LIVRE VINGT-HUITIÈME
conférence ABCD est Téquateur sur le plan duquel on projette la carte. On divise cette circonférence en parties égales de 10 degrés en 10, ou de 5 en 5 ; les diamètres qui passent par les points a!a^^^ 6'ft", etc. , et par le centre E, seront les méridiens. Abalssezdes points alh\ etc., des perpendiculaires sur le diamètre CD, elles détermineront les rayons El , £2, etc., avec lesquels vous décrirez les cercles parallèles à réquateur.
» Dans la projection sur un méridien , on procède de la manière suivante. Tirez les lignes AB et CD (/i^.. 23) , se coupant à angles droits ; l'un sera le méridien du milieu , l'autre Téquateur. Leur intersection E est le centre du plan de projection, circonscrit par le méridien ABCD. Il faut diviser cette circonférence en parties égales , puis unir les points de division , les diamètres a^a^* , 6'6'' , etc. , qui seront les communes sections des méridiens avec le plan de réquateur. Les angles a'ED, etc., désigneront l'inclinaison de ces méridiens sur le plan de projection. Abaissez maintenant des points a!h\ etc., sur le rayon ED, les perpendiculaires a'1 , 6'2, etc., qui seront les sinus des angles d'inclinaison de ces méridiens mesurés sur réquateur; les parties El , E2, etc., seront les sinus verses de ces inclinaisons , et par conséquent les petits axes des ellipses qui doivent i*eprésenter les méridiens. La ligne AB , projection de Taxe du globe, est le grand axe de ces ellipses. Les parallèles à réquateur se tracent très simplement; on n'a qu'à joindre par une ligne droite les points de division du cercle ABCD, équidistants du diamètre CD, et se trouvant du même c6té. Ce diamètre ^nt la projection de réquateur, les cordes a! [\]V (2) et autres qui lui sont parallèles , seront les projections des cercles parallèles.
» L'inspection de la Hgure montre les inconvénients géographiques de cette projection, savoir, Textrôme rétrécissement des parties latérales et l'obliquité toujours croissante de l'angle sous lequel les parallèles coupent les méridiens. Cependant il est en même temps évident qu'un semblable planisphère offre au sens une image plus frappante d'un corps sphérique que ne le fait un planisphère stéréographique ; ainsi les commençants , qui ne peuvent pas toujours étudier sur un globe, parviendraient peut-être, en se servant de temps à autre d'une mappemonde projetée orthographi-
quement , à s'inculquer plus profondément l'idée de la sphéricité de la terre ('). Cet avantage se fait encore plus sentir dans la projection orthographique horizontale dont nous allons parler.
» Les méridiens, dans cette projection, sont des ellipses dont les grands axes oolnddent avec les traces mêmes des plans de ces méridiens. On détermine ces traces par les mêmes méthodes que celles que nous avons Indiquées pour la projection horizontale stéréographlque. Il ne reste donc qu'à montrer comment on dK tient les petits axes. Soit [fig. 2^ l'angle DCP égal à la hauteur du pôle; soient en outre m'y la trace d'un méridien et DE la projeetkm du méridien principal. Pour avoir la projection orthographique du pôle P élevé, on abaissera sur CD la perpendiculaire I>^, et on aura le point P. Maintenant, pour avoir l'angle que te clan du méridien y!*pfn^^ fait ave<5 celui du tableau ou avec le plan horizontal , on abaissera du point}) la droite B perpendiculaire sur pt"m", on fera pR' égal à pR , et l'on mènera la droite R'P qui formera avec DE l'angle cherché. Les rapports trigouométriques de cet angle et de son cosinus donnent ensuite cette construction géométrique : menez Cn parallèle à R'P, et du point n la droite ni parallèle à Pp ; décrivez du point C , avec un rayon égal à Cf, on arc m', terminé à la rencontre de Cn' mené perpendiculairement à la trace ou au grand axe pf*m"; alors la ligne Cn sera la projection orâK)graphique du rayon Cn, ou le petit axe demandé. On n'a donc qu'à déaire l'ellipse dont les deux axes sont donnés.
» La projection des parallèles , abstraction faite des calculs qui lui servent de fondement, peut s'effectuer de la manière suivante. Supposons qu'on veuille projeter le paraltèle dont la distance au pôle élevé est mesurée par l'arc P& ou Pa. Des points a et h, on abaissera sur le méridien principal DE les perpendiculaires aa!, hV, et la ligne a'6' sera le petit axe de projection du parallèle à décrire. Pour trouver le grand axe , on divisera en parties égales et en nombre pair la corde ah; on cherchera sur DE les projections de tous les points de division, comme on l'a fait pour les points a et h; ensuite, après avoir mené par ces mêmes points des ordonnée* {^) dans le demi-cercle axb, on
(') Mollweidet dans Zack^ Gorrespondioce , XII, 191. ~ (') Une ordonnée est une ligne droite, tirée
GEOGRAPHIE MATHEMATlOUE.
portera sur les ordoiinées correspondantes de l'ellipse à tracer, les longueurs des pre* mières; on aura par ce moyen les principaux points de cette ellipse, et Tordonnée du milieu y a sera le demi^grand axe y V qu'on de* mandait.
• Outre la projection orthographique et la stéréographique, il y a une troisième projection en perspectiYC qu'on nomme centrale. On l'obtient en plaçant le point de vue au centre de la sphère, et en prenant pour tableau un plan tangent à sa surface. Il serait inutile de démontrer comment il faut modifier dans ce cas les procédés que nous avons donnés cidessus pour construire les projections équatoriale, polaire et horizontale ; il faut tirer du point G des figures 20-28, citées précédemment, les rayons visuels qui déterminent la section faite par le plan du tableau dans les cônes, perpendiculairement aux cercles à représenter; il faut prendre le tableau parallèle à celui qui passe par le centre, et tangent au cercle ABBC. On verra alors que, dans la projection sur le plan du premier méridien , les méridiens seront des lignes droites, perpendiculaires à l'équateur, qui sera lui-même une ligne droite; les parallèles à l'équateur seront des hyperboles; dans la projection polaire, les méridiens seront des lignes droites tirées du centre cle la carte, les parallèles à l'équateur des cercles ayant leur centre à ce point; dans la projection horizontale, enfin, les méridiens seront des lignes droites , menées par la projection du pAle supérieur. Le parallèle du lieu auquel se rapporte la projection sera représenté par une parabole, ceux qui sont plus près du pôle par des ellipses, et les autres, de chaque côté de l'équateur, par des hyperboles. On sent que cette projection altère encore plus que la stéréographique l'étendue des régions à mesure qu'elles s'éloignent du centre de la carte ; elle ne peut même représenter un hémisphère entier, parce que les rayons visuels menés par la circonférence qui termine cet hémisphère , sont indéfinis, étant parallèles au plan du tableau ; elle peut néanmoins être utilement employée pour retracer des parties du globe dont l'étendue ne serait pas très considérable; elle offre l'avantage que tous les Uejx situés sur le même grand cercle se trou-
d'une courbe , perpendiculairement au diamètre de eelle^i.
vent, sur la carte, placés sur une ligne droite (<); elle est susceptible d'une espèce d'échelle dont la construction n'est pas difllcile à trouver. C'était sans doute par cette raison que M. de Prony s'était proposé de s'en servir dans les cartes du cadastre. Cette projection, près-* que inconnue en géographie, s'emploie pour les cadrans solaires.
- *> Telles sont les trois principales projee^ tions du globe que les règles de la perspective admettent. On voit qu'aucun des planisphères, tracés d'après ces projections, ne réunit toutes les qualités d'une représentation parfaite du globe; elles altèrent nécessairement la figure des pays, soit au milieu, soit vers les bords de chaque hémisphère; elles ne représentent point les espaces réellement égaux sous des dimensions égales ; la même chose a lieu pour la plupart des distances. Il n'est pas non plus possible d'obtem'r dans la projection stéréographique ni dans l'orthographique que les lieux situés en ligne droite sur le globe, c'està-dire sur un même grand cercle , soient égar lement représentés dans la mappemonde sur une ligue droite. Enfin l'inégalité nécessaire dans la projection des espaces ne permet pas de trouver avec facilité la longitude et la latitude exactes d*un lieu. En vain, pour remédier à ces inconvénients , a-t-on proposé divers moyens propres à modifier la projection stéréo* graphique. Le savant astronome de La Hire [^ voulut qu'on supposât l'œil du spectateur hors du globe, et distant de sa surface convexe de la valeur du sinus de 45 degrés, c'est-à-dire que le méridien BD, fig. 30, étant de 200 parties, ilfaut le prolonger hors du cercle ABED de 70 parties, et ensuite tirer du pointFlesdroitesFa,F6,etc., dont les intersections avec le diamètre AE détermineront les petits axesCo?, Cy, etc., des ellipses qui représenteront les méridiens. Le géomètre Parent observa que dans cette projection le rayon du méridien, distant de 45 de^ grés du méridien principal , coupe à la vérité le demi-diamètre en deux portions égales, mais qu'on pouvait encore se demander à quelle distance il faut placer l'œil pour que toutes les inégalités entre les divisions du demi-diamètre soient les moindres possibles ; il trouva
(') Lagrange , Mém. sur les cartes géographiques, dans les Mém. de BirUn, 1179, p. 1Ô2. — (•) Histoire de TAcadémie des Sciences pour l'an 1701 , p. 97.
