité répondrait perpendiculairement au centre du plan de proJe(5tion , doit se projeter par une ligne droite égale au sinus de cet arc, et que son complément se projette par une ligne qui n'est autre chose que le sinus verse de cet arc. 9^ Un cercle parallèle au plan de projection se projette par un cercle qui lui est égal , et un cercle oblique au plan de projection se projette en ellipse.

» La projection stéi*éographique est celle où la surface de la sphère est représentée sur le plan d'un de ses grands cercles , l'œil étant supposé au pôle de ce cercle. Dans la projection stéréographique , le globe est considéré comme un solide transparent. L'hémisphère représenté est celui qui est opposé à l'hémisphère dans lequel l'œil est supposé se trouver. Voici les principales lois de la projco* tion stéréographique:

» 1* Tout grand cercle passant par le centre de l'œil , se projette en ligne droite. T Un cercle placé perpendiculairement vis-à-vis de l'œil, se projette par un cercle semblable. 3"» Un cercle placé obliquement par rapport à l'œil , se projette par un autre cercle, dont le rayon s'aocrolt en raison de l'obliquité. 4° Si un grand cercle se projette sur le pian d'un autre grand cercle , son centre se trouvera sur la ligne des mesures, c'est-à-dire sur la projection du grand cercle qui passe par l'œil, et qui est perpendiculaire au ce3te\e à projeter et au plan de projection. Le centre du cercle projeté sera distant du centre du cercle primitif ou de projection de la quantité de la tangente de son élévation au-dessus du plan primitifou de projection. 6** Un petit cercle se projettera par un autre cercle dont le diamètre (si le cercle à projeter entoure le pAle du cercle primitif) sera égal à la somme des demi-tangentes de la plus grande et de la plus petite distance au pôle du cercle primitif ; ces tangentes étant prises chacune dans la ligne des mesures du même côté du centre du cercle primitif. 6* Dans la projection stéréographique, les angles que font les cercles sur la surface de la sphère sont égaux aux angles que les lignes de leurs projecti<ms respectives font entre elles sur le plan de pro-

Ijection (»).

» En partant de ces principes | cm a trouvé (0 iy^tmbçrt,lQc.dU

UVRB VINGT-HUmÈlfS.

tes procéda qui servent pour tracer des mappemondes suivant l'une ou l'autre de ces protections (<)«

» On distingue trois sortes de projections ttéréographiques, qui soutd'un usage commun : 1* celle sur le plan de Téquateur, qu'on nomme po/atr#^ parce que l'oeil est supposé à l'un des pôles ; ^ celle sur le plan d'un méridien , ordinairement celui de Tlle de Fer , qui coupe le globe en deux hémispkèr$i , l'un contenant l'Amérique, et Tautre FËurope, TAsie et l'Afrique ; 3*> celle sur le plan de l'horizon d'un lieu quelconque.

« Expliquons d'abord le tracé de la projection polaire. En supposant l'œil à l'un des pôles I le tableau sera le plan màne de l'équateur; les méridiens seront projetés par des droites , et les cercles parallèles à l'équateur le seront par des cercles concentriques.

» Voici comment on trace les méridiens. Soit, fig. 20, AP le rayon représentant celui de la sphère terrestre , et AfiCD un des grands cercles de cette sphère. Le centre P étant pris pour la prqjection de Taxe optique ou du point de vue placé au pôle , la circonférence ABCO sera la prqjection de l'équateur. Or, comme les

Sans des méridiens se coupait tous suivant ixe de la terre , qui est perpendiculaire à ABGD, la projection du premier méridien pourra être représentée par un diamètre quelconque; par exemple , soit AB. Maintenant si on divise la demi-circonférence AGB en vingt parties égales , et si par tous les points de division Ton mène des diamètres tels que [1] [30], [2] [40], et ainsi de suite, ils seront les projections des méridiens correspondants aux longitudes A [1], A [2] ; la différence de longitude de deux méridiens tracés de cette manière sera de 10 degrés , nouvelle mesure , ou 9 anciens, puisque l'arc AC, qui est le quadrat, et égal à 100 degrés nouveaux ou 90 anciens, se trouve divisé en dix parties égales.

» Pour obtenir la projection des parallèles à l'équateur , espacés de 10 en 10 degrés, on élèvera le diamètre CD perpendiculaire à AB, et l'on tirera les droites D [1] , D [2] , D [3] et les suivantes, qui couperont le diamètre AB aux points if , d", «?'", et ainsi de suite. Puis en faisant tourner autour du point P comme le centre commun les rayons P(f , Pc^', on décrira des cercles qui seront les projections (•) Pmuantt Topegrapàie, 117 tqq.

cherchées. Dans cette méthode, D est pris pour point de vue, et les points «f , <<", cT", sont les projections stéréographiques des points correspondants [1] [2] [3], appartoiant aux parallèles des 10*, 20*, 30*" degrés ; car si nous concevons que le cercle ABCD tourne autour du diamètre AB Jusqu'à ce qu'il fosse un angle droit avec le plan de la figure, le rayon PD sera perpendiculaire à ce plan , le point G soa le pôle opposé au point de vue D, et les arcs A [1], A [2], etc., seront les latitudes respectives des parallèles à l'équateur ; par omséquent les traces A, d\ d^\ etc. , des rayons visuels DA, D [1] , D [2], représenteront, sur le plan perspectif, les points A [1] et [2].

>• Passons à la projection stéréographique sur un méridien. Dans cette métiiode, le point de vue, toujours placé au centre de rhémisphère opposé à celui qu'on veut représenter, est sur la circonférence de l'équateur, et la j^ection de ce grand cercle est une ligne droite perpendiculaire à l'axe des pôles de la terre.

«» Les méridiens se projettent de la manière que nous allons indiquer, en nous servant de la /i^r« 21 . Soit AB la projection de l'équateur, PP' l'axe de la terre, et G le centre de la carte ou la projection du point de vue sur le tableau ou sur le plan du méridien APBF, méridien que nous considérons ici comme le premier. Tous les méridiens ayant PP' pour commune section , et leurs projections étant des cercles dont les circonférences passent nécessairement par P et P', il s'ensuit que leurs centres sont sur la droite AB. Divisons, comme précédemment, l'arc AP en dix parties égales, tirons le diamètre [1] [21], et par ses extrémités, menons les droites P' [1], F [21], qui couperont respectivement AB, que nous prolongerons, s'il est nécessaire, aux points m' et n' ; ces points seront les prcyections ou les perspectives des extrémités du diamètre du méridien de la carte, passant par le point dont la longitude, à l'é^^ du premier méridien AP', est de 10 degrés, nouvelle mesure. Si donc du milieu de w!n\ comme centre, avec un rayon =- !ÎL[5i, on décrit l'arc Pm'P', on aura la projection du méridien cherché. En répétant la même construction pour les points de division [2] [3] et les suivants, ou obtiendra les projections des auti*es méridiens ; et par une conséquence naturelle de la symétrie de la figure, ce qu'on aura construit dans ledeml-cerclePAP',

GÉQQAAm» MATHÉHATÎQUE.

sentira pour Tautre demi-cercle PBP'. Quant au méridien dont le plan est perpendiculaire au tableau APfi, Il y sera représenté par une droite qui coïncide avec Taxe PP'.

» La longueur des rayons, pour décrire les méridiens, pouvant devenir trop grande pour tracer ces cercles au moyen du compas, on se sert d*un instrument fort simple, composé de deux règles mobiles AG et CB, /î^. 22, unies en G par une charnière qui leur permet de for* mer un angle quelconque. On place un crayon au centre du mouvement de ces deux règles, on fait coïncider le point G avec le point m' ; on fixe aux points PP' deux petites poiutes de métal contre lesquelles on applique les bords des règles, le point G restant toi\^ours sur m' ; puis, sans faire varier Tangle AGE, on fait mouvoir Finstrument de manière que les règles s'appuient sans cesse contre les points PP'. Alors le crayon G décrit Tare de cercle Pwi'P'. La raison de ce procédé est donnée par la géométrie élémentaire.

» Indiquons maintenant la projection des parallèles. Ges courbes circulaires doivent passer par les points de division correspondants 11] [19], [2] [18], [3] [17], etc., et leurs centi*es sont nécessairement situés sur le prolongement de Taxe PP'. On déterminera, par exemple , le centre de la projection du parallèle [9] [U] de la manière suivante. On mènera les droites B [9], B [11]; la première coupera PP' au point r', la seconde au point r, et la dislance rr' sera le diamètre du parallèle, qui est d'ailleurs déterminé par les trois points connus [9], r, [11]; on n'a qu'à décrire un arc dont le centre sera au milieu de rW, et le rayon égal à Varc (9) P ; ce sera sur la carte le parallèle de 90 degrés, nouvelle mesure.

» Là projection stéréograpkique horizontale va nous occuper; c'est la plus intéressante application de cette méthode. Uhorizon rationnel d'un Heu quelconque va nous servir de plan de projection; le point de vue est le p^le abaisséde cet horizon ; leméridien qui passe par ce lieu est représenté par une ligne droite, et se nomme ordinairement mtff^ten principal. Soit maintenant ABDE, fig. 23, l'horizon d'un lieu ; son centre G sera la projection du point de vue on du pôle de l'horizon. Soit encore AB le diamètre qui représente le méridien principal. Si Tangle PGA est égal à la hauteur du pôle, et que DE soit perpendiculaire à AB, la

droite PE coupera AB en un pirint p, qui sera la projection du* pôle élevé du globe* Si de même la ligne EP' est prolongée jusqu'à ce qu'elle coupe la prolongation de AB en ji', ce point sera la projection du pôle abaissé du globe. Les prqjections des méridiens qui passeronttoutes par les points |>p', auront en môme temps leur centre sur la droite SS', perpendiculaire sur F ou sur le milieu pp'. On appdle SS' la ligne des centres des méridiens. Il est à remarquer que la ligne GF est égale à celle AT, qui est la tangente de la hauteur du pôle. Pour achever de déterminer les projections des méridiens, il suffit d'en trouver un troisième point. Voici une méthode pour trouver cet élément Cj.

M Le méridien dont le plan est perpendiculaire au méridien principal AB, coupe l'horizon suivant la droite DE perpendiculaire à AB ; donc, si du point F comme centre et avec un rayon TG on décrit l'arc DpE, cet arc sera la projection du méridien passant par la longitude de 100 degrés, nouvelle mesure, ou 90 degrés anciens, à compter depuis le méridien principal AB* La projection de Féquateur ne présente pas plus de diffieultés, car si on élève le diamètre QQ' perpendiculairement à PP', ce diamètre sera celui de l'équateur, et sa projection sur la carte sera qq'. Par conséquent, si du milieu de la ligne 99', comme centre et avec un rayon — J|21 ou égal à la cosécante de la latitude du centre de la carte, on décrit l'arc BjE, ce sera la projection de la moitié de l'é* quateur. Maintenant nous devons nousrappe^ 1er le principe d'après lequel les projections stéréographiques de deux grands cercles de la sphère font entre elles les mêmes angles que les plans véritables de ces cercles. De là dérive la construction géométrique que voici : Du point p comme centre et d'un rayon arbitraire, d'un rayon ég^, par exemple, à j^F, on décrira une circonférence que l'on divisera en quarante parties égales, à partir de AB, si r<m ne veut tracer comme précédemment que quarante méridiens, et par tous les points de division Ton mènera des rayons dont les prolongements rencontreront la ligue SS' ou la ligne des centres en différents points â?', a;", etc. Ges points seront les centres des profectlons des méridiens. L'emploi pratique de ce procédé étant souvent trop embarrassant à cause de la graiH

(*) FuUioiu, TtaUé dt lofKtgMphle» p. i9t«