P. XIV, F

Calculez le volume d’un cylindre droit (probl. o) dont le rayon soit la droite CI du secteur (p. 465, probl. /), et qui ait même hauteur AH que la calotte ACO de ce secteur ; puis prenez les J de ce volume; car la formule est

uESirBAes DES coflps a faces courbes.

Sec. 5 = 1 « X R’ X H :

R y représente le rayon CI de la sphère dont le secteur fait partie, et H désigne la hauteur AH de la calotte.

En effet , un secteur spherique peut être regardé comme composé de pyramides (rès-aigues dont les bases forment la calotte et qui arient pour hauteur commune le rayon R de la sphère. La somme de ces pyramides égalé le tiers du produit de la somme de leurs bases, multipliée par R (p. 476)- Conséquemment, le volume du secteur égale le tiers du produit de la calotte, multipliée par R.

Or (p. 465), Ca/ X D X H. Donc

Sec.S^ü2<£^g><R^XrftxHxR

Probe. (/): Mesurer un segment sphérique ACO (P. XIV,

Calculez le volume du secteur sphérique CIOAC qui comprend le segment, et retranchez-en le volume du cône CIO; là différence sera évidemment le volume cherché.

La hauteur IH du cône CIO est R“H, R désignant toujours le rayon IA de la sphère, et H , la haiAur AH du segment. Le rayon r ou CH de la base du même cône égale |/R’ — (R — H)’, a cause du triangle rectangle CUI (a53). D’après cela, quelques lignes de.calèul montreraient que le mesurage du segment a pour formule —

c *y__’'Xr’xH wxH^

Seg.S + — ^ i

c’esfr-à-dire qu’on obb'ent le volume d’un segment sphérique en ajoutant le volume — — d’une sphère dont le diamètre est la hau-

teur H de ce segment (probl. A), à la moitié du volume » X r’ X H d’un cylindre de même hauteur (proW. a), qui a pour rayon celui de la base du même segment.

Prôbl. (ni) : Mesurer Une tranche sphérique BCONB (P. XIV,

Le volume de la tranche BCONB égale la différence des volumes des deux segmcns ACO, ABN. Mais , en observant que lé rayon' r ou eu de la base du grand est moyen proportionnel entre les deux parties' D — H et H du diamètre AF = D (10 3), et que le rayôn r' ou BM de la base du petit est moyen proportionnel entre les deux parties D— ^ fret h du niême diamètre, on ferait voir aisément qu’il y a égalité entre la différence des deux segmens et la quaUtité

X (H — A) -f i la différence H — A

VESCIUGI! DES COUPS A FACES COORBES. 4^7

des hauleors est précisément la hauteur II' ou MH de ^ tranche ; * X et w X sont les superficies des deux bases de cette

fr 'V'

tranche ; enfin ^ représente le volume d’une sphère dont ÏI'

est le diamètre (prohl. A). Nous pouvons donc dire qu’il faut, pour obtenir le volume d’une tranche sphérique , calculer Ifs superficies des deux bases , multiplier la moitié de leur somme par la hauteur, et ajouter au produit, le volume d’une sphère dont cette hauteur < soit le diamètre.

Ainsi , la formule à employer est

T. S = + xJfti

c- ^ I,, ^Xr’XH'+»Xr'*XH'

Si vous remarquez que ! — X H — C — T ^

«t que le numérateur esl la sonftuie des deux cylindres qui ont pour bases les bases de la tranche , et U' pour hauteur commune , vous verrez que le mesurage d’une tranche sphérique est analogue à celui d’un segment : dans le premier, on emploie la demi-somme de deux cylindres formés sur les hases et la hauteur ; dans le second , on emploie la moitié d’un cylindre formé sur la base unique et la hauteur.

Pbobl. (n): Mesurer le volume (Pun onglet sphérique (P. XII, F. aS),

L'onglet LB'L'H'L est contenu dans la sphère autant de fois que l’arc D'H', par exemple , est contenu dans sa circonférence. CalctUez donc le volume de la sphère dont le diamètre égale l’arête droite LL' de l'onglet (probl. A); divisez ce volume par 36o°, pour avoir celui de l’onglet d’un degré , et multipliez le quotient par l’indication n du coin que fornaent les 'deux plans méridiens LB'L', LH'L'. Ce mesurage converti en formule, donne

^ »XD’X»

Si n zz: 5° et que l’arête droite de l'onglet soit de o”,3, on ^ 5,i4i6x(o“,3)’x5 i5,7o8Xo“‘,037

trouve O = ‘ 9®

=z 196 centimètres cubes.

Phobl. (o) : Mesurer le volume d’un anneau rond (P. XIII , F, 1 ).

Puisque l’anneau rond n’est au fond qu’un cylindre droit qui a été courbé (p. 406)) ie mesurage du cylindre est applicable. On aura donc le volume d’un anneau, en multipliant la superficie du cercle générateur C, par la longueiu" de la circonférence dont le rayon est B'C' et qui est la moyenne de la plus grande et de la plus petite.

Or, vous avez vu dans le probl. m (p. 406), que le diamètre

488 MSSUEÀGE DES COBPS À FACES COURBES.

dé G égale B — - ^ D et <f étant les diamètres des circonférences f a

extrêmes , et que aB'C' = Donc , la superficie du cercle C

est j la circonférence B'C’ a pour longueur »X

et la formule du mesurage est

•tx(D— cl)’ D-frf , , . **X(D-*rf)’X(D4-rf)

A=-^— ixwX-^ onplutôt A = ’ '^''..7— J.

lo a 3a

Si l’on remplace les diamètres par les rayons R , r , elle devient

, ,r»X(R-rrx(R+>-)

Soient Rrz:o'”,33 et r = o”,3; vous trouverer que l’anneau J (3,i4ï6)’X(o“i®3)’Xo”‘i63 9,86g65o56x

Probl. (p) : Mesurer le volume d’une pièce de bois courbe dont l'un des bouts est d’équerre sur les autres faces.

Si les bouts sont des circonférences ou des ellipses, la pièce de bois peut être regardée soit comme un cylindre droit et complet, soit comme un cylindre droit et tronqué, qui a été courbé. Calculez donc la superficie du bout d’équerre , et mullipliez-la par la moyenne du plus grand et du plus petit des arcs de la surface annulaire : cette moyenne donne lalongueuTdeTaxc du cylindre (probl. o et b).

Si les bouts sont des triangles ou des parallélogrammes , la pièce de bois peut être regardée soit comme un prisme droit et complet, soit comme un prisme droit et tronqué. Multipliez donc la superficie du bout d’équerre , par la moyenne des trois ou des quatre arêtes ' courbes (48a , probl. a et c).

Probl. (q) : Jauger un tonneau.

On doit , d’après une instruction ministérielle de l’an VII , plonger un mètre divisé dans le tonneau , par la bonde , de manière â prendre exactement le plus grand diamètre intérieur , qu’on appelle diamètre du bouge ; doubler la longueur trouvée; ajouter ce double an diamètre d’un des fonds; prendre le tiers de la somme; faire le quarré numérique de ce tiers ; multiplier ce quarré par 3, 1 4 1 6 ; et le produit par la longueur de la capacité du tonneau. Le quart du râultat donne cette capacité en mètres cubes, qu’il est facile de convertir en litres ou en hectolitres (p. 47>)-

Soient D le diamètre du bouge , d le diamètre des fonds et L leur distance. La formule à employer est

MBSCKA&E DES CORPS À FACES CODABES.

Obsener que pour avoir la longueur L de la capacité du lonncau , il faudrait mesurer une ligne droite perpendiculaire aux deux fonds et comprise entre les faces internes de ces fonds. Comme on ne le peut pas, on mesure la perpendiculaire comprise entre les faces externes et l’on en reiraiiclie le <loul>!e de l'épaisseur d’une douelle. Cette épaisseur varie de i8 à ai inillimèires.

Supposez qu’un tonneau ail pour diaiuétrc du bouge o",6a5 , pour (liamèire des fonds o"‘,553 , et pour longuenr interne o“,7a7; vous trouverez par la formule, que la capacité dp tonneau est de o“',ao6a4i ou de 9,06a 4 i hectolitres.

,Si vous calculiez la même capacité, en la considérant comme composée de deux troncs de cônes accolés par leurs grandes bases (probl. e), vous obtiendriez o"‘, 198340, nombre dont la différence à o“',ao63ji est 0“', 007 901. Ainsi, l’erreur ne serait au plus que de 8 litres en moins.

Probl. (r) ; Mesurer le volume iT une branche de voûte d’arêtes (P. XI, F. 5).

Il faut mesurer le corps cylindrique qui a pour base la moitié supérieure de la circonférence E', et pour troncatures, les quarts d’ellipse AB, AD ; mesurer de mtine le volume du vide cylindrique de la voûte J puis retrancher ce second volume du premier.

Or, on obtient le volume d’une portion de cylindre droit dont la base est une moitié de cercle et qui est doublement tronqué par

deux plans d’équerre AB , BD, en multipliant la superficiel?*^'', du

demi-cercle par d’une somme faite avec sept fois la plus grande génératrice AF et cinq fols ruiic des plus petites; de sorte que si G représente la longueur de la plus grande génératrice AF, et g, celle d’une des deux génératrices qui aboutissent aux points B , D , la formule à employer est

{Cr.

• . » X r’ rC -4- 5g

a a tron. — — x i ‘ "

« En effet, pour avoir le volume du corps cylindrique dont la base est J du cercle E’ et dont AB forme la troncature, on doit

multiplier — - — par la longuenr de la droite menée du centre de

gravité du quart de cercle, parallclcmciit aux génératrices, jusqu’à AB. Mais ce centre de gravité sc trouve .à une distance du prolongement de AE' égale aux y’j du rayon , à peu près , et il s’ensuit que la distance du même point à AB, mesurée parallèlement aux génératrices, se compose de g et des ~ de l’excès de G sur g J elle vaut donc g +

D’ailleurs, l’autre portion du demi-cylindre doublement tronqué, a évidemment le même volume. Par conséquent, ce derai-cyiindrc égale

le double de

multiplié par

MBSCRAGE PES COnPS A FACES COITEBES.

P&OBL. (a) : Mesurer un corps tronqué à base quelconque, perpendiculaire aux arêtes des autres faces.

Soient ABCD la projection horizontale du corps (P. XIV, F. Sy) et A'A"C'^C' la projection verticale. Vous décomposerez la base ABCD en triangles tels que ABD et en scgmcns terminés par des droites et des courbes , comme BCD ; puis vous marquerez sur ces courbes des parties arbitraires , égales ou inégales , qui puissent être prises pour des droites , sans grande erreur ; des points de division a , b , C , d vous abaisserez des perpendiculaires sur la corde BD de la courbe , et vous meneiez des parallèles ae à cette même corde, de manière à former des rectangles tels que aefg et des triangles tels que Hag, aeb; enfin, par les sommets des rectangles et des triangles, vous tirerez des parallèles aux arêtes B'B", C'C", etc. , jusqu’à la troncature A"C".

Alors le corps donné se trouvera décomposé en prismes tronqués triangulaires et rectangles , dont les arêtes parallèles seront comprises entre la ligne de terre A'C' et la troncature A"C" j il sera facile de mesurer ces prismes, et la somme de leurs volumes donnera celui du corps.

Par exemple, le prisme triangulaire dont la base est ABD, a pour volume , le produit de la superficie ABD et de la moj’enne des arêt^ A' A", B'B", D'D" (probl. a, p. 477).

Le prisme dont la base est le triangle Dag', a pour volume , la superficie Dag multipliée par la moyenne des arêtes D'D", a'a", S^g"-

Le prisme rectangle dont la base est aefg , a pour volume, la superficie aefg multipliée par-ia moyenne, de ses 4 az'ctes parallèles (probl. c, p. 478)- Ainsi des autres.

PxoBL^ (/) : 3Iesurer la capacité d'un corps creux quelconque.

Supposons qu’il s’agisse d’un bateau (P. XIV, F. 38). Il faut d’abord tendre un cordeau de la pointe A de l’avant-bcc, à la pointe B de l'arrière-bec , et partager la profondeur en plusieurs parties égales, en a par exemple : si cette profondeur est de a"“, chacune aura ; elles doivent au reste être assez petites pour qu’on puisse , sans erreur sensible, regarder comme des droites, les intersections ^es parois courbes du bateau, coupées par des plans perpendiculaires au cordeau , entre les plans horizontaux A'B', C'D', E'F' qui contiennent les points de division de la profondeur.

Appuyez ensuite une règle contre le cordeau, en la plaçapt verticalement en un point a situé à une distance 1“ de l’extrémité E du fuud , telle d’ailleurs que l’arc £6 de la courbe de ce fond puisse être prise pour une ligne droite; mesurez perpendiculairement au plan vertical AB, la distance horizontale ab du pied de la règle à la paroi du bateau , et inscrivez cette distance sur la ligne correspondante d’un croquis fait à vue, à peu près comme la figure; mesurez aussi, dp la meme manière, à 1™ au-dessus du fond, la distance horizontale oc de la règle à la paroi, et inscrivez celte