MBSURACB DES CORPS A FACES COURBES. 4Q
distance sur le croquis ; mesurez enfin , à a™ au-dessas du fond , la distance ad de la règle au bord du batean , et inscrivez.
Après avoir transporté la règle en c, à i" à droite de a, et l’avoir placée comme tout-à-l’heure , vous ferez de nouveau toutes les opérations précédentes ; vous les recommencerez encore en f , point situé à i^.de e, et vous continuerez ainsi , jusqu’à une distance de l’extrémité F du fond qui soit de 1*° ou moindre.
Placez alors la règle en Ë et en F , toujours verticale et appuyée contre le cordeau ; puis à i “ et à a™ du fond , mesurez scs distances horizontales à la paroi courbe. Placez-la aussi en C et en D , points situés sur les bers, à 1°* au-dessous du cordeau, et mesurez ses distances au bord; mesurez enfin les distances horizontales EC, CA, FD, DB.
Si le corps creux donné n’était pas symétrique , il faudrait à chaque station , mesurer en outre les distances horizontales de la règle à la paroi placée au-delà de AB; mais dans le ças qui nous occupe, il est inutile de prendre ces distances, puisqu’elles sont les mêmes que leurs correspondantes mesurées en-deçà de AB.
Vous connaîtrez donc les longueurs des arêtes parallèles de prismes droits tronqués, dont les troncatures, qu’on peut regarder comme planes, font partie de la paroi courbe du bateau , et dont les bases carrées, rectangulaires ou triangulaires, situées sur le plan vertical AB, sont présentées par la projection verticale A'B'F'E'. La somme des volumes de tous ces prismes sera évidemment la demi-capacité du bateau , et en la doublant vous aurez la capacité entière.
1° Le ps'isme dont les projections sont ACG , A’C'Gf, n’a qu’une seule arête CG qui soit perpendiculaire à sa base; il est tronqué de manière à former une pyramide. Considéré sous l’une ou l’autre forme , il a poul^ volume
a” Le prisme rectangle dont les projections sont CGgE, C'G'g’A', a trois arêtes parallèles: CG, Eg', ÉA; la quatrième qui aboutit en C est nulle; car la b.ase se projette horizontalement sur CE, et la troncature sur CGgA. Le volume est donc
C'GVA' X
CG-|-Eg-t-EA-]-o
CEX
CG-i-Egj^.
3° Le prisme triangulaire dont les projections sont CE/i, C'E'A', est dans le même cas que le premier.
4° Le prisme carré dont les projections sont Eat^g, c'd’g'h' , a quatre arêtes parallèles: Eg, EA, ud, ac\ car sa base se projette horizontalement sur Eu, et sa troncature sur edgh. Son volume est donc
4gj vesi'RACK des corps a faces cocrbes.
5” Le prisme carre dont les projections sont EAca,,E'A'cV, est dans le même cas que le deuxième.
Les prismes carrés 6 , 7, 8 , 9, 10 , sont analogues au quatrième ; le prisme carré 11 et le prisme rectangle i •* sont analogues au deuxième; enfin les prismes triangulaires i5 et i4 sont analogues au premier.
Pnom, (u): Mesurer le volume eTun çorps plein quelconque.
Supposons qu'il s’agisse d’une masse de terre qu’on ne puisse rapporter à aucune des formes précédemment étudiées (P. XIV, F. 39). Vous devrez, comme dans le problème précédent, diviser le corps en tranches horizontales d’égales épaisseurs , puis en tranches verticales , afin de le décomposer en prismes droits tronqués ou complets , triangulaires , rectangles ou carrés.
Marquez les poiuts A , B , les plus éloignés parmi ceux de la courbe que fonne la masse sur le terrain ; tracez deux droites CD, EF, à-peu-près tangentes à cette courbe en A, B, mais exactement perpendiculaires sur l’alignement AB ; puis menez deux autres tangentes CE , DF d’équerre sur CD. La base se trouvera entourée d’un rectangle CDFEi
Partagez la hauteur de -la masse en parties égales ou inégales, assez petites pour que les parties correspondantes A'G", G"ll", etc. de la courbe du profil A’G^F^B^ puisseut être regardées comme des droites. Si cette hauteur est, par exemple, de vous
pourrez la diviser en deux parties de a'^,5 chacune et une partie de
Portez ensuite O™, 5 sur le bout d’une règle"; 'pl.1Cez-la sur CE verticalement; faites maintenir une seconde règle «ppuyée contre la première , à l’extrémité supérieure des o™,.? , <fb manière qu’elle soit à la fois-d’équerre sur le plan vertical CE et à-peu-près tangente à la surface courbe du corps ; puis plantez un petit piquet au pied L de la première règle. Déterminez de même le point R qui répond verticalement à une autre tangente élevée de ©"“jS au-tlessus du terrain, et les points N, P qui répondent à des tangentes élevées de i"*; portez les distances CL, LN, NP, PU, sur DF, pour obtenir les points M, O, Q, S; enfin divisez les distances NP, OQ, et même , s’il est nécessaire, les distances CL, LIN , etc., en parties assez petites pour qu’on puisse regarder comme des droites , les arcs correspondans de la courbe qui forme la base.
Après CCS opérations préliminaires, vous mesurerez, à l’aide de deux règles employées comme dans le problème précédent , et pcrpciidiculaircineut au plan vertical CE, les distances La, bc, de, Vf, Rg de ce plan à la courbe de la base, et vons les retrancherez de AC, pour avoir Go, Te, Uc, y, Kg i|ue vous coterez sur un croquis, dessiné à vue, comme l’indique la figure. Les deux courbr-s intérieures de ce croquis, représentent les contours des sections i'aiU s dans la masse donuée , par les plans horiioutaux G"K", Il'i" élevés de o”’,5 et de i"l.
HSSVKACE DES POIDS.
Vous roosurerez aussi à o"’,5 du terrain, les distances du plan vertical CE, à la courbe GhilclK. , et vous les retrancherez de AC, pour connaître II/i, Ti, IJk, II. Enfin, vous mesurerez à i" audessus du terrain, les horizontales bm, dn , pour en déduire Tm, Ü/i.
Alors vous fierez les mêmes opérations par rapport au plan vertical DF, et vous aurez, cotées sur le croquis, les longueurs de toutes les arêtes parallèles des prismes tronqués, ainsi que les dimensions de leurs bases ; vous pourrez donc calculer les volumes de ces prismes, et obtenir, par leur total, le volume approximalii' de la masse de terre.
Le prisme tri.angti1aire i a AG'G'' pour base, et une seule arête Gn perpendiculaire à cette base. Le prisme rectangle a a G'G^'A'U' pour base, et trois arêtes parallèles Gn, 1L\, H/i. Le prisme 3 a <|uatre arêtes parallèles UN, HA, Te, Ti. Le prisme 8 n'a qu’une seule arête H/i perpendiculaire à sa base. Le prisme q a trois arêtes parallèles H/i , Ti, T«i. Le prisme to en a qimtre : T<, T/w, UA, Urt. Le prisme i3 a Tm pour seule arête perpendiculaire à sa b.ise. Le prisme i4» quoique rectangle, n’a que deux arêtes parallèles Tm , ü/i ; son volume égale le produit du rectangle i4 multiplié
par i . Les autres sont analogues à ceux-l<à , et tous doivent
être mesurés comme dans le probl. t.
MESVBAGE DES POIDS.
484. Il existe des corps d’un tel poids qu’on ne saurait les peser ni avec des balances, ni avec une romaine. Le mesurage des poids est, en pareil cas, du ressort de la Géométrie. On cube le corps et l’on multiplie par le volume, le poids de l’unité de ce volume; le produit exprime évidemment le poids entier.
Ce mode d'évaluation des poids nécessite, comme vous voyez, la connaissance de ce que pèse runilé de volume du corps donné. On prend pour cette unité, le décimètre cube, et en voici la raison. Comme i décimètre cube d’eau pure pèse exactement i kilogramme, il suffit, pour avoir en kHogrammes le poids du décimètre cube d’un corps , de trouver combien ce pokls contient de fois celui du déciinèlre cube d'eau pore. Or , ce nombre de fois est visiblement égal à celui que donneraient les poids de deux volumes qu|IConques, mais égaux, des mêmes substances. Donc, pour connaître en kilogrammes, le poids du décimètre cube d’un corps donné, il ne s'agit que de chercher combien le poids d’im volume quelconque de ce corps, contient do (bis le poids du même voiiinic d’eau pure, et la Physique enseigne les moyens de faire facilement une telle recherche.
Le poids d'un décimètre cube est ce qu’on nomme le poids spM- ,fique du corps , c’est-à-dire le poids qui le spécifie , qui le caractérise , qui le distingue des antres. Une masse de plomb peut peser
494 MESUaiGB DES poids.
5o kilogrammes comme une masse de ■bois ou de houille ou de fer; mais le plomb est le seul corps dont le décimètre cube nèsa ii‘»,3523. ^
Les poids spécifiques des corps les plus importans , ont été déterminés avec uue grande précision. Voici ceux qu’il vous est utile de connaitre: quelques-uns ne sont qu’approximatifs; mais leur degré d’approximation est suffisant pour la pratique.
Lit.
Acier.... 7)^7
Air 0,001
Argent 10,7
Bois d’aulne... e,8
Beurre 0,943
Brique, a, 168
Cerisier 0,715
Chêne (cœur).. 1,17 Cire jaune... . 0,965 Cuivre rouge.. 8,788
Dianutnt 3,53 1
Eau-de-vie ... 0,86 Esprit de vin. 0,887
Etain 7)39i4
Fer en barre.. 7,788 Fonte de fer.. 7,307 Frêne o,845
kii.
Pommier 0,798
Prunier 0,785
Sable pur 1,9
Sable terreux. 1,7
Sapin 0,55 ,
Saule 0,685
Sel marin * 1,93
Suif. 0,9^3
I Terre argileuse i ,6 Terre glaise.... 1,9 Terre vêge'lale. 1,4
Tilleul o,6o4 ,
Tuile 3
Vapeur d'eau.. 0,0008
Verre 3,488a -
Vin (bon) 0,99
Zinc 7 1*91
Glace d’eau....
Hêtre...
Houille
Huile de lin.. Huile de nav*'
Lard
Mercure
Meules (moul).
Noyer
Or coulé
Orme
Peuplier blanc Peuplier ordin.
Pierre à bâtir..
Pierre à plâtre.
Plomb coule'..
Poirier
lit.
0,671 i9,35Si 0,671 0,539 0,383 a,at68 I i,35a3 0,661
Probi,. (a) : Déterminer le poids et un mètre cube de bon sable.
Multipliez i‘*,9, pois spécifique du sable pur, par 1000 , nombre des décimètres cubes contenus dans le mètre cube (477). Vous trouverez que le poids cherché est de i goo'‘*.
Probi. (i); Déterminer le poids de 35“', 45 de terre végétale.
Convertissez le volume en décimètres cubes; vdus aurez 55'45o'*'. Multipliez ensuite par ce nombre, le poids spécifique i'‘*,4 de la terre végétale; le produit 49fi3o'* sera le poids demandé.
Pbobl. ^c): Déterminer le poids d’une pièce de bois carré, essence- de chêne, qui porte o",6 sur i4“.
Calculez le volume du prisme carré en décimètres cubes; vous obtiendrez 6‘‘ X 6“* X 140'* = 5040**' (480). Multipliez par ce ÇQ™ k ’ poids spécifique i^*, 17 du cœur de chêne; le produit 5896 *,8 exprimera le poids de la pièce.
MESimACB DBS POIDS.
La plupart des corps dont on peut avoir à faire le dessin , à mesurer la surface, le volume ou le poids, se rapportent aux diverses formes que nous avons étudiées.
Un tombereau , par exemple , offre un tronc de pyramide quadrangulaire , dont les bases sont la paroi de devant et celle de derrière, qui peuvent être considérées comme parallèles, sans grande erreur.
Une hotte en bois, propre au transport des liquides, doit être assimilée à un tronc de cône à bases parallèles, bien qu’elle ait une face latérale sensiblement plane.
Dans un essieu en fer, le corps est un prismè rectangle, et les deux fusées peuvent être regardées comme des troncs de cône égaux.
Un anneau plat, tel qu'on en voit dans certaines chaînes, est un vrai manchon cylindrique. ,
Enfin , tous les corps , pleins ou creux , sont des cylindres , des cônes , des sphères , des anneaux , des vases analogues .i celui du probl. t (p. 4go) > des masses analogues à celle du probl. u(p. 493)1 ou peuvent se décomposer en parties qui présentent ces formes soit complètement , soit partiellement.
Je crois donc vous avoir mis en état de dessiner, de mesurer et de. comparer toutes les surfaces et tous les corps qu’offrent la nature et l'industrie. Tel est le but de la Géométrie, comme je vous l’ai annoncé en commençant (p. sa). Vous devez être maintenant bien pénétrés de l’utilité, de l’importance dé cette sêiencc pour les arts.
Ne vous laissez pas effrayer par le grand nombre des principes et des tracés que vous venez d’étudier. Savoir la Géométrie ne consiste pas à savoir par cœur tout ce livre. C’est l’esprit de la science qu’il faut posséder; c’est l’application de la proportionnalité des ligues, des surfaces limitées et des corps, qu’il faut pouvoir faire avec justesse. L’usage, des exercices nombreux, graveront peu à peu les autres principes et les tracés dans votre mémoire ; l’étude de la Géométrie des courbes, de la Géométrie descriptive et de la Mécanique , vous en rappellera sans cesse le plus grand nombre. L’essentiel est donc que vous les compreniez bien , que ‘vous en sentiez toute la vérité.
