LIVRE VINGT-îîUÎTÎÈxME

conférence ABCD est l'équateur sur le plan ducfuel on projette la carte. On divise cette circonférence en parties égales de 10 degrés en 10, ou de 5 en 5 ; les diamètres qui passent par les points a'a", b'b" ^ etc. , et par le centre E, seront lesméridiens. Abaissezdes points a'b\ etc., des perpendiculaires sur le diamètre CD, elles détermineront les rayons El , E2, etc., avec ]esquels vous décrirez les cercles parallèles à l'équateur.

» Dans la projection sur un méridien , on procède de la manière suivante. Tirez les lignes AB et CJy{fig. 28) , se coupant à angles droits ; l'un sera le méridien du milieu , l'autre l'équateur. Leur intersection E est le centre du plan de projection, circonscrit par le méridien ABCD. Il faut diviser cette circonférence en parties égales , puis unir les points de division, les diamètres a'a" , b'b" , etc. , qui seront les communes sections des méridiens avec le plan de l'équateur. Les angles a'ED, etc., désigneront l'inclinaison de ces méridiens sur le plan de projection. Abaissez maintenant des points a'b\ etc., sur le rayon ED, les perpendiculaires a'I, 6'2, etc., qui seront les sinus des angles d'inclinaison de ces méridiens mesurés sur l'équateur; les parties El , E2, etc., seront les sinus verses de ces inclinaisons , et par conséquent les petits axes des ellipses qui doivent représenter les méridiens. La ligne AB , projection de l'axe du globe, est le grand axe de ces ellipses. Les parallèles à l'équateur se tracent très simplement; on n'a qu'à joindre par une ligne droite les points de division du cercle ABCD , équidistants du diamètre CD, et se trouvant du même côté. Ce diamètre étant la projection de l'équateur, les cordes a' (1) b' (2j et autres qui lui sont parallèles , seront les projections des cercles parallèles.

M L'inspection de la figure montre les inconvénients géographiques de cette projection , savoir, l'extrême rétrécissement des parties latérales et l'obliquité toujours croissante de l'angle sous lequel les parallèles coupent les méridiens. Cependant il est en même temps évident qu'un semblable planisphère offre au sens une image plus frappante d'un corps sphérique que ne le fait un planisphère stéréographique ; ainsi les commençants , qui ne peuvent pas toujours étudier sur un globe, parviendraient peut-être , en se servant de temps à autre d'une mappemonde projetée orthographi-

quement, à s'inculquer plus profondément l'idée de la sphéricité de la terre (»). Cet avantage se fait encore plus sentir dans la projection orthographique horizontale dont nous allons parler.

» Les méridiens, dans cette projection , sont des ellipses dont les grands axes coïncident avec les traces mêmes des plans de ces méridiens. On détermine ces traces par les mêmes méthodes que celles que nous avons indiquées pour la projection horizontale stéréographique. Il ne reste donc qu'à montrer comment on obtient les petits axes. Soit (fig, 29) l'angle DCP égal à la hauteur du pôle; soient en outre m'y la trace d'un méridien et DE la projection du méridien principal. Pour avoir la projection orthographique du pôle P élevé, on abaissera sur CD la perpendiculaire P/) , et on aura le point P. Maintenant, pour avoir l'angle que le pian du méridien ix"pm" fait avec celui du tableau ou avec le plan horizontal , on abaissera du pointp la droite R perpendiculaire sur p."m", on fera pK' égal à pH , et l'on mènera la droite B P qui formera avec DE l'angle cherché. Les rapports trigonométriques de cet angle et de son cosinus donnent ensuite cette construction géométrique : menez Cn parallèle à B'P, et du point n la droite nt parallèle à Pp; décrivez du point C, avec un rayon égal à Ct^ un arc tn', terminé à la rencontre de Cn' mené perpendiculairement à la trace ou au grand axe ^"m" ; alors la ligne Cn sera la projection orthographique du rayon Cn, ou le petit axe demandé. On n'a donc qu'à décrire l'ellipse dont les deux axes sont donnés.

» La projection des parallèles, abstraction faite des calculs qui lui servent de fondement, peut s'effectuer de la manière suivante. Supposons qu'on veuille projeter le parallèle dont la distance au pôle élevé est mesurée par l'arc Pb ou Va. Des points a et b, on abaissera sur le méridien principal DE les perpendiculaires aa', bb', et la ligne a'b' sera le petit axe de pro jection du parallèle à décrire. Pour trouver le grand axe , on divisera en parties égales et en nombre pair la corde ah; on cherchera sur DE les projections de tous les points de division, comme on l'a fait pour les points a et b; ensuite, après avoir mené par ces mêmes points des ordonnées p) dans le demi-cercle aœb, on

(') Mollweide, dans Zach , Correspondance, XII, (») Une ordonnée est une ligne droite, tirée

GEOGRAPHIE MATHEMATIQUE

portera sur les ordonnées correspondantes de l'ellipse à tracer , les longueurs des premières; on aura par ce moyen les principaux points de cette ellipse, et l'ordonnée du milieu yx sera le demi-grand axe y^x' qu'on demandait.

» Outre la projection orthographique et la stéréographique, il y a une troisième projection en perspective qu'on nomme centrale. On l'obtient en plaçant le point de vue au centre de la sphère , et en prenant pour tableau un plan tangent à sa surface. Il serait inutile de démontrer comment il faut modifier dans ce cas les procédés que nous avons donnés cidessus pour construire les projections équatoriale, polaire et horizontale ; il faut tirer du point G des figures 20-28, citées précédemment, les rayons visuels qui déterminent la section faite par le plan du tableau dans les cônes , perpendiculairement aux cercles à représenter ; il faut prendre le tableau parallèle à celui qui passe par le centre, et tangent au cercle ADBC. On verra alors que, dans la projection sur le plan du premier méridien , les méridiens seront des lignes droites, perpendiculaires à l'équateur, qui sera lui-même une ligne droite ; les parallèles à l'équateur seront des hyperboles ; dans la projection polaire, les méridiens seront des lignes droites tirées du centre de la carte, les parallèles à l'équateur des cercles ayant leur centre à ce point; dans la projection horizontale, enfm, les méridiens seront des lignes droites , menées par la projection du pôle supérieur. Le parallèle du lieu auquel se rapporte la projection sera représenté par une parabole, ceux qui sont plus près du pôle par des ellipses, et les autres, de chaque côté de l'équateur, par des hyperboles. On sent que cette projection altère encore plus que la stéréographique l'étendue des régions à mesure qu'elles s'éloignent du centre de la carte ; elle ne peut même représenter un hémisphère entier, parce que les rayons visuels menés par la circonférence qui termine cet hémisphère , sont indéfinis , étant parallèles au plan du tableau ; elle peut néanmoins être utilement employée pour retracer des parties du globe dont l'étendue ne serait pas très considérable; elle offre l'avantage que tous les lie^jx situés sur le même grand cercle se trou-

d'une courbe , perpendiculairement au diamètre de celle-ci.

vent, sur la carte, placés sur une ligne droite (»); elle est susceptible d'une espèce d'échelle dont la construction n'est pas difficile à trouver. C'était sans doute par cette raison que M. de Prony s'était proposé de s'en servir dans les cartes du cadastre. Cette projection, presque inconnue en géographie, s'emploie pour les cadrans solaires.

» Telles sont les trois principales projections du globe que les règles de la perspective admettent. On voit qu'aucun des planisphères, tracés d'après ces projections, ne réunit toutes les qualités d'une représentation parfaite du globe ; elles altèrent nécessairement la figure des pays, soit au milieu, soit vers les bords de chaque hémisphère; elles ne représentent point les espaces réellement égaux sous des dimensions égales ; la même chose a lieu pour la plupart des distances. Il n'est pas non plus possible d'obtenir dans la projection stéréographique ni dans l'orthographique que les lieux situés en ligne droite sur le globe, c'està-dire sur un même grand cercle , soient également représentés dans la mappemonde sur une ligne droite. Enfin l'inégalité nécessaire dans la projection des espaces ne permet pas de trouver avec facilité la longitude et la latitude exactes d'un lieu. En vain, pour remédier à ces inconvénients , a-t-on proposé divers moyens propres à modifier la projection stéréographique. Le savant astronome de La Hire [^) voulut qu'on supposât l'œil du spectateur hors du globe, et distant de sa surface convexe de la valeur du sinus de 45 degrés, c'est-à-dire que le méridien BD, fig. 30, étant de 200 parties, ilfaut le prolonger hors du cercle ABED de 70 parties, et ensuite tirer du point F les droites Fa, F6,etc. , dont les intersections avec le diamètre AE détermineront les petits axesC^, Cy, etc., des ellipses qui représenteront les méridiens. Le géomètre Parent observa que dans cette projection le rayon du méridien, distant de 45 degrés du méridien principal , coupe à la vérité le demi-diamètre en deux portions égales, mais qu'on pouvait encore se demander à quelle distance il faut placer l'œil pour que toutes les inégalités entre les divisions du demi-diamètre soient les moindres possibles ; il trouva

(') Lagrange , Mém. sur les cartes géographiques, dans les Mém. de Berlin, 1779, p. 162. — {^) Hisloire de l'Académie des Sciences pour l'an i70l , p. 97.

LJV1\E VINGT-INEUVIÈME.

que si BD est égal à 200 parties, il faut prendre le point de vue à une distance de 59 1 ; mais il faut le placera 110 i, si l'on veut que les zones de l'hémisphère occupent respectivement un espace proportionné à celui qu'elles offrent sur le globe.

>) Ainsi ces sortes de projections stéreographiques modifiées , outre qu'elles perdent l'avantage de présenter les méridiens et les parallèles se coupant à angle droit , ne peuvent conserver en même temps l'égalité des espaces et celle des configurations.

» C'est une vérité générale et démontrée , que

toutes les conditions d'une représentation parfaite de la surface terrestre ne pourraient être réunies qu'autant que la terre fût un cône ou cylindre , ou enfin un corps quelconque , a simple courbure Si donc nous pouvons trouver un corps de cette nature qui se rapproche beaucoup du sphéroïde , nous substituerons sa surface à celle de ce dernier , et nous obtiendrons des représentations qui , selon le choix que nous aurons fait de la surface développable , répondront à l'une ou à l'autre des conditions d'un tableau fidèle. C'est ce que nous allons expliquer dans le Livre suivant. »