LIVRE VIiNGT-HlIlTlÈME

deur croissante du rayon, on peut déterminer, par le moyen que nous allons indiquer, les points où les méridiens rencontrent les plans de projection.

» D'un point quelconque pris sur la ligne AB ou son prolongement , du point F , par exemple, on abaisse perpendiculairement ¥k sur la ligne PP' , faisant, comme on sait déjà, un angle égal à la hauteur du pôle, et l'on porte la longueur ¥k de F en k'; puis de ce dernier point comme centre et avec un rayon = Fk' ou avec tout autre rayon pris à volonté , mais un peu grand , on décrit une circonférence que l'on divise de même en quarante parties égales. Ensuite on mène des sécantes k'n'^ kn", k'n"\ par tous ces points de division; les extrémités n', n'', n'" de ces sécantes terminées à la droite SS' se trouvent sur les traces mêmes des plans des méridiens ; tirant donc des lignes droites qui passent par le centre de la carte, telles que n'C/jt', n"C|u", n"'Cix"', les diamètres '/iy,etc., seront les traces cherchées des méridiens ; et comme d'ailleurs ils doivent tous passer par le pôle p, on aura trois points de chaque méridien, par exemple, p'", m'"; on décrira donc facilement les méridiens d'après un des procédés qu'on a indiqués précédemment.

» Dans la pratique, comme on n'a pas ordinairement assez d'espace autour de la carte pour effectuer cette construction fondée sur les principes de la géométrie descriptive, on peut porter Yk de F en k" ; ce point sera alors ce qu'on nomme le centre diviseur; du reste, les procédés sont les mêmes.

» Examinons maintenant comment on décrit les parallèles à l'équateur. Leurs plans étant perpendiculaires au méridien principal AB, nous obtiendrons les diamètres de leurs projections comme nous avons obtenu ceux de l'équateur , c'est-à-dire qu'après avoir divisé la circonférence ABDE en quarante parties égales, à partir du point P, on mènera, de deux en deux, les droites [1] E , [!'] E , et l'intervalle vv' intercepté entre ces droites et pris sur le méridien AB, sera le diamètre d'un parallèle. Dans le présent, le parallèle vv' appartient évidemment au 80* degré de latitude , puisque l'arc AP mesure la hauteur du pôle. Mais pour les parallèles qui sont très éloignés du pôle supérieur p, la construction que nous venons d'indiquer ne peut plus être mise en pratique, parce que le point v se trouverait alors trop

loin du centre de la carte. Pour obvier à cet inconvénient, on pourra tracer les intersections des plans des parallèles avec le plan de projection ADBE, intersections qui sont nécessairement parallèles au diamètre DE , et distantes

i I • 11 sin. lat. du parallèle -r

de lui d une somme œ= *^ , „ . Lors-

cosin .hauteur du pôle

que la latitude est australe le pôle^ étant le pôle boréal, la valeur de x devient négative ; ainsi, au lieu de la porter du côté de AC, on la porte du côté de CB. Il suit de là que si à une distance œ de la droite DE [fig. 24], on lui mène la ligne parallèle d e, les points d et e, communs à cette parallèle et à la circonférence ADBE, appartiendront au parallèle cherché; mais ce parallèle passe en même temps par un point tel que v, déterminé par la méthode précédente; donc on a les trois points nécessaires pour tracer une circonférence.

» Il y a d'autres méthodes d'exposer les trois projections stéréographiques (*) , mais nous aimons mieux indiquer en peu de mots les avantages et les défauts de cette sorte de projection. Il suffit de jeter les yeux sur une carte de ce genre pour reconnaître que les quadrilatères compris entre deux méridiens et deux parallèles consécutifs augmentent d'étendue en allant du centre à la circonférence. Cet agrandissement résulte de l'obliquité que prennent les rayons visuels en s'écartant de celui qui est perpendiculaire au tableau, et qu'on nomme Y axe optique. Il suit de là que les régions placées vers les bords de l'hémisphère ont une étendue bien plus considérable que si elles se trouvaient au centre, et que l'on est induit en erreur lorsqu'on veut les comparer à celles qui occupent cette partie. Par exemple, la pointe de l'Afrique australe paraît beaucoup plus large que sur un globe, et dans la Nouvelle-Zemble les distances sud et nord sont rendues par des espaces bien plus grands que les mêmes distances le sont dans l'Inde. Cet inconvénient, qui est nul pour les géographes exercés, peut conduire les élèves à de fausses idées ; mais il diminuerait si , dans l'instruction , on eût eu soin de bien expliquer les qualités des projections stéréographiques , et de mettre sous les yeux des commençants les trois sortes de planisphères, polaire, équatorial et horizontal ; les défauts de l'un disparaissant toujours dans l'autre.

» La projection stéréographique n'admet pas,

(') Robert de Faitgondy, Inslit. géog. 1. c.

GÉOGRAPHIE iM -VrJUÉMATIQUE.

en général , l'emploi d'une échelle rectiligne pour comparer les distances respectives des lieux , distances qui se mesurent suivant l'arc de grand cercle qui joint ces lieux deux a deux ; mais on peut toujours, par le moyen de la graduation même, mesurer la distance entre le centre de la carte et un point quelconque, et on peut par conséquent connaître, sur la projection horizontale relative à Paris , par exemple, la distance de cette ville à tous les autres points du globe. Cette propriété résulte de ce que tous les grands cercles qui passent par le centre de la carte, se coupant suivant l'axe optique, ont pour perspective des lignes droites menées par ce centre , et admettent une graduation semblable à celle qu'on marque sur l'équateur des mappemondes construites sur le plan du méridien.

» Si l'on veut mesurer la distance de deux points d'une carte stéréographique , on peut {fig. 25) faire usage de la construction suivante Soit Z le zénith d'un lieu , G le centre de l'horizon ou la projection de Z, etZMB, ZMB' les verticaux respectifs des deux points MM' donnés sur le globe par leurs longitudes et latitudes. Ces points auront évidemment pour perspectives ou traces mm', en supposant l'œil en E. Or, si on prolonge les droites MM', mm', elles se rencontreront en un point quelconque Vx , et la droite COR marquera sur le plan de projection CBB' la trace du plan MCM' du grand cercle à projeter. Donc les quatre points m m', 0, 0' se trouvent sur la projection du grand cercle qui passe par MM' ; ainsi cette projection, qui est elle-même un cercle, sera entièrement déterminée. Cela posé, nous tracerons sur la carte la plus courte distance de la manière suivante. Nous porterons (fig. 26) de C en m et Cfi de C en m; nous tracerons les droites E^n, Ey.'n' , ensuite par mm' nous construirons le triangle m'E'm de manière que mE' soit égal à |mE, et que m'E' le soit à p'E; puis sur les prolongements de E'm' et de Ep nous porterons de m en n" et de m' en n'" ; enfin , nous chercherons la commune section 11 des deux droites m' m et n'" n' , et nous mènerons la droite ROC qui sera la trace cherchée. Nous pouvons maintenant tracer l'arc de cercle O'm'vmO, dont la portion m'vm est la plus courte distance. On évaluera le nombre des degrés contenus dans la plus courte distance en (■) Puissant, Traité de topographie, p. 127.

considérant la droite n'" n , qui est égale , MM' [fig. 25 et 26), comme corde de la circonférence ADB.

» La projection stéréographique n'a pohit été connue des anciens. La première mappemonde de ce genre se trouve dans un ouvrage du commencement du seizième siècle , de ce même Werner de Nuremberg, qui a donné la première indication de la m.éthode des distances lunaires (^). Il en devait l'idée à son maître, l'astronome Stdhius Cent cinquante ans plus tard, l'usage de cette projection paraît avoir été général. Vareniiis en marque les trois modifications. Hasius, géographe allemand, de la première moitié du dix-huitième siècle, appliqua les projections stéréographiques à des cartes spéciales. Cette méthode laborieuse, mais favorable à l'exactitude des détails de position , est peu suivie en France , où l'on réserve la projection stéréographique pour les mappemondes.

» Passons à l'explication des projections orthographiques, qu'on pourrait aussi appeler planétaires , puisque leur essence est de montrer l'image directe d'une moitié d'un globe, l'œil étant supposé à une distance infinie , c'està-dire assez grande pour que tous les rayons visuels soient censés parallèles. Comme ces rayons sont perpendiculaires au plan de projection, tandis que les parties latérales de la sphère se présentent de plus en plus obliquement à ce même plan, il est facile de sentir, même sans démonstration, que cette projection, offrant le défaut coritraire de la stéréographique , fait diminuer les espaces du centre à la circonférence. Cette diminution , infiniment plus forte que celle qu'on remarque dans la projection précédente , donne même aux extrémités d'un planisphère orthographiquement projeté, un aspect trop défiguré pour pouvoir, en général , remplir aucun des buts que se propose la géographie. C'est une raison suffisante pour n'indiquer ici que très brièvement ce qui regarde les constructions orthographiques.

» La figure 27 indique la projection polaire. Les lignes AB et CD sont deux méridiens qui se coupent à angles droits en E , qui est la projection du pôle et le centre de la carte. La cir-

(■) /. Werner , de quatuor orbis terrarum figurationibus , ad calcem : Piolemei Geograph., lib. I , vers, ah eodem. — Comp. Weidler , Histor. aslroa.; cît2>. xiv, u°' 3 et 4.