EA X DB XFCX CG = FA XDC X CG X EB

Mais on peut diviser les deux membres d'une égalité , par un même nombre , sans l’altérer. Supprimant donc la longueur CG , il restera EA X DB X FC = FA X DC X EB ,

ce qui revient à ce qui a été annoncé.

« Cette propriété singulière existe aussi bien pour une des trois autres droites, regardée comme transversale, que pour DE. Des raisonnemens analogues aux précédons montreraient en eflet quepourAB, ‘ AF X ED X BC = AC X EF X BD;

que pour AC , AE X FD X CB = AB X FE X CD ,

et que pour BD, BE X CA X DF = BA X CF X DE. i>

' « N’est-il pas fort remarquable qu’on ne puisse tracer au hasard ,

sur un tableau , quatre droites qui se coupent deux à deux , sans qu’il y ait égalité entre le produit de certaines parties. et celui des autres ? »

« Ce qui pouve bien que ces relations sont les plus générales qu’un système de quatre droites puisse présenter, c’est que celle du n" 79 s’y trouve renfermée. Supposons en effet que la transversale DÉ devienne parallèle à BC ; l’intersection D n’aura plus lieu ; on pourra supprimer DB, DC dans l’égalité

EAX FC X DB = EB X FA X DC,

et l’on aura seulement

EAXFC = EBXFA,

d’où l’on tirera (71) EA : EB ÎC FA î FC; c’est-à-dire que DE devenant parallèle à BC , coupe les deux autres droites en parties proportionnelles. »

86. Voici d’autres relations générales qui ne sont pas moins remarquables que les précédentes.

Trois concourantes illimitées et quelconques, menées par les intersections de trois droites illimitées qui se coupent deux à deux.

loa COMBINAISONS GÉNÉBALES DES DROITES.

forment sur ces droites six parties telles , que le produit de trois parties séparées égale celui des trois autres.

Par exemple , les concouraotes illimilées AD , BD, CD (P. III , F. 2 5) menées par les interseclions A, B, C des trois droites AB, BC, CA, forment deux parties sur chacune de ces droites , et EA X GC X FB = EB X FC X GA.

Pour démontrer qu’il y a elTcctivcment égalité entre les deux produits, je considérerai d’abord quatre droites seulement: AB, BF , FA et leur transversale CE. Je trouverai , en vertu du principe 85 , que ,