FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DE LA PREMIÈRE PARTIE

DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

§ I. — Notions préliminaires.

1. La Géométrie analytique , qu’on nomme aussi Application de V Algjcbre à la Géométrie , a pour ohjcl de faire connaître l’usage de l’Algèbre dans les recherches géométriques.

Viète eut, le premier, l’idée de représenter les grandeurs géométriques par les symboles de l’algèbre, et de traduire en équations les propriétés de l’étendue. Par là on parvient souvent à résoudre d’une maniéré simple des problèmes qui présenteraient de grandes difficultés, si l’on voulait les traiter par les seuls moyens que fournit la géométrie. Descartes eut une idée plus profonde encore que celle de Viète : il appliqua l’algèbre à la théorie des courbes, qu’il représenta par des équations; il est regardé comme l’inventeur de la Géométrie analytique. Ses méthodes, remarquable^ par leur fécondité et leur simplicité, appliquées d’abord aux lignes planes, ont été étendues aux surfaces et aux courbes quelconques. I)e là vient la distinction de Géométrie analytique à deux ou à trois dimensions.

2. Nous commencerons par faire usage de la méthode de Viète', dans la résolution des problèmes déterminés.

On sait que les grandeurs géométriques peuvent être représentées par des nombres qui ne sont autre chose que les rapports de ces grandeurs à l’unité de leur espèce. Pour généraliser, on remplace ces nombres par des lettres, et l’on conçoit par là comment les questions de géométrie peuvent être soumises au calcul algébrique. Ordinairement les grandeurs données sont représentées par les premières lettres de l’alphabet, et les inconnues par les dernières.

Prenons d’abord quelques exemples faciles à traiter. Problème I. — Inscrire un carré dans un triangle.

Soit ABC (ftg. 1) le triangle donné. Supposons le problème résolu et désignons par FDEG le carré inscrit. En représentant PC para, la hauteur AH par A, et le côté du carré par ,r ; comme les bases de deux triangles semblables sont proportionnelles aux hauteurs, on a x \ a h — x h,

HK étant égal au côté du carré.

De la proportion on tire

hx — ah — a. r ,

d’où

ah

(a -4- h)x — an et x — r;

ce qui revient à

La distance x est donc quatrième proportionnelle aux trois lignes a + A, A et a. Pour construire cette quatrième proportionnelle, nous prendrons IIL=n ; à la suite LM=A ; nous joindrons A et M par la droite AM, et nous mènerons LK parallèle à AM. Nous obtiendrons alors

HM : AH :: HL : HK, ou a -h h : h :: a : HK.

La distance x ou HK étant déterminée, il suffit, pour achever la solution, de conduire DKE parallèle à (’.B, et d’a-

• DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

Laisser sur cette dernière droite les deux perpendiculaires EG et DF.

3. Problème II. — Diviser une droite AB (fig. 2) en moyenne et extrême raison.

Soit C le point où la ligne est divisée comme on le demande ; en désignant AB par a , et le plus grand segment AC par x , on aura

d’où

x’ = a2 — ax et x1 -t - ax — a’1 = o.

Résolvant cette équation , on a a 1 /a2

,=ï±Vî+"

La première valeur est positive et la seconde négative. Cette dernière ne convient pas à la question.

m Si nous voulons construire la première ligne, nous remarquerons que le radical y + a* est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit sont a ét Alors nous élèverons au point B une perpendiculaire BI)

égale à ^ ; et la droite AD représentera le. radical. En décrivant du point D comme centre, avec le rayon BD, une circonférence rencontrant en E la droite DA , on aura

AE = AD — ED = AD — DB = i /%■ -+- a2 — -■

La droite AE est, par conséquent, la première valeur de x qu’il faudra porter de A en C , sur la droite AB.

Nous interpréterons par la suite la valeur négative, et nous reviendrons sur la solution du premier problème.

4. Dans les deux exemples précédents, nous avons supposé le problème résolu; puis nous avons cherché à déterminer

les relations entre les données et l’inconnue. Ces relations ont été facilement exprimées par des équations. On ne peut pas toujours former avec la même facilité les équations qui doivent donner les valeurs des inconnues.

Quel que soit l’exemple proposé, on doit, sans distinction des données et des inconnues, chercher à reconnaître les relations qui lient entre clics ces quantités. Quand ces relations sont trouvées, on les exprime par des équations dont la résolution, lorsqu’elle est possible, conduit aux valeurs demandées. Mais, pour parvenir à ces équations, on a souvent besoin de méthodes et d’artifices particuliers (*).

Supposons qu’il s’agisse d’un triangle isocèle CBD (fig. 3) inscrit dans un cercle, et qto’on veuille comparer scs côtés BC, BD et sa base CD au diamètre du cercle AB. La question pourrait être de chercher le diamètre par le moyen des côtés et de la base, ou bien de chercher la base par le moyen des côtés et du diamètre; ou bien, enfin, de cher-* cher les côtés par le moyen de la base et du diamètre. Mais, quelle que soit celle de toutes ces questions que l’on veuille choisir, on la mettra en équation par les mêmes méthodes analyticjucs.

Si c’est le diamètre que l’on cherche, on fait AI? — x , CD " a , BC ou BD = b.

Alors , si l’on mène la corde AC, , on aura , à cause des triangles semblables ABC , CBE ,

ab : BC :: BC : be,

ou, en mettant les valeurs analytiques,

x b b RR = — ■

D’un autre côté,