TRACÉ DES PARALLÈLES. 7I

« Quant à la manière d’opérer, elle est très-simple aussi. Ou plante le bâton verticalement , sur la droite donnée BC (P. II ,

F. a6), en un point C tel, que l’une des droites formées par les épingles passe par le jalon A , l’autre étant dirigée sur un jalon B planté le plus loin possible. Dès qu’on est parvenu à trouver ce point C, on enlève l’instrument, on le remplace par un jalon et l’on se transporte en A. Là , le bâton doit être jilanté verticalement , de manière qu’une des droites formées par les épingles se trouve dirigée en sens contraire de CB, l’autre passant par le jalon C.

Il ne s’agit plus alors que de placer lin jalon D verticalement et le plus loin possible, sur le prolongement de la première droite des épingles J l’alignement AD est parellèle à BC, parce que les deux angles alternes-internes ACB, CAD ont été faits égaux. »

Appl. (c) : On peut, dans la pratique, considérer comme parallèles, sans erreur sensible, deux droites de peu de longueur, qui vont se couper fort loinj car il n’y aurait pas de dilTércnce appréciable entre l’écartement de ces droites, pris à un bout, et leur écartement pris à l’antre bout.

« Si donc la droite pu l’alignement BC se trouve dirigée vers une étoile facile à remarquer (P. II , F. 26) , vous obtiendrez la parallèle à mener par A, en ^dirigeant de ce point un' alignement sur la même étoile. Les deux directions seraient même parallèles aussi loin qu’elles pourraient être prolongées sur terre , car elles ne se couperaient réellement qu’à plus de 7 trillionsdc lieues, distance * des étoiles les plus voisines de notre globe. »

« Vous aurez encore une parallèle à BC , si au moment où l’ombre d’un j^lon mince B tombe sur BC , vous tracez une droite AD selon l’ombre d’un autre jalon mince A. »

« Enfin , lorsque AD doit avoir seulement quelques mètres , elle se trouve sensiblement parallèle à BC , si elle est dirigée sur un ^ clocber ou tout autre objet remar([uable , éloigné de plusieurs lieues et placé sur l’alignement BC. »

C4. Deux angles sont égaux, quand les côtés de l'un sont parallèles aux côtés de Vautre et dirigés soit dans les mêmes sens, soit en sens contraires.

Considérons d’abord les deux angles ABC, DEF (P. II, F. 27) * qui se trouvent tels , que le côté AB de l’un est parallèle au côté DÉ de l’autre , que le côté BC du premier est parallèle au côté EF du second, et que les directions sont les mêmes. Pour démontrer que ces deux angles sont égaux , nous prolongerons AB , EF jusqu’à ce que ces droites se rencontrent en un point G. Alors , AG sera transversale par rapport aux deux parallèles BC , GF , et les angles correspondans ABC, ACF seront égaux ; FG sera transversale par rapport aux parallèles DE , AG, et il y aura égalité entre les angles correspondans DEF , AGF. Ainsi , les angles ABC , DEF se trouveront égaux chacun à AGF, d’où il suit qu’ils sont égaux entre eux.

Digiti^r- CoOgU

TKAci DES PARALLÈLES. t

Les angles ABC^ GEU dont les cptés sont parallèles et dirigés en sens contraires , ont aussi même indication , car GEU , DEF sont égaux , étant opposés par le sommet (35).

Mais , si deux côtés parallèles ilB, DE sont dirigés dans le même sens , tandis que les deux autres côtés parallèles BC , EG sont dirigés en sens contraires, les angles ABC, DEG ne se trouvent pas égaux; seulement, ils valent en somme deux angles droits, attendu que DEG et DEF font ensemble 1 8o° (45). Il en est de même des angles ABC , FEU , puisque la somme de FEU et de FED est aussi de 180“.

Problème : Les dessinateurs emploient souvent , pour faire un angle égal à un autre et de sommet différent , un procédé fondé sur le principe précédent , et plus expéditif que celui du prob. (c), page 46 J lorsqu’on peut se servir de l’étpierrc.

Si , par exemple, il s’agit de faire au point E (P. II , F. 27) , un angle égal à l’angle déjà tracé ABC , on mène par E , une pa— ' rallèle ED au côté AB , puis une parallèle EF au côté BC , et l’on a l’angle DEF qui est égal à l’angle donné.

6S. Nous avons encore a démontrer que des parties de parallèles comprises entre parallèles, sont égales, vérité géométrique dont les arts font de fréquentes applications.

• Soient les parallèles AB; CD eLlcs parallèles AC, BD, (P. II, F. 28). Je dis que les parties de parallèles AB et CD sont égales. Prenons la figure ABD ; retournons bout pour bout la droite AD , et plaçons -la sur A'D', droite correspondante de la figure ACD. Le point A étant posé sur D', le point D devra tomber nécessairement sur A’. Mais, l’angle B,!Ü) est égal à l’angle A'D’C, puis—

1 qu’ils sont alternes-internes (58) ; par conséquent, AB s’appliquera sur D'C. L’angle ADB est égal à l’angle CA'D’, pour la meme raison; et, par conséquent, DB s’appliquera sur A'C. Le point B où se eoupent AB et DB, devra donc tomber sur le point C où se coupent' D'C et A'C; ce qui montre bien que AB égale CD , et même que BD égale AC.

• 66. Réciproquement, si deux droites AB, CD (P. II, F. 29) sont égales et parallèles, celles qui joignent leurs extrémités , sont aussi égales et parallèles; car, si AC, BD n’étaient pas parallèles , on pourrait mener, par le point A, une droite AE parallèle à BD,

' et alors , AB se trouverait à la fois de même longueur que CD et DE (65), ce qui est impossible.

67. Il suit encore du n" 65 que toutes les perpendiculaires AB, CD, EF, GH , etc. (P. II, F. 3o), qu’on peut mener à deux parallèles AG, BH (57), sont égales entre elles (54). Or, les longueurs de ces perpendiculaires sont les vraies distances des points A, C, E, G, etc. de AG à BU (4/)' Donc , tous ces

*' TBACfi DSS PARALLÈLES. ^3

points sont également éloignés de BH. Donc aussi , des parallèles sont par-tout à la même distance l’une de l’autre.

Voilà ce qui fait dke que tous les points situés à une distance donnée d’une droite , se trouvent sur une parallèle à cette droite , on que, de deux parallèles, l’une est le lieu de tous les points également éloignés de l’autre.

Problème : Marquer un point qui soit à deux distances données de deux droites tracées.

Supposons que le point cherché doive être à une distance D de fil droite AB (P. II, F. 3i) et à une distance d de la droite CE.

En un point quelconque F de AB, j’clève une perpendiculaire, sur laquelle je porte D , de F en G , et par G , je trace une parallèle à iVB. Cette parallèle contiendra nécessairement le point

* «herehé.

* Je trace , de la même manière , le lieu III de tous les points situés à une distance d de CE. Cette autre parallèle contiendra aussi

le point demandé, et par conséquent, ce point sera le concours ’ K des deux parallèles de construction.

Appucatios : "L’instrument appelé trusquin par les uns et té par

* les autres, dont les ouvriers en bois se servent, pour tracer des parallèles, est fondé sur le principe du u" 67. Vous voyez qu’il est composé d'un plateau et d’une règle portant, à l’une de scs extrémités, une pointe à tracer. La règle traverse le plateau, en passant .dans une mortaise à jour où elle est fixée, soit par un coin nommé clef,

*^soit par une vis de pression. Cette clef donne la facilité d’écarter ou de rapprocher du plateau la pointe à tracer, et de la maintenir constamment à une distance donnée. Or, il est visible que, si vous' * faites glisser le plateau AB, le long d’jine face plane bien dressée CDËF (P. II, F. 3a), la puinlç restera toujours à la même distance

de l'arète CF, et ü'accra, par conséquent, sur la face supérieure CFGH , une parallèle Ily à cette arête. \

^ La règle du trusipiin est toujours plaKce d’équerre sur le plateau ; mais cette disposition n’est pas nécessaire (66) : toute autre permettrait de tracer des parallèles avec la pointe, moyennant cpie la règle ne pût glisser dans la mortaise. »

« Il faut souvent donner plusieurs coups de marteau , avant de parvenir à établir la distance voulue, ‘entre la pointe et le. plateau. Mais, cet inconvénient disparait, si on loge, dans une coulisse pratiquée sur la règle, une vis à filets serrés, dont l’écrou mobile, . façonné en tiroir, porte la pointe traçante. On évite aussi de perdre sa distance en frappant la clef, si l’on fixe le plateau au moyen d’une vis de pression qui le traverse de manière à rencontrer la règle perpendiculairement. Mais , U'est alors nécessaire de placer une lame métallique entre la face de la règle et la face correspondante de la mortaise du plateau, pour empêcher que la vis ne sc creuse des logemeus, sur les bords desquels elle ne pourrait sc maintenir,

^4 TRACÉ DES PASAXLÉUiS.

Enfin, il convient d’avoir une seconde vis de pression , pour intcrdir tout mouvement à la grande vis de la coulisse. »

« Outre la pointe à tracer dont nous venons de parler, le trusquin en porte, presque toujours, deux autres plus courtes. Leur écartement est égal à la largeur des mortaises que font ordinairement les mènuisiers , et c’est pour tracer d’un seul coup les longs bords de ces nlorlaises, qu’on les emploié. Dans ce cas, la grande poiute déborde la face CFGH , sur laquelle s’appuient les deux petites pointes. » ^

« Les longs bords des mortaises ainsi tracés , sont parallèles chacun à l’arcte CF, et par suite , ils sont parallèles entre eux. > *

68. En effet, deux droites AB, CD parallèles à une troisième . EF, sont parallèles entre elles (P. II, F. 53).

Il suffît, pour s’en convaincre, de tracer une transversale quel-* * corn j lie GII. Puisque AB est parallèle à. EF, les angles GiB, * GKF sont égaux comme correspondans (6o). Puisque CD est '•* aussi parallèle à EF, les angles GU), GKF sont égaux comme , corresjiondans. Par conséquent , les angles GIB , GLD sont égaux chacun à un troisième angle GKF; ils sont donc éçaiix entre eux, et comme de plus ils sont correspondans, les droites AB, CD, sont parallèles. h .4- . ‘

• Appl. (o) : .On trouve des parallèles dans un grand nombre de , produits industriels, dans une foule de machines et d’instrumens employés à la fabrication de ces produits.

« Les pièces de bois de menuiserie et de charpente présentent des arêtes parallèles; il en est de meme de leurs mortaises et de leurs ‘ * tenons. Les portes et les fenêtres, les pierres des montans qui les forment, ont aussi des arêtes parallèles. »

Appl. (6) : Les échelons d’une échelle sont deux à deux également écartés dans toute leur longueur et se trouvent, par conséqué'nt, parallèles. II est nécessaire qu’il en soit ainsi, pour que tous se trouvent horizontaux , quand l’échelle est placée , et que , par suite , le • pied de celui qui monte ne puisse glisser. Si ces échelons ont en outre la même longueur, les deux limons de l’échelle sont aussi parallèles.

Appl. (c): Le laboureur^ fait ses sillons parallèles, afin de ne laisser par-tout entre eux que l’écartement nécessaire, et que la , terre soit uniformément travaillée. C’est aussi pour cette dernière raison , que les dents de la herse sont toutes placées à la même distance les unes des autres ; car la herse cheminant en ligne droite, trace par ses dents des parallèles et réduit , conséquemment , les mottes à la même largeur.

Appl. (rf): Les lignes de l’écriture, celles d’un livre sont parallèles , pour qu’entre deux il y ait autant de blanc à un bput qu’à l’autre, que les lettres n’empiètent pas les unes sur les autres , et que la lecture soit plus facile. Pour les mêmes raisons , les jambages des lettres sont aussi parallèle». Dans le caractère 4’imprimcrie

tRACB DES PABAEliLES. ^5

nommtS romain et dans récritnro appelée bâtarde , pes parallèles sont perpendiculaires à celles que forment les lignes j dans le caractère italique et dans la toulée , les jambages parallèles sont obliques sur les lignes et pWichés yers la droite ; enfin , dans la ronde , ces mêmes jambages sont’, par rapport aux lignes , des obliques penchées à gauche. On écrit mal et l’impression est défectueuse , quand les lignes ne sont pas parallèles et quand la distance entre deux quelconques d’un paragraphe, n’est pas la même qu’entre deux autres.

Appi,. (c) : Dans les cahiers de musique , on voit des droites parallèles groupées par cinq. Elles sont équidistantes dans chaque groupe , œmme les échelons d’une échelle , les sillons du laboureur, cl les lignes d’un livre; c’est-à-dire que la distance des deux premières, est la même que celle de la seconde à la troisième , que celle de la troisième à la quatrième, que celle des deux dernières. Charpie groupe est coupé par d’autres parallèles, perpendiculaires aux précédentes. Celles-là indiquent la mesure ; c’està-dire que toutes les notes renfermées entre deux quelconques , doivent être exécutées dans le même temps, que celles rpii se trouvent entre deux autres. Pour tracer rapidement les longues lignes musicales , on fait usage d’un lire-ligne à cinq branches, <pii marque d’un seul poup , les cinq parallèles d’un même groupe. Ces cinq branches doivent être également écartées , puisque les parallèles doivent être équidistantes.

Ai>pL»1^y) r Les graveurs font aussi des droites parallèles qu’ils nomment hachures; quelquefois ces parallèles sont équidistantes, cl dans ce cas, s’il s’agit de représenter une surface plane qui s’étend en s’éloignant du spectateur, les hachures diminuent de largeur ou deviennent moins noires à mesure qu’elles s’éloignent. D’autres fois, les hachures ont toutes la même largeur, mais alors elles ne sSnt plus équidistantes: les plus éloignées sont plus écartées que les autres. C’est eu réunissant ces deux moyens qu’on parvient à représenter dans les gravures , un ciel sans nuage et les eaux tranquilles d’une grande étendue. Ils servent aussi, soit aux graveurs, soit aux dessinateurs, pour figurer les surfaces courbes réglées ; car il y a toujours sur de telles surfaces , des parties moins éclairées que les autres, et des premières aux dernières, la lumière va en augmentant par gradation insensible; d’où il suit que les hachures parallèles , qui représentent l’ombre on la partie la plus obscure , doivent aller soit en s’écartant, soit en diminuant de largeur, depuis l’endroTt le plus sombre, jusqu’à' l’endroit le plus brillant.

Appi,. (g) : Les tuiles courbes et non pas creuses , qu’on emploie dans ce p.ays-ci pour couvrir les maisons , forment des rigoles parallèles qui sont équidistantes , parce que les tuiles , supposées bien faites , ont , aux deux bouts , pour arêtes , des arcs qui ont même corde dans toutes. Si donc on traçait les lignes milieux des rigoles , ces droites seraient des parallèles équidistantes. La direction de ces parallèles n’est pas indifférente : il faut qu’elle soit telle que l’eaa de plqic ou de neige s’écoule le plus facilement et le plus rapi-

ÿ6 ^ TRACÉ DES PARALLELES.

dément possîble..^eS lignes milieux des rigoles doivent donc sc confondre avec le etïemin que suit naturellement 1 eau , quand elle coule sur une face plane et inclinée. Or , ce chemin est le même que celui d’une bille abandonnée sur une pareille face; car •tons' les corps qui roulent comme la bille ou glissent comn^c l’eau , en vertu de leur poids , suivent tous la même direction sur un plan incliné. Ijcs lignes milieux des rigoles doivent donc former autant de lignes de plus grande pente du toit (page a5 et ji° 47)* Aussi, les bons couvreurs ont-ils ratlcnlion de les placer perpendiculairement à l’arête supérieure du faite ^ pièce de bois t^ui termine le toit par le haut, et qui, dans une bonne charpente, est toujours horizontale ou de niveau.

Appl. (//) : Quand on couvre un édifice en tuiles plates ou en ardoises, les joints des tuiles ou des ardoises d’une inê-me rangée, doivent être dirigés selon les lignes de plus grande pente , afin que l’eau, séjournant moins long- temps sur ces joints , s’y infiltre moins facilement. Comme les autres arêtes des tuiles et des ardoises , sont perpendiculaires ou d’équerre sur celles qui se trouvent aux joints, leur position est horizontale, ou "de niveau, quand les joints sont sur des lignes de plus grande pente. Il en résulte que ces arêtes sont plus promptement abandonnées par les gouttes d’eau qui restent sur les toits après la pluie, ({qie ces gouttes ont moins de facilité pour remonlae entre les tuiles ou entre les ardoises qui se recouvrent, et que les lattes, les chevrons, les papines,,lcs arêtiers, etc. sont moins exposés à l’humidité cl à la pourriture

« Déjà vous pouvez apercevoir , par cet exemple, que la Géométrie est une source de mo)eiis conservateurs, pour les produits de-' l’homme et pour sa fortune. Nous trouverons , par la suite , plus d’une occasion de vous répéter cette vérité. »

Appl. (i) : Ce qui augmente beaucoup le tirage sur nos roules • ferrées, ce sont d’abord les graviers, les pierres, les trous qui se forment vis-à-vis ou à côté des pierres, puis les zig-zags que font les ornières; car, si les chevaux cheminent dans une divcction et que les ornières viennent à s’écarter de cette dirccti«n, les roues mordent sur les pa’roLs latérales. Des chemins qui présenteraieqf aux roues, une surface toujours unie e^ telle cpi’clles pussent y rouler toujours dans la même direction , du moins d’un coude de la route à l’autre, olfriraioHt donc de grands avantages pour la ^ célérité cl l’économie des tr.ansporls. On a de semblables chemins : ce sont les chemim de fer composés de deux rangées «le pièces en fonte bombées. Le cheval marche entre ces deux rangées, sur lesquelles s’appli((ucnt des roues dont les jantes ont une gorge, coinmq les poulies. Or, les arêtes de ces pièces de fonte doivent être parallèles, puisqu’elles sont droites et que les roues sont toujours à J.v même distance l’iinc de l’auli-e. Celle application des parallèles , très-usitée en Angleterre, ne fait que commencer chez nous, bien (pi’clle soit peut-être plus avantageuse que les canaux.

Appi.. (A) : Dans le filage mécanique du colon , où plusicui's

r (à)oglc

TBACÉ DES PARALLiLES. 77

1 'kinoc A A A fP II. F. Si") ont leurs axes niantes sur la même ; fes fils Al) qui s’enroulent sur ces

. Ses, din\im.ént également de* longueur, ou quds

éLlement (juand les bobines les alongent ; car , sans cela i y amaU dte fils plus tendus que les autres , et cqpimc ilS se tordent tous a^ec la ïuêml vitesse, il y en aurait- qui casseraient et d autres qui se vrilleraient, qui feraient tJes coques. Ainsi, les fils doivent 'o<>Jou« rester de même longueur, soit que le* bobmes les Rongent, en s’éloi-mant du coton en laine, placé en E, E,;t, soit qu cl es les ':ac“omcissent, en se rapprochant de EE et - « ™ J-;;

ces fils sont«parallèles; ce sont donc des parallèles de lon&«™ toujours égaks; par conséipient, les deux droites f

extrémités de ces parallèles, doivent toujours être paralU les clics nièmt#. Il suit de Îii .pie la tringle BC tim ■ deux droites, doit rester constamment pandlclc a 1 axe de ro atioi

FG commun aux petits lan^irs D , 1) , D , pJrT'L* se'conS les fils à leur origine, puisfm cet axe est iruorte r

des deux droites. Pour saüsfaire a cette condiüon , on iait porter

la tringle BC par quatre rq«lf!fl‘P»

restsait toujours, par coifliquent, à la même distance de l’axe PG dcs%minoirs , ql ces deivx lignes sont constamment pqralU^es. Ainsi , ces chariots ôu inuU-jenny qui confectionnent chacune de 4o » Oo fils et plus,, et qui les rendent si égaux en grosseur, si uniformes dans toute Icur^ longueur, ces mull-jenny .auxquelles les classes paui res doivent de pouvoir se bien vêtir à bon marçhe , ^t fomlei-s

sur les propriétés des parallèles. * II F â'iWst

Appi.. (/V- Quaud un corps quelconque. A (F. Il, ; csi

poussé ou tiré dans le sens d’une ligne droite BC, il est clair que tous scs points parcourent des lignes drohes DE , s il ne tourne pas ,eii même temps sur lui-même, et comme la distance de 1 un de ’ ces points .à tous les aiïtrcs ne varie pas , toutes les droites par tqurues sont toujours à la meme distance les unes des .autres, ou ^ 4n^nt parallèles enfre clics et à BC. Donc, pour qtiun corps en relief A puisse se in^voir ou cheminer en ^nc droite d.ins un eorpi*cçi.iix F , en le touchant par auclques pmnts (. , I , etcil faut queles droites V.H soient parfaiTcmcnt é^fes , dans les dei« ■ corps , et ipi’on puisse tr.accr sur la surface en cirux , par les poidis G , H du corph eu i4irf, des droites IK, ii.rallè es a BC dii^ctr.ec é du moinemciit. Si , pendant ce mouvement, les deux corps don en se toucher par des face. (F. ofi), ü faut de plus que ces faces

soient réglée» par.al!tlemeut a BC. . ’ .

<s Les tiroira des tables, des commodes, etc.; les pistons des pompes à eau , à air, à vapeur, ceux des presses hydrauliques, les vannes des moulins à eau , les pênes des serrures , les eiu.s offrent des exemples de celte .ajppHcatioii des par-aDeles. Les tirons

76 * TRACÉ »ES PARAILÈLES. ' ^

sont des corps en/elicf qui ont des arêtes parallèles et qu'on p^iit, par conséquent , soit en les poussant , soit en'les tirant , faire cheminer en ligne droite , dans des enfboitemens creux de meme lârgeur , de même liauteur^ qui présentent des arêtes aussi parallèles dirigées idaus le sens du moihement. Les faces d’un tiroir peuvent toucher sans cesse et par - tout celles de .remboitement , sans que le jeu soit gêné ci^rien. » . ' . •

« Les pistons sont. des dprps en relief qui se meuvent, dans des tuyaux nommés corÿs de pompe; les surface* qui sc touchent, pendant le -mouvement , sont réglées" selon la direction de ce mouvement , et les dimensions du piston , la longueur exceptée , sont égales aux ’ dimensions intérieures correspondantes du corps de pompe. »

« Les vannes présentent des arêtes droites , parallèles à la direction du mouvement qu’elles prennent quand on les lève ou'^qu on les baisse, et ces arêtes glissent le long de celles d’un encadrement formé danÿ la tête d’eau, lesquelles S|pt aussi droites et parallèles y la direction du mravement. »

« Il en, est de meme d’un pêne de serrure et du creux de la gâche dans laquelle il s’engage. Enfin , les étuis sont dans le même cas que* les. pistons. Mais, c’çst sur- tout pour ceux-ci, qu’il est important dli remplir toutes les conditions que prescrit la Géométrie : si, dans le piston tFuue'machine à vapei^ par exemple, la surface qui touche ceU«Alubq||H de pompe, étali telle, que les droites qui

la règignt , ne^ussent^BHré i parallèles, entre elles* t à

la direction dqynouvemcnt , il en résulterait de graves inconvém’ens et une grande perte de force. » ,

Apm.. (m) : Ce ^i nuit à la beauté et à la bonté des produit» dans la fa^ication des toiles et des étoffes ordinaires c’est sans doute le défaut d uniformité dans les fils , mais c’est aus.si le défaut d’un rigopreux parallélisme et d’une rigoureuse équidistance entre' tous les fils do la chainc et entre tous ceux de la trame ; car il en résulte que le tissu se trouve plus serré en certains endroits qu’en d’autres , et qu’il n’a pas la même souplesse ni la même force par-tout. Pourquoi nos fabricans de draps et de torle n’intro{luiseut-ils pas dans leurs macliincs , la perfection de celles qu’on emploie pour faire les cachemires d’Europe? Dans ces Hernières , les fils de la chaîne sont cxactemeut parallèles , dès quïs sont tendus 5 le ^igne est exécuté avec une telle précision ^ que deux de ces fils parallèles sont toujours et par-tout à la même distance*l’un de l’autre , et que cette distance est constante pour tous les couples de fils; enfin, le mouvemênt du peigne se fait avec une telle régularité , que tous les fils de la trame, c’est-à-dire ceux que la navette croise sur les fils de la chaîne, sont toujours refoulés les uns sur Ife autres avec la même force et selon la même direction, de manière qu’ils forment aussi des -itarallcles équidistantes. Voilà pourtpioi les fonds de nos. schalls façon cachemires, sont si supérieurs, ponr l’égalité du tissu , à cepx qui se fabriquent dans l’Inde , bien que cette branche d’inthistrie ne soit introduite en Europe que depuis à peu près vingt

TRACS OB3 PARALLÈLES. 'I 79

.^ns; les Indichs, qui l’exploitent depuis .des centaines d'années, n’y pc^y^nt rivaliser avec nous, parce^ue leurs eonnaissanfes en géométrie et en mécanique sont extrêmement bornées ; ce qui vous prouve, encore une fois, que la |)crfection des atls repose survies, applications rigoyrcuses des principes 3e ces deux sciences.

Appl. (n) : On vous enseignera , dans le cours qui suivra le mien , que si^ plusieurs hoinnics tirent ou passent un corps selon des directions parallèles , i^ exercent sur ccTorps une action qpi , étant égale à la somme de toutes celles qu’ils exerceraient séparément , ,est aussi grande qu’il est possible; tandis que s’ils agissent selon des directions concourantes , ils produisent une action moindre : il y a perte d’une partie de leurs forces , et cette perte est d’autant plus grande, que les angles formés par les directions de leurs cfforLs , sont plus ouverts.

• « Il suit de là que les fils ou les brins d’une corde, peuvent

supporter d’autant plus de*»poids, qu’ils sont plus près d’être parallèles, ou qu’il y a moins de torsion dans la corde. Les cordes molles sont donc préférables, pour la force, aux cordes dures et serrées j elles sont aussi plus flexibles , plus maniables , et moins sujettes à faire des coqties ; e’est ce cjuft confirment iin grand nombre d’expériences. Observez, pourtant qu’il faut que la mollesse ne provienne pas de l’usure des cordes. »

./VppL. (o): C’est dans les propriétés des parallèles qu’est le germe de la géométrie descriptive, et cette application n’est pas la'moin.s importante de toutes celles qu’on a faites des vérités exposées dans ce chapitre. Il eu est résulté une lanf'ue pour les arts, pour les constructions de toutes sortes ; sans cette langue , il serait à-peu-près impossible*à l’artiste , à l’ouvrier , d’exécuter l’idée d'un arcbileete , d’un ingénieur, d’un mécanicien: vous en serez convaincus tout à l'heure.

« Nous avons dit (appl. /) que tous les points d’un corps qui se meut en ligne droite, suivent des parallèles. Or, un corps qui tombe, se meut en ligne droite, selon la verticale; par conséquent, tous ses points engendrent , pendant la chute , des parallèles à la verticale. Supposez une face plane et de niveau, un plancher, par exemple,

' au-dessous de ce corps tombant; n’cst-il pas vrai que toutes les parallèles engendrées par les différens points du" corps , viendront percer la face ou le plan chacune en un* point? Uebien! l’ensemble de tous ces points est ce qu’on nomme la projection horizontale du corps, et les par.ill^œ qui unissent ces points à ceux du corps remis dans sa première position , sont appelées lignes projetantes. »

« Pour comprendre maintenant l’usage qu’on fait d’uhe projection horizontale, représentez-vous toutes les parallèles projetantes, et supposez que vous en connaissiez les longueurs ; il vous sera facile de voir que , si le corps venait à disparaître , vous en retrouveriez aisément tous les points , en partant de leurs projections particulières sur le plan de niveau , et en vous' élevant le long de chacune des parallèles jusqu’à son extréjnité : cette extrémité serait précisément

8o ^ THACi OEd PARAI-^ÈLES.

le point cherché, celui qu’ot^pait l’un des' points 'du coips,. avant que ce corps disparût. Vgus pourriez donc par ce nipjttj , vous procurer les positions des extrémités des arêtes du corps , celles de tous les points éc ses faces, et, par conséquent, replacer le corps dans sa première position s’il le fallait. C’est précisément pour placer ainsi les corps dans une position donnée, qu’on fait leur projection horizontale. » . ^ ^

« Supposons , p.ar exemple , qu’on veuille .que jc place des arêtiers de charpente , pièces d« bois qui se trouvent sous les arêtes inclinées des toits de nos maisons , et qui sont inclinées elles-mêmes. , Si l’on trace sur le plancher du grenier, la projection horizontale ABCDEFGIl d’un de ces arêtiers (P. II, F. 57), et qu’on me donne les longueurs des parallèles AA’, AA" (deux accens se prononcent seconde'), EE', FF', -GG' qui projettent les extrémités w de ses longues arêtes , je placerai d’aplomb des arêti's de pièces de» bois, sur les projections particulières A, E, F, G, de ces extrémités; je donnêrai à ces arêtes , les longueurs des lignes projetantes qu’elles représentent ; et leurs extrémités A', A", E', F', G' seront \isiblement aux points que doivent occuper celles des longues arêtes de l’arêtier. Je pourrai donc alors placer** cette pièce de bois dans la position désirée, A'B'E'F'G'A". Remarquez que dans une charpente, il y a des pièces de bois qui doivent s’assembler avec l’arêtier et qui tiennent lieu de ~U»8 jpir j’ai supposées, pour me faire comprendfe. »

« Les épures de charpenterie et de coupe des pierres, les '•plans d’archi{pcture et de machines présentent toujours la projection horizontale des pièces de bols, des pierres, des murs, des colonnes, des roues, des lanternes, des arbres, etc. Ces dessins #>urnissent aussi les longueurs des parallèles projetantes. Pour y marquer ces longueurs, on suppose que le corps cl scs lignes projetantes, se meuvent de manière qu’un des points suive une droite horizontale; alors, tous les autres suivent des horizontales parallèles à celle-là, et si le corps vient à pàsscr au tnivcrs d’une face plane et d’aplomb, d’un mur bien uni et bien dressé, par exemple, ses points y marquent d’autres points qu'on nomme leurs projections rerlicales, et les lignes projetantes , qui sont d’aplomb comme le plan traversé , ‘ s’y appliquent dans toute leur longueur. » ■

« Il suit de là, cpie si l’on a la projection verticale d’un corps, et que des points de celte projection , l’oamène sur le plan d’aplomb et jusqu’au plan de niveau, des par.allèlcs à la verticale, ces parallèles sont égales en longueur aux parallèles correspondantes qui projettent le corps horizontalement. Ainsi, deux projections, ruuc horizontale, l’autre verticale, suffisent pour placer les corps dans les positions qu’ils tloivent avoir, et pour leur donner la forme et les dimensions qui leur sont particulières. La première de ces projections est ce qu’on nomme plan par terre ou simplement, le plan; la seconde est connue sous le nom (Tclcoaliqn. Pour écrire brièvement et clairement quelle est la position, la forme et chacune

Difliti.’et! H

Al

TRACÉ DES PARALLÈLES. 8l

des dimensions d’un corps, il faut donc un plan et une élévation. C’est dans ce sens que nous avons appelé la géométrie descriptive , la vraie langue de» constructions. »

« Je suppose, comme exemple, que je commande un meuble; j’en donnerai l’élévation , pour montrer à l’ébéniste les moulures et les ornemens que je désire; mais cela ne sera pas suffisant: je devrai ajouter le plan, pour indiquer la profondeur et les di\isions de l’intérieur; et dans le c.is où ces divisions n’iraient pas du haut en bas, il faudrait que je fournisse encore une élévation de l’intérieur, ou, comme on dit, une coupe, afin de faire voir où elles doivent s’arrêter. »

« Je suppose encore qu’un particulier de Metz ait fait dresser à Paris, le plan, la coupe et élévation d’une maison ; son entrepreneur pourra construire le b.itiment avec exactitude ; car il trouvera sur ces dessins la position de chaque partie par rapport aux autres,

«les vraies dimensions qu’elle doit avoir. Qu’au lieu de cela , rchiteete de Paris veuille transmettre scs idées à l’entrepreneur de Metz , en langage ordinaire ; il faudra qu’il écrive un volume ; malgré tous ses efforts pour être clair , il ne sera certainement pas toujours bien compris , et la maison se trouvera fort différente de ce qu’elle aurait dû être. Si , dépo<irvu d’une description écrite ou de dessins géométriques, l’entrepreneur n’avait , pour se guider, qu’une vue perspective de la maison , semblable à celles du dessin d’un paysage, il lui serait iiiqiussibic de construire; car, vous le verrez aisément, ces perspectives changent la forme et les dimensions des corps qu’elles représentent. »

Appl. (jj) : L’étude des corps, troisième partie de ce cours, vous initiera dans la méthode des projections ; mais en attendant , et pour vous faire sentir davantage l’importance de cette méüiode , je vais vous exposer quelques-unes de ses applications , et d’abord , comment on s’en sert , pour tracer sur un corps , une courbe quelconque tracée sur le papier.

« Soit donc la courbe ABC (P. III, F. i). Je tire au-dessus ou au-dessous une droite quelconque DE; puis, je projette la courbe sur cette droite, c’est-à-dire que, par ses extrémités A, C et par un grand nombre d’autres points intermédiaires , je trace des perpendiculaires à DE, qui la coupent en A', F', G'.... B'.... C’. Ces points sont respectivement les projections de A , F, G.... B.... C, puisque les perpendiculaires sont parallèles; A'C' peut être regardée comme la projection horizontale de ABC; celte courbe

est elle-même sa projection verticale, et AA', FF' BB'.... CC'

sont les lignes projetantes dans leurs vraies longueurs. Vous concevez qu’en effet une courbe qui serait dessinée sur un mur d’aplomb, laisserait une ligne droite pour trace, sur un plancher de niveau qu’elle viendrait à traverser, en descendant le long du mur.

« Maintenant, sur la surface du corps où doit être transportée la courbe, je tire une droite de (F. a). Je prends un point a' sor cette droite; à partir de ce point, je porte les distances A'F',

8} TRACÉ DES PAHAILÈEBS. '

F'G'.— ; par les points a' , f , g'... b'.,, c' qui en résultent, j’élève sur de, des perpendiculaires visiblement plus longues que celles de la figure i; je porte, avec le compas, la longueur de A'A , sur la perpendiculaire a' , celle de F’ F, sur la perpendiculaire f', et ainsi de suite, ce qui me donne les points o,f, g-., b... c ; enfin , je joins tous ces points par une courbe que je trace è la main , et si j’ai projeté un grand nombre de points de ABC , j’aurai une courbe abc qui aura même forme et meme longueur que ABC , ce dont on se convaincra facilement , en opérant la superposition (page a 8). » >

« C’est ainsi que souvent les appareilleurs tracent, d’après l’épure, les cherches et les patrons qu’ils donnent aux tailleurs de pierres, pour les guider (voyez page ag et p^|)e 4o). »

Appl. (q): Voici un tracé qui se déduit du précédent et qu’emploient parfois les charpentiers de vaisseaux , pour faire leurs gabarits Du patrons; ils le nomment Tricage. Us posent une planche mii^ sur l’épure , de façon à ne pas couvrir la courbe qu’ils veulent levelp Puis, à partir de cette courbe ABC (P. III, F. 3), ils mènent un grand nombre de parallèles ^VA'...BB'...CC'... qu’ils prolongent sur la planclie , et ils donnent à toutes la même longueur. Ils obtiennent par là les points A'...B'...C'..., qu’ils joignent par une courbe A'B'C', puis ils découpent la planche selon ce contour.

« Pour SC convaincre (juc les courbes A' B' C’, ABC ont même forme et même longueur , il suffit de mener par un point 1) de AA', une droite quelconque DE , et par un point F tel que A' F soit égale à AD, une droite FG parallèle à DE. Alors, EG et DF sont égales comme parallèles comprises entre parallèles. Mais , DF est égale à AA', puisqu’on a retranché d’un côté, sur A'A, ce qu’on a ajouté de l’autre. Donc , EG ni égale à A'A et , par suite , à CC'. Retranchant la partie CG commune à ces deux droites, il reste EG égale à GC'. On démontrerait de même que toutes les portions de parallèles comprises entre DE et ABC, sont égales aux portions correspondantes, comprises entre FG et A'B'C'; par conséquent, on peut superposer exactement la figure ABCED sur la figure A'B'C'GF, d’où il suit que A'B'C' a même courbure et même longueur <pic ABC. »

Appl., (r) : C’est aussi , par l’un ou l’autre de ces procédés , qu’on obtient la figure d’une cavité , dans laquelle doit s’emboiter une pièce en relief d'une figure donnée. Seulement, le tracé étant fait, on découpe de façon à former un creux , au lieu d’un relief. La figure 4 de la planche 111 indique suffisamment les opérations.

Appl. (s): Le tracé d’un contour rampant, d’après un type ou modèle qui ne rampe point, se fait au moyen de projections perpendiculaires et de projections obliques. Qu’il s’agisse, par exemple , de déformer un baluslrc AB (P. III , F. 5), pour en faire un bitlustre rampant destiné à la rampe d’un escalier, Je projette le contour donné , sur l’axe AB, en abaissant des perpendiculaires de divers points C, D, E, etc.; puis, ayant pris A'B' de mémo longueur que AB, je porte sur cet axe du baluslrc rampant, les

dl:"jc

TKÀCB DES PAAALliLES. 85

projectioiis Ar, edfdé, etc. du type; par les points c’ tf , e', etc. qui en résultent, je tire des droites parallèles a la ligne de rampe, et je prends sur ces obliques projetantes, des longueurs c'C', d'W , e'E' tespectivement égales aux pcrpendicnlairës projetantes cC , dD , eE , etc. Il ne me reste plus alors qu’à joindre les points C', D', E', etc. , par une courbe , pour obtenir le contour rampant demandé.

1 « Vous voyez par là que tout contour rampant a pour projection oblique sur FG, parallèle aux axes, la projection perpendiculaire de son type sur la même droite , et que le changement de ligues projetantes n’altère point les longueurs des parties du contour qui se trouvent parallèles à l’axe. »

Appa. (t) : La méthode des projections sert encore à figurer des courbes qui n’existent pas , mais dont on connait et la projection sur une droite tracée dans le même plan , et les lignes projetantes.

« Supposons , par exemple , qu’il s’agisse de figurer la courbe qui se projette sur une droite AB de 3 métrés (P. III , F. 6) et dont les lignes projetantes, prises de millimètre en millimètre, selon la droite, à partir de A, soient toutes connues. Supposons, en outre, que celle- de A soit de i mètre , celle de B de a mètres , et que les auti*es aillent en augmentant à partir de la première , mais de façon que les augmentations soient dé moins en moins grandes. On divisera AB en millimètres ; on élevera , par les points de division , des perpendiculaires à .ïiB ; on portera sur chacune de ces perpendiculaires , leur longueur; et il en résultera des points tels que C , D, E, F, qu’on joindra à la main , ce qui produira la courbe CDEF. »

« On parviendrait ainsi à figurer la ligne courbe que suit le point milieu d’un boulet, d’une balle; celle que décrit le point milieu dç la Lune en tournant autour de la Terre , pendant cjuc la Lune tourne sur elle-même ; celle selon laquelle le point milieu de la Terre tourne autour du Soleil , pendant que la Terre tourne sur elle-même ; enfin , celles selon lesquelles cheminent tous les corps célestes qui tournent autour du même astre : il faudrait mesurer ou calculer les longueurs des droites sur lesquelles elles se projettent, et calculer aussi les longueurs des lignes projetantes d’mi grand nombre de leurs points. >

« Quand, dans les dessins d’une machine, il est nécessaire de montrer les mouvemens , le jeu de quelques-unes de ses parties , on a recours à la même méthode. On l’emploie encore , pour représenter la forme qu’aura le fonds d’un terrain , lorsqu’il sera excavé d’une façon convenue ; pour figurer la direction des couches et des filons de minérais cachés dans la terre , souvent à de grandes profondeurs ; pour faire connaître la forme du fond d’un canal, d’un fleuve, d’un lac , et des mers. Enfin , on peut dire que la méthode des projections s’applique à presque tous les travaux de l’homme. Vous devez donc vous rendre familière une méthode si simple , si facile , si rapide , si puissante; vous y parviendrez en suivant avec assiduité le cours de dessin géométrique. Une fois ce genre de dessin répandu dans les '

FROPOaTTONS.

ateliers , l’industrie s’élèrera à un degré de peiiection qu’il est impossible de prévoir. »

Loi de la nature (a) ; Ces parallèles dont vous venez de vpir de si importantes applications, sont rares dans la nature. On ne les y trouve guère , à parler exactement, que sur quelques cristaux. Le sel de cuisine , par exemple , quand il se forme dans de l’eau salée et tranquille, qui se dissipe peu à peu dans l’air, prend la forme d’un dé à jouer et nous offre , par conséquent , sur chaque face , deux arêtes parallèles.

Loi (6) : Nous considérons ordinairement les verticales ou lès directions de plusieurs Gis à plomb , comme parallèles; mais elles ne le sont jamais à la rigueur , puisque suffisamment prolongées clics iraient toutes passer à peu près par le point milieu de la Terre. Le parallélisme des verücales ne peut être admis , sans erreur, sensible , que dans l’étendue de quelques toises.

Loi (c) ; Nous eonsidér»ns aussi eomme parallèles , les rayons de lumière qui nous viennent du Soleil ; mais au fond ils ne le sont pas ; car s’ils étaient suffisamment prolongés , tous passeraient à peu près par le point milieu de l’astre. Néanmoins , il n'y a pas d’erreur appréciable à regarder comme parallèles , des droites qui vont se couper à plus de 33oooooo de lieues, sur-tout quand les points où ces rayons aboutissent sur la Terre , ne sont écartés que de quelques toises. “

Loi (d) : EnGn, si l’on dit que toutes les positions prises par l’axe de rotation de la Terre, pendant la révolution de ce globe autour du Soleil , sont parallèles entre elles , c’est qu’ordinairement on ne fait pas attention au léger balancement de cet axe. Ce balancement qui explique plusieurs phénomènes intéressans , ne produit jamais un angle de plus de 3“, entre la vraie position de l’axe et celle que d’ordinaire on lui suppose ; mais ce faible écartement sufGt pour qu’il n’y ait pas un parallélisme rigoureux.

COHBIIVAISONS DES CONCOURANTES BT DES PARAI.I.él.ES.

« Vous avez étudié plusieurs propriétés des concourantes et plusieurs propriétés des parallèles; vous avez appris à exécuter un g^and nombre de tracés qui reposent sur ces deux combinaisons des lignes droites ; mais il en existe encore une troisième : celle des parallèles avec les concourantes. Nous nous en occuperons , après que vous aurez acquis une notion sufGsante des proportions. »

• Proportions.

69. On nomme proportion géométrique ou simplement proportion, l’égalité de deux rrpports (ig). Ainsi, est une

proportion, car cette expression numérique indique que le rapport de 36 à 6 égale le rapport de ii à a. Cependant, elle se lit ordinairement comme il suit : 36 divisé par C égale i a divisé par 2.

PR0P0STI0!7g.

Si lef nombres 36, 6, la, a représentaient en mètres, par exemple, les lon^eurs de quatre droites AB, CD, EF, GH, on exprimerait aussi qu’il y a proportion entre ces lignes, ou que le rapport des deux premières égale celui des deux dernières , en écrivant ^ Réciproquement, lorsque quatre droites sont proportion-

nelles ou forment deux rapports égaux , elles donnent une proportion numérique , si aux lettres qui les indiquent, on substitue les nombres qui en expriment les longueurs. Il est donc toujours facile de transformer une proportion de lignes en une proportion de nombres, et une proportion numérique en une proportion de lignes indiquées par des lettres.

Les proportions sont rarement écrites comme ci-dessus , dans les livres et sur-tout dans ceux dont les lignes sont serrées : la forme de fraction donnée aux rapports forcerait à écarter plus ipie les autres , les lignes où se trouveraient des proportions , et il en résulterait un désagréable défaut d’uniformité, de régularité. Pour l’évitçr on remplace par deux points, le trait qui indique la division. Le signe d’égalité rr; pourrait être conservé sans inconvénient ; mais l'usage est d’y substituer quatre points. Les proportions ^ êü ~ ^ S’écrivent donc ordinairement 3616" i a 1 a ,

AB : CD : : EF ; gh, et alors elles se lisent comme il suit : 36 contient 6, comme ta dtntient a; AB contient CD, comme EF contient GlI. On peut dire aussi, selon la coutume des écoles, 36 est à 6 , comme t a est à i ; AB est à CD , comme EF est à GH , pourvu qu’on se rappelle que est à signifie contient ou est contenu dans.

Les nombres 36 et a , les lignes AB , GH qui se trouvent aux extrémités des proportions écrites comme dans les livres , sont appelés termes extrénes ou simplement extrêmes. Les nombres 6 et ta, les lignes CD , EF qui se trouvent entre les autres , au milieu , sont nommés termes moyens ou simplement moyens.

70. La proportion géométrique jouit d’une propriété bien utile, dite fondamentale : Le produit des extrêmes égale celui des moyens. On voit effectivement , dans la proportion 6 1 a 1 1 g 1 3 , que 5 fois 6 et a fois g donnent le même produit i8. Mais, il est facile de démontrer qu’il en est toujours ainsi. Mettons la proportion sous la première forme ÿ = |-. Si j’efface le a , le premier rapport qui n’était que 3, deviendra 6 ou a fois plus grand. Donc, pour’ ne ' p.is détruire l’égalité, il faut rendre le second rapport f, a fois plus grand, ou le multiplier par a. Mais, | c’est g tiers, et pour midtiplier un nombre de choses , on ne multiplie que le nombre , on ne multiplie pas le nom des choses. Il faut donc simplement multiplier g par a , et conserver au produit , le nom des choses multipliées. Cela donne i8 tiers, ou et l’on a 6 = 1/-. Maintenant , j’eflace le trois. Alors , le second rapport qui est 6 devient 1 8 , le produit des moyens , ou 3 fois plus grand. Donc , pflur

8ti PROPOETIONS. >

ne pas dëtrtiire l’ëfîalité, je dois rendre le premier rapport 6, 5 fois plus grand , ou le multiplier par 3 , ce qui donne aussi 1 8 , produit des extrêmes 6 et 3. Or, le raisonnement qui vient d’être fait, s’appliquerait visiblement à toute proportion numérique, et une proportion de lignes peut toujours être convertie en une autre dont les termes soient des noinbres.

71. Réciproquement, lorsque deux produits formés chacun d§ deux facteurs, sont égaux, les quatre nombres font une proportion, dont les deux facteurs d'un produit sont les extrêmes, et les deux facteurs de l'autre , les moyens.

Par exemple , le produit de 6 par 3 étant égal au produit de 9 par Q , il y a nécessairement entre ces quatre nombres , la proportion 6 ! a 1 1 9 t 3. En effet, si dans l’égalité 6 X 3 = 9 X a , on efface le chiffre a , le second produit devient a fois plus petit ; il faut donc, pour qu’il y ait encore égalité, rendre le premier produit a fois plus petit ou le diyiser par a. Alors , on a = 9. Si ensuite, dans le premier produit, on efface le chiffre 3 , ce produit devient 3 fois plus petit, et pour que l’égalité continue d’avoir lieu, il faut rendre la seconde partie 9 de cette égalité , 3 fois plus petite ou la diviser par 3. On obtient par là -* = | ou 6 1 a " 9 ! 3. Il en est de même pour quatre droi4^ , puisqu’elles peuvent toujours être représentées 'par-daa.mombrçs.

72. Cela nous montre qu’on peut faire subir à une proportion , tous les changemens qui n’empêchent pas le produit des extrêmes d’être égal au produit des moyens. Les rapports ne sont plus les mêmes, il est vrai; mais il restent toujours égaux. Par exemple, dans la proportion 6 î a I i 9 I 3 , on peut changer les moyens de place , ce qui donne 6 ! 9 t ! a : 3 ; car on a toujours 1 8 pour les deux produits. On peut aussi changer les extrêmes de place , ce cpii donne 3 1 a 1 1 g 1 6 ; on peut enfin mettre les moyens à la place des extrêmes , ce qui donne 3 16 1131 9 , nouvelle proportion qui peut subir les mêmes transformations que la première.

73. Il est facile de voir qu'on obtient encore une égalité de rapports , en multipliant le premier rapport d’une proportion par le premier rapport d’une autre et le second par le second ; car si deux quantités sont égales, les produits qu’on obtiendra en les multipliant par un même nombre, seront égaux, et c’est multiplier les deux rapports d’une proportion par un meme nombre , que de multiplier l’un par un troisième rapport , l’autre par un quatrième égal 'au troisième. Mais, il est clair que pour multiplier deux rapports tels que -J et ^ , il suffit de multiplier les deux premiers termes 6 et 13 l’un par l’autre, puis les deux seconds 3 et 3 ; car cela donne ou 13 , comme si l’on multipliait 3, valeur de |, par 4 , valbur de Nous pouvons donc établir ce principe qui nous sera

PROPOETION8. ,

fort utile par la suite : Les produits des termes correspondons de deux proportions , forment une troisième proportion.

Qu'on multiplie , par exemple, les termes correspondans des deux proportions suivantes; ,

ia!3!l iGi 4> on obtient 7a 1611 i441 la,

résultat qui est bien une proportion, puisque 72 X ta = i44 X 6.

74. On peut, sans détruire Vénalité de deux rapports, ajouter le second terme de chacun au premier.

Par exemple, la proportion Sla 11 la 13 donne cette autre 8 + 2l2lliaH-313 ou iolalli513. Effectivement , le premier terme du premier rapport étant augmenté du second terme, le eftptient une fois de plus et le rapport se trouve plus grand de t ; mais il en est de même aussi pour le deuxième rapport, et par conséquent, l’égalité ou la proportionnalité n’est pas détruite.

75. On peut aussi, sans détruire l’égalité de deux rapports, ajouter le premier terme de chacun au second.

' Ainsi , la proportion 1 4 1 7 1 1 6 1 3 donne cette autre 1 4 1 7 1 4

11613"l"6 ou i41aill6l9. En effet , le produit des extrêmes qui était 1 4 X 3 , est maintenant i4X3-t"i4X6 et se trouve augntenté de 6 fois 14. Mais le produit des moyens a éprouvé la même augmentation, car il était 7X6, et il est maintenant 7X6"f"i4X6. Ces deux produits sont donc encore égaux.

76. Des raisonnemens analogues montreraient que les soustractions opérées entre les deux termes de chôme rapport, ne détruisent pas non plus la proportionnalité. •

De la proportion jo 15 11 24 18, par exemple, on tire cette autre i5 — 5l511a4 — 818 ou iol511i618, et cette autre j51i5 — 51124124 — 8 ou i51iolla41i6.

La proportion 7 1 2 1 1 1 3 1 9 pourrait donner 7I21 — 7II3I9 — 3 ou 7I14II3I6, et ai — 7I21II9 — 31g ou i41aillGl9.

77. Enfin, on n’altère nullement la proportionnalité , en multipliant ou en divisant par le même nombre, les deux termes de l’un des rapports; car c’est comme si l’on multipliait ou divisait par ce nombre, le produit des extrêmes et celui des moyens, operation qui ne les empêcherait pas de rester égaux.

De la proportion la 1 a 11 36 1 6, par exempte, nous pouvons tirer cette autre 2414’"5616, en multipliant par a les deux termes 12 et 2 du premier rapport, attendu que 12 est facteur du produit des extrêmes et que 2 est facteur de celui des moyens,

Nous pouvons aussi obtenir cette proportion 1 a 1 a 1 1 6 1 i , en

88 PROPOHTIOrns'ALITB DES DEDITES .

divisant par 6 , les deux termes 36 et 6 du second rapport de la I première.

Probl. (a) : Trouver l’un des extrêmes d’une proportion dont l’autre extrême et les moyens sont connus.

Si , par exemple , on a la proportion incomplète 6 1 a ! ! g ! X , dans laquelle X représente un extrême qui n’est pas connu et qu’il faut déterminer, on fait le produit des moyens g et a, ce qui donne 1 8 , produit qui est aussi celui des extrêmes (70). Or , un de ces extrêmes est connu, et l’on a vu, en apprenant à faire la preuve de la multiplication, que si l’on divise le produit par le multiplicande, on retrouve le multiplicateur. Si donc on divise 1 8 , le produit des extrêmes , par 6 , l’extrême connu qui peut être regardé comme le multiplicande, on devra obtenir pour quotient, l'autre extrême. Or, 18 divisé par 6 donne 5 qui est en cifet le quatrième terme

de la proportion prise pour exemple. .

Probl. (6) : Trouver l’un des moyens d’une proportion dont l’autre moyen et les extrêmes sont connus.

II faut faire le produit de ces extrêmes et le diviser par le moyen connu ; c’est ce que montre suffisamment le raisonnement précédent. Si, par exemple, on a la proportion incomplète 6!XtIgl3, on fait le produit de 6 par 3 , ce qui donne 18 qu’on divise par g. Le quotient a est précisément le moyen que représentait X.

Ces règles pour trouver l’un des extrêmes ou l’un des moyens d’une proportion numérique , reviennent , comme vous voyez , à la rèffle de trois.

La Géométrie a aussi sa règle de trois , c’est-à-dire qu’au moyen des principes qpii vont être posés et démontrés , on peut trouver une droite qui soit un des ternes d’une proportion dont trois droites connues sont les trois aiiti^ termes. Cette droite de résultat est ce qu’on appelle une quatrième proportionnelle aux trois, droites données.

Proportionnalité des droités.

La proportionnalité qui résulte, pour les droites, de certaines combinaisons , donne lieu à des principes qu’on doit compter parmi les plus importans. C’est sur ces principes que repose notamment la ^division des droites en parties proportionnelles, et cette division est souvent nécessaire dans les applications de la Géométrie.

L’expression parties proportionnelles ne signifie pas seulement des parties inégales dont les longueurs peuvent former une proportion. Des parties égales sont aussi des parties proportionnelles j seulement les rapports seraient i , dans les proportions qu’elles formeraient.

78. Si de deux concourantes , l’une AB est divisée en parties égales, par des parallèles, il en est de même pour l’autre CD

paoponnonnAUTÉ des droites. 89

(P. ni, P. 7); c’est-à-<lirc que si AF et FB sont égales, CG et GD le sont aussi entre elles.

De A et tic F, abaissons sur les parallèles, les perpentlieulaires AH, FI, et plaçons la figure BFI sur la figure FAll, de façon que BF recouvre cx<aclement FA. Puist|uc les angles AFH, FBI sont égaux comme correspondans (fio), BI s’applitjuera sur FII. Mais, AH et FI sont parallèles, élant toutes deux perpemliculaircs à FG (57 et 54), et par suite, les angles BFI, FAH sont égaux comme correspondans ; donc FI s’appliquera stir AH ; donc Fl et BI SC rencontreront au même point cpie AH et FII 3 donc I tombera sur H, et par conséquent, FI égale AH.

Ainsi, les parallèles AG, FG, BI) sont équidistantes (page yS). Il s’ensuit que les perpendiculaires CK, GL ont inèinc longueur (67); que la figure CKG , dont les angles sont égaux à ceux de la ligure GLI) (4o et 60), peut couvrir ex.aetement cette dernière; et que CG est égale à GI). On démontrerait de même l'égalité des autres parties de ED , quel que fût le nombre des parallèles qui divisassent £B eu parties égales , et la réciproque serait facile à établir.

Problème : Diviser une droite donni’e AB en un certain nombre de parties égales, en cinq par exemple, (P. 111, F. 8^.

Premier procédé: Par l’une des extrémités A, lirez une droite quelconque, et portez sur celle droile, à parlir de A, cinq fois une oiiverlure de compas arbilrairc. Cela vous donnera les points C, D, E, F, G. Joignez le dernier G avec B, par une droile GB; menez par les autres, des parallèles à GB ; vous marquerez les poiiiLs II, I, K, L qui seront tels, que les cinq parties AL, LK, Kl, III, HB se trouveront égales entre elles.

Mais, pour obtenir de ce tracé une grande exactitude, ou pour fpie les parties de AB, prises au compas, soient parfaitement égales, il faut que l'angle BAG, soit au plus d’environ 6o“; plus grand, il pourrait rendre les parallèles trop obliques sur AB, et causer, par suite, de l’incertitude, sur les. positions des points L, K , etc. Il faut encore que les parties de AG soient visiblement aussi grandes , au moins , que celles qui doivent être manjuées sur AB, ou que AG égale au moins la droite AB, sans la surpasser de beaucoup; autrement, les parallèles seraient trop obliques sur cette droile, même dans le c.is où l’angle BAG serait de 60°. Il faut enfin que les divisions de AG soient faites avec un compas à pointes très-fines, que les parallèles soient très-déliées, qu’elles passent exactement par les points de AG, et qu’elles soient tracées avec une ivgle et une équerre dont les arêtes soient parfaitement droites (appl. a, p. aô).

L’emploi de l’équerre , dans le tracé des parallèles BG , FII, etc., cause assez souvent des erreurs , par suite du dérangement insensible qui peut survenir dans la position de la règle. Employer le procédé du problème (</), page 70, pour éviter ces erreurs, ce serait compliquer singulièrement l’opération, et d’ailleurs, la

Au

go PR0P0RTI05ItAlITB DES DROITES.

multiplicité des traces qu’on fait pour parvenir à un résultat, est encore une autre source d’erreurs. Mais voici, pour diviser une droite en parties égales , un tracé exempt de tout inconvénient , qui a de plus le grand avantage de pouvoir être employé aussi facilement sur le terrain que sur le papier (*).

Deuxième procédé : Par l’une des extrémités de la droite AB qu’il s’agit de diviser, par exemple , en trois parties égales (P. III , F. g), tracez une droite quelconque AC et portez dessus la longueur ar— titraire AG, une fois de plus que AB doit avoir de parties, c’est-à-dire quatre fois, dans le cas actuel. Joignez ensuite les extrémités C , B , et sur le prolongement de CB , prenez BH = BC. La droite III tirée du second point de division de CA , à partir de C, coupera AB de manière que BL en sera le tiers , et si vous portez cette partie BL de L en K , les parties BL , LK , KA seront égales.

En effet , la droite BE menée de B au premier point de division de AC , serait parallèle à III , puisque ces deux lignes diviseraient en parties égales , les concourantes HC et IC (78). Tirant donc GK parallèlement à III , on aurait trois parallèles qui diviseraient AE en trois parties égales. La concourante AB serait , par conséquent , divisée de la même manière, aux points L et K; d’où il suit que BL est bien' le tiers de AB.

Afin de pouvoir marquer le point L très-exactement , il faut faire en sorte que HI soit presque d’équerre sur AB. Or , il en sera ainsi, lorscpi’on prendra la longueur arbitraire AG assez grande pour que AE surpasse un peu AB , l’angle BAC étant d'environ 60°.

Appl. (a): C’est au moyen du tracé précédent, qu’on divise l’échelle d’un plan. Celte échelle est nécessaire, pour qu’on puisse dessiner en petit , les objets qui doivent être ou qui sont exécutés en grand , et les représenter , de façon que le plan fasse connaître leurs vraies dimensions.

« On convient de prendre une certaine longueur, pour chaque toise ou chaque mètre : par exemple , une ligne dans le premier cas, un millimètre dans le second , et quand un objet a 3 mètres de hauteur, on lui donne sur le dessin 3 millimètres. Si, pour opérer ainsi , on veut faire une échelle qui représente 1 00 mètres , on tire sur le papier une droite à laquelle on donne 100 millimètres de longueur ou i décimètre. Il faut ensuite la diviser en 10 ou en 20 parties, pour qu’on puisse y prendre aisément des longueurs de 10 ou de 5 mètres. Il faut aussi diviser une au moins de ces parties , en 1 0 ou en cinq autres , pour qu’on puisse prendre i , 2 , 3 , 4 mètres , et la partie d'un mètre doit encore être subdivisée en 1 o parties , etc. Or, on ne pourrait obtenir toutes ces divisions avec exactitude , en appliquant un décimètre sur la droite qui représente 100 mètres, et marquant des points vis-à-vis des lignes de la mesure. Les tracés

(*) Ce proce'dé m’a e'ié commaniqué par M. Chenou , proviseur du collège royal de Metz, e t ancien professeur des cours industriels de Douai.

PBOPOKTIOTTNALIT^ DES DROITES. Qr

du n® 76 , sont donc indispensables ; il est également Indispensable de prendre, en les exécutant, toutes les précautions que nous avons indiquées ; car , pour peu que les divisions d’une échelle soient inexactes, il est impossible de parvenir à construire avec précision, l’objet représenté par le dessin j des erreurs très-graves peuvent meme en résulter. »

Adpi.. (6) : Les ouvriers de toute espèce ont souvent besoin aussi, dans leurs tracés, de diviser une droite en un certain nombre de parties égales. La plupart n’y parviennent que par un tâtonnement, et souvent, impatientés de ne pouvoir, avec le compas, réussir à tomber juste sur une extrémité de la droite, en partant de l’autre, ils se contentent d’un à -peu -près. Cette manière de travailler est extrêmement préjudiciable à l’iudustrie : il y a parfois dans les machines, des frottemens, des à-coups, des arêts , etc., qui n’ont pas d’autre cause. Nous ne pouvons donc trop recommander l’usage du dernier des deux procédés qui viennent d’étre exposés.

79. Le principe le plus général que fournisse la combinaison des parallèles et des concourantes , est celui-ci : Si de <leux concour-

, rarites,- l'une est divisée par des parallèles , en parties qui soient dans un certain rapport, les parties correspondantes de l’autre sont dans le même rapport.

Supposons, pour le démoniror, les concourantes AB, CD (P. III, F. 10) et les parallèles AC, FG, BD qui divisent la première AB en deux parties BF, AF, telles que leur rapport soit 3. Il faudra faire voir que les parties DG correspondante de BF , et CG correspondante de AF , ont aussi 3 pour rapport. Or, nous pourrons porter AF trois fois sur BF (i5), ce qui nous donnera les points. H,I; nous pourrons aussi mener par ces points , cTcs parallèles à BD, ce qui nous donnera sur CD, les points K, L. Alors, CG, GK, RL , LD seront égales , puisque AF, FH , III , IB le sont (78). Donc, GD contient CG trois fois , autant de fois que BF contient AF. Donc, le rapport des deux parties de AB, est égal au rapport des deux parties de CD , et ces 4 droites forment la proportion BF ‘ AP

::dg:cg.

Il est aisé de voir qu’au moyen du mêmd raisonnement, on démontrerait la justesse de la proportion AE! AB üCEiCD. Conséquemment, deux .concourantes sont toujours divisées en parties proportionnelles , par leur intersection et des parallèles.

80. Réciproquement , si deux conoourantes AB , AC sont divisées en parties proportionnelles par leur intersection A et des transversales DE , BC , ces transversales sont parallèles entre elles (P. III, F. 11).

D’après cet énoncé, on a AD 1 DB ! ! AE ! EC. Mais, si BC n’était pas parallèle à DE , on pourrait mener par B , une droite BF parallèle à DE , ce donnerait AD ’. DB I AE '. EF. Ia droite AE contiendrait donc la droite £P , autant de fuis qu’elle

ga P&OPOHTIOinTAlITé DBS DHOITES.

contient EG qni est plus petite que EF. Gela ne peut être, et, par. conséquent, on ne peut mener par B, une droite qui soit parallèle à DE et qui ne se confonde pas avec BC. Donc , BG est vraiment parallèle à DE.

S'il y avait trois transversales, on démontrerait d’abord que FG (F. lo) est parallèle à AC, en vcrtii de la proportion AE 1 AF ” CE ! CG , et ensuite (pie BD est aussi parallèle à AC., en vertu de la proportion AE 1 AB 1 CE I CD.

Probl. (fl) : Ce principe fournit un moyen fort simple de tracer ttnc paraltcle , par .un point donne sur le terrain, quanti toutefois ce terrain est exempt d’obstacles et que les parallèles ne doivent pas êü'e fort écartées.

Mesurez une droite AC dirigée du point marqué A, à la droite donnée CD (P. III, F. la); puis prenez sur AC, une partie CE qui en soit la moitié ou le tiers, le quart, le dixième, etc. Tracez ensuite par E, une concourante DE qui fasse avec AC le plus grand angle possible , et portez DE sur son prolongement EB , autant de fois que CE est contenue dans AE ; vous obtiendrez ainsi un point B tel que la droite AB sera parallèle à CD, car les concourantes AC, BD se trouveront divisées en parties proportionnelles , par les transversales AB , CD , et le concours E.

pROBL. (ft) : Trouver une quatrième proportionnelle à trois droites données A, B, C (P. III, F. i3); c’est-à-dire, déterminer la longueur d’une droite inconnue X qui soit telle qu’on ait

Je tire deux çoncouranics quelconques DE , DF ; je porte sur l’une des deux , la droite A de D en G , et la droite B de G en II j je porte la troisième droite C sur DF-, de 1) en I ; je joins G et I j je mène par H une parallèle à GI , et IK est la droite chercliée, représentée par X I car en vertu du principe 79, le rapport de DG à GlI ou de À à B est égal à celui de DI à IK ou de C à X.

Le procédé est le même , quelle que soit la place de la droite inconnue X dans la proportion. Il ne s’agit que d’avoir l’attention de porter sur la même droite DE , les deux termes du rapport connu, et de joindre l’extrémité du premier terme de ce rapport à l’extrémité du premier terme de l'autre , ou de joindre les extrémités des deux Seconds termes , s’ils sont connus tous deux. Au reste , si X est un moyen , on pc'ut mettre les moyens à la place des extrêmes, afin de retomber dans le cas précédent (7a).

Probl. (c) : Trouver une troisième proportionnelle à deux droites données. A, B (P. III, F. i4).

Il est sous-entendu, pour un tel tracé, que l’une des droites données, celle qni est désignée la dernière, doit être répétée dans la proportion et former soit les deux moyens, soit les deux extrêmes. La droite cberchce X devra donc avoir une longueur qui convienne

PBOPORTIOÜITAUTB DES DROITES. g3

à la proportion A t B ! t B 1 X , par exemple. Le procédé précédent , suffit pour déterminer cette longueur.

Tirez deux concourantes CD , CE ; portez A de C en F et B de P en D ; portez encore B de C en G ; tirez FG , puis une parallèle DE , et GE sera la droite demandée , car CF FD 1 1 CG î GE (79), proportion qui donne cette autre A ! B 1 1 B ! GE.

Si l’on devait avoir B :a::x:b, on ferait retomber ce cas dans le précédent, en mettant les moyens à la plaee des extrêmes (72).

Appiicatioxs : Vous verrez par la suite , que les deux derniers tracés font partie de plusieurs autres : ils sont élémentaires , comme les tracés des perpendiculaires et des parallèles. On peut aussi employer le prcriiicr pour imiter, en petit ou en grand, une figure géométrique, quand les longueurs des lignes de cette figure ne sont pas données en nombres, et que, par suite, on ne peut se servir d’une échelle. Mais cette opération se fait plus brièvement , à l’aido d’un instrument nommé compas de proportion. Nous le ferons connaître, après que nous aurons démontré le principe suivant sur lequel il est fondé.

81. Les parallèles comprises entre deux concourantes, sont proportionnelles aux distances du concours à leurs extrémités correspondantes ; c’est-à-dire que AB î CD ! l AE 1 CE ou 1 1 BE IDE

Trarons par C, la droite CF parallèle à BE; nous aurons (79)

AF : FB :: AC : ce ou (‘74) af -+- fb : fb : : ac -h ce ; cÈ.

Mais AF -1- FB = AB , AC -+- CE = AE. Donc , AB : FB ! : AE : CE. Or, FB = CD , ce sont des parallèles comprises entre parallèles (G5V Donc enfin , AB 1 CD I : AE 1 CE.

On a aussi AB 1 CD 1 BE ‘ DE , puisque le rapport de BE à DE égale celui de AE à CE.

Il en serait encore de même , si l’intersection E se trouvait entre les parallèles , comme dans la figure ta: on aurait toujours AB! CD ! ! .AE ! CE ; car, CF parallèle à BD donnerait AB î BF ! ! AE :CE, et BF = CD.

Problème : Diviser une droite donnée AC en deux parties qui 'aient un rapport déterminé (P. III, F. la).

Menez par les extrémités A, C, deux parallèles quelconques AB, CD, et si le rapport est un nombre , a par exemple , prenez sur l’une des parallèles une partie qucleonque CD, puis portcz-la deux fois de À en B. Tirez alors BD’; le point E où elle coupera AC , sera tel , que AE se trouvera double de CE.

En effet, si l’on regarde CD comme étant i pied, i mètre, ete., AB sera a pieds , a mètres , etc. , et puisque (8i) AB ! CD ! ! A£ ! CE , on aura a ! i ! ! AE ! CE ou (70) AE = aCE.

Dans le cay où le rapport serait exprimé par deux nombres , comme J , vous porteriez trois fois une ouverture de compas quel-

g 4 PROPOBTIONNALITB DE3 OBOITES.

conque sur CD , quatre fois la même ouverture sur AB, et alors CE serait les ’ de AE. EnCn , si le rapport devait être celui de deux droites données , il faudrait porter l’une de ces droites sur CD et l’autre sur AB , pour avoir les extrémités de BD.

« Ce tracé nous servira par la suite , pour diviser une circonférence , un arc , un angle , en un noinbre quelconque de parties égales. »

, Appl. (a) : Copier en petit , un tracé exécuté en grand , et dessiner un objet géométriquement, en diminuant les dimensions, seraient des opérations fort longues, s’il fallait, pour réduire chaque droite, chercher une 4.''““ proportionnelle à trois droites dont deux du modèle et une de la copie. La réduction serait encore longue et fastidieuse, si l’on mesurait exactement toutes les droites du tracé ou de l’objet, afin de pouvoir employer une échelle. D'ailleurs, la construction de cette échelle ne serait pas sans difficulté , si les divisions devaient être petites. Il est donc très avantageux d’avoir un procédé qui n’oblige ni au tracé du problème (fr), p. 9a , ni à l’emploi d’une échelle: c’est le principe Si qui le donne.

« Angle de réduction : Tracez une droite quelconque AB (P. III , F. i6), et si vous voulez tiercer , par exemple, c’csl-à-dire réduire au tiers ou ne donner aux lignes de la copie, que le tiers de la longueur des lignes du modèle , portez trois fois sur AB une ouverture de compas arbitraire. Vous marquerez par là un point G. De ce point comme centre, et avec la même ouverture de compas, décrivez un arc de cercle au-dessus ou au-dessous de AB. De A ' et avec le rayon AC, décrivez un autre arc qui coupe le premier en D. Enfin, tirez AD; vous aurez Yangle de réduction B/VD. »

<t Maintenant, soit EF une droite du modèle; vous la prendrez pour rayon , et du point A , vous décrirez , avec ce rayon , un arc GII dont la corde sera précisément la droite qui, dans la copie, devra correspondre à EF. 3>

« Pour faire voir qu’il en est ainsi, il faut démontrer que la droite GlI est le tiers de AG. Or, GH est parallèle à la corde CD, puisque AC égale AD et que AG égale All (80); on a donc GH t CD AG 1 AC (81), ou, en changeant les moyens de place, GII 1 AG 1 1 CD 1 AC. Mais CD a été pris égal au tiers de AC; •• par conséquent, GH est aussi le tiers de AG. »

« Pour toute autre droite du modèle , on ferait ce qu’on a fait pour EF, et le dessin en petit ne contiendrait que des droites égales chacune au tiers de la droite, correspondante du dessin en grand ou de l’objet copié. »

Appl. (i) : Le procédé qui vient d’être indiqué pour réduire, est certainement plus long à démontrer qu’à mettre en pratique. Néanmoins, on l’abrége encore en se seirant du compas de proportion. Cet instrument, dont doit être muni tout dessinateur, est ordinairement en laiton, et sa forme est absolument celle d’un pied-de-roi, c’est-à-dire qu’il se compose de deu* règles réunies

PROPORTlOSlfAUTÉ DES DROITES. 9$

par une charnière. Sur chaque règle est tracée une droite exactement divisée en parties ég.iles , numérotées par dixaines , et chacune do ces droites AB, AC passe par l’extrémité A de l’axe de la chafnière (P. III, F. 17).

« veut-on, à l’aide d’un tel compas, réduire .au sixième, on prend une des parties égales, avec un compas ordinaire; on pose l’une des pointes sur le point qui termine la sixième partie de AB, et l’on écarte ou l’on rapproclic les deux règles, jusqu’à ce que l’autre pointe puisse se placer sur le point qui termine la sixième partie de AC; ou bien on prend dix parties égales et l’on pose les pointes du compas sur les deux points marqués 60 : comme 10 est J de 60 , l’écartcmcnt des deux points se trouve encore ^ de la distance 60.A. »

« L’instrument est alors ouvert convenablement, et il doit conserver la même ouverture pendant toute la réduction. Pour l’opérer, cette réduction, il suffit de prendre avec le compas ordinaire, une droite du modèle, de la porter sur AB, de A en un point que je supposerai numéroté 20, et de prendre avec ce même compas, l’écartement des deux points 20 nt^qués sur les règles. »

« Il est visible, d’après cela, qu’on agit en se servant du compas de proportion, comme eu se servant de l’angle de réduction. La démonstration faite sur la figure 16 sufüt donc. »

« Si , au lieu d’indiquer par un rapport numérique , quelle doit être la réduction, on l’indiquait par le rapport de deux droites tracées, une grande et une petite, il faudrait porter la grande dé A en un autre point D de AB, prendre la petite avec le compas ordinaire, ^ct ouvrir ou fermer le compas de proportion, jusqu’à ce que, l'une des pointes étant sur D; l’autre se plaçât sur E, point de AC port.mt le meme numéro que D. >

« Pour copier en grand, ce serait le contraire: la plus petite des deux droites devrait être portçc sur AB , à partir de A , et la plus grande déterminerait l’ouverture de l’angle BAC. Mais, on ne peut pas toujours se servir du compas de proportion , pour copier en grand : il est impossible, par exemple, qu’il donne une ligne triple d’une autre, puisque, pour en donner une double, il doit être tout-à-fait ouvert. Au reste, ce compas n’est utile pour le dessin des copies en grand , que dans le c.is où le rapport est exprimé par l’unité suivie d’une fraction, comme une fois et demie, une fois et tiers, etc. S’il s’agit de doubler, il est plus court de porter chaque ligne du modèle deux fois de suite , sur la ligne correspondante de la copie; s’il faut tripler , on l’y porte trois fois. » Ài*PL. (c) : Le compas à quatre pointes n’a pas l’inconvénient du compas de proportion : il convient à tous les cas qui peuvent so présenter dans la pratique ; en outre , il al)règc les opérations , attendu que des deux compas opposés qu’il présente, l’un donne la ligne réduite ou augmentée, dès que l’autre a scs pointes sur les extrémités de la ligne du modèle.

< La charnière peut être déplacée, c’est-à-dire que le pivot A

g6 FaopoRTio^KAirré des droites.

(p.m, P. i8) peut glisser dans une mortaise à jour, pratiquée sur chacune des branclies BC, DE ; on le rend fixe, au moyeu d’ua écrou de pression semblable à celui des compas ordinaires, et des divisions marquées sur l’une des branches, indi(|ucnt les positions que doit avoir ce pivot, par exemple, pour la réduction à moitié, au tiers, au etc. Un ta(|uet qui cmpéclic les branches de glisser l’une sur l’autre , permet d’opérer le changement de position , sans détruire l’égalité des branches du grand compas, ni celle des brandies du petit. »

« Supposons qu’il s’agisse de réduire au tiers; vous placerez l’indicateur F sur la ligne portant le n" 3. Alors, le pivot partagera BC,DE chacune en deux parties dont l’une sera le tiers de l’autre.

Les droites BD , CE ipie vous pouvez vous imaginer d’une pointe à l’autre, dans chaque compas, se trouveront donc parallèles (8o), et conséquemment CE sera le tiers de BD (8i). Ouvrez plus ou . moins l’instrunieiit , ces droites ne cesseront pas d’être parallèles, ni d’avoir le même rapport. Vous voyez donc qu’il vous suffira, pour réduire, de prendre, avec le grand compas, les lignes du modèle, et de faire, avee le petit, les lignes correspondantes de la copie. Pour ti'ipler, ce serait le contraire: le petit compas servirait pour le modèle, et le grand, pour la copie.

Appl. (rf) : Quand une échelle qui représente un certain nombre de mètres, o£fre pour chaque mètre, une longueur qui ne permet pas d’y marquer dislinctcinciit et avec exactitude , les décimètres ou dixièmes, on trace cc qu’on appelle re'cAc//e des parties^ au moyen de laquelle les décimètres peuvent être pris exactement et facilement.

« Soit AC (P. III , F. 1 9) une échelle de 4 mètres , tellt que A.I , le mètre, soit d’une longueur trop petite pour qu’on puisse le diviser en dix parties bien distinctes.’ On élève au point A, sur AC, une perpendiculaire AB, et sur cette perpendiculaire, on porte dix fois, une ouverture de compas arbitraire, assez grande pour qu’on puisse bien distinguer les uns des autres, les points i , 2, 3 .... 9, 10. Par les points I, II, III, IV, on mène parallèlement à AB, les droites équidistantes I.O, II.I, III.II , IV.III , C.IV. Enliii , ou tire les obliques Ao, I.I, II.II, lU.III , IV.IV, et l’on trace dix parallèles à AC, par les points 1,2 .... 10. Ces parallèles sont coupées en parties égales, par les parallèles I.o, II.I, etc. (65), ce qui rend 3E....9D, DF, IV.C égales entre elles et chacune égale à i mètre. »

« De plus, les parties de AB, comprises entre A et les points de division , sont proportionnelles aux portions de parallèles comprises entre AB et Ao (81), ce qui donne AilA.ioliiGlio.o. Or, Ai est la dixième partie de A. 10; donc, iG est aussi la dixième partie de 10. o ou d’un mètre, c’est-à-dire un décimètre. On a de même A3 I A.io y. 311 ; 10.0, et puisque A3 vaut 5 dixièmes de A. 10, 3II vaut .aussi 3 dixièmes de lo.o , ou 3 décimètres. ï

« Remarquons encore que , d’après l’égalité des parties de AC et de celles de lo.IV, les obliques Ao, I.I, II.II.... sont^ parallèles (66)ÿ et que, par conséquent , IK, KL.... valent chacune un mètre.

PKOPO&Tl'OinCALIT^ DBS DBOITBS. 97

Il sera visible alors que les mètres peuvent être pris entre les perpendiculaires ou entre les obliques, soit sur AC, soit sur lo.lV, soi*, sur Tune quelconque des parallèles qui coupent jVB ; que si , par exemple , on a besoin d’une lonfpicur de 3 mètres 6 décimètres , il faudra, pour l’obtenir, poser l’une des pointes du compas sur K, point de l’oblique III.III , et l’autre pointe sur 6 ; enfin , que n’étant pas obligé de poser ces pointes toujours sur la même droite AC , on est moins cx|)osé à faire des trous , aux points de division , ou à mettre l’échelle hors de service. »

« L’échelle des parties a donc deux propriétés importantes ; celle de donner des subdivisions très-petites, aussi exactement qu’il est possible , et celle d’offrir coastamment des divisions exemptes d’altération. On sent, d’après cela, qu’un dessinateur ne peut se passer d’une semblable échelle, quand il exécute sur le papier, des tracés dont les longueurs lui sont données en nombres ; aussi la trouve-t-on souvent toute faite , sur la règle qui termine le rapporteur. »

X 11 est à peine nécessaire de dire, que si les divisions de AC représentaient des décimètres , i G serait i centimètre; 3H, 3 centimètres , etc. ; et que si ces mêmes divisions représentaient des pieds, il faudrait couper AB, par la parallèles à AC, pour que iG valût I pouce; 311, 3 pouces, etc. En général, une échelle des parties doit avoir autant de parallèles à l’échelle AC des divisions principales, que chacune des parties est contenue de fois dans l'une des divisions. »

Ai'i’l. (e): Le principe du n°8i est propre encore à montrer Vinjlucncc de l’écartement des points sur la directon des droites.

« Lorsque nous avons exposé le tracé géométrique d’une, parallèle à une droite (p. 70), nous avons prescrit de ne pas marquer le second point directeur de eette parallèle , très-près du point donné , par la raison i{u’unc légère erreur dans le placement de la règle, donnerait une droite qui , si elle était prolongée , finirait par s’écarter beaucoup de la vraie parallèle. La meme précaution doit être prise toutes les fois qu’il s’agit défaire p.Tsser une droite par deux points à déterminer : on sera d’autant moins exposé à s’écarter de la vraie position de la droite, que les deux points seront plus éloignés l’un de l’autre. »

« Supposons que vous ayez à mener une droite par deux points A, B écartés seulement d’un pouce (P. III, F. ao), et que vous phacicz la règle à un quart de ligne au-dessus de l’un B de ces points; vous obtiendrez une droite telle que AC , au Keu de la droite AD qu’il s’agissait de tracer. Marquons sur AD, des parties égales à AB ou d'un pouce , et par les points B , E , F, G , D qui en résultent , élevons des perpendiculaires à AD. Ces pcrpctidiculaircs seront parallèles ; par suite , proportionnelles à leurs distances au point A (81), et l’on aura El 1 BII il E.i i BA. Or, EA est double de BA; donc, El est aussi double de BII et vaut une demi-ligne. Vous trouverez de la même manière que FK est de trois quarts de ligne , • que GL est d’une ligne , et que DC vaut cinq quarts de ligne. »

X Si donc votre droite doit avoir un pied du long, l'extrémité de

<)'8 PROPOKTIO!<RAl.rrB SES DBOITES.

celle que vous tirerez , se trouvera écartée de 3 L'gnes de celle qui aurait dû être tracée (47); au lieu que si vous eussiez pris pour points directeurs , A et G distans de 4 pouces , et que vous eussiez ' fait une erreur , comme ci-dessus , en plaçant la règle à un quart de ligne au-dessus de G, l’erreur à un pied n’eût été que de trois quarts de ligne. s>

82. Du principe 81 on déduit cet autre: Dea parallèles AB, CD, etc. sont divisées en parties proportionnelles , par des transversales GC, GE, GF, etc. qni partent du même point G (P. III, F. 21); c’est-à-dire que CE l AU I EF III.

On sait déjà que CE AH ! GE 1 GH et que EF 1 HI 1 1 GE 1 GH. Donc, à cause du rapport commun GE 1 GH auquel chacun des deux autres est égal , les deux premiers rapports sont égaux entre eux , et Fon a CE 1 AH I EF 1 111.

Problème : Diviser à la fois un nombre quelconque de droites a , k , m , etc. , en M/i même nombre de parties égales (P . III , F. a i ).

Portez sur une droite CD , une longueur arbitraire CE, autant de fois que a, k, m doivent avoir de pai-ties chacune, trois fois par exemple. Marquez un point G qui soit à une distance CD de C et de D (G), puis tirez CG, DG. Prenez ensuite successivement la longueur a, pour la "porter de G en A et en B; la longueur k, pour la porter de G en K et en L; la longueur ni, pour la porter de G en M et en N. Tracez enfin les droites ilB , RL , MN et les concourantes GE , GF , par les points de division de CD . Les droites AB, KL, SEV seront respectivement égales à a, A', ni et se trouveront divisées chacune en trois parties égales, par les concourantes.

D’abord, CD, AB, KL, MN sont parallèles, puisque ces droites divisent de la même manière GC etGD (8o);cnsuitc AB=AC==a, KL = KG = A, MN=MG = m, puisque Cü = CG (81); enfin AB, KL, MN sont divisées, par les concourantes, en trois parties égales, comme leur parallèle CD (8a).

« 11 est aisé de sentir que le tracé précédent donne le moyen d’abréger beaucoup, dans certains cas, les opérations géométriques. »

83. Tous les principes qui résultent de la combinaison des concourantes et des parallèles , peuvent être résumés en un seul que voici : Lorsqu’un système de concourantes et un sj'stème de parallèles se traversent , les concourantes sont divisées en parties proportionnelles ; il en est de même des parallèles, et les parties de ces dernières droites sont proportionnelles aux distances du concours à leurs extrémités correspondantes.

« Probl. (a) : Par un point A donné dans un angle BCD , tracer une droite qui se terminant aux deux cotés, soit divisée en deux parties égales par le point (P. III , F. aa). »

<t Menez par A > tine parallèle AE à l’un CD des côtés de l’angle ;

, COMBmAISORS cé^éRALES DBS DROITES» 99

portM CB do E en F; joignez F et A par une droite; prolongez cette droite jusqu’en G ; FG sera telle , que vous aurez AF = AG , car les concourantes FC , FG se trouveront divisées de la meme manière, par les parallèles. »

« PnoBL. (6) : Dans un angle BAC dont les côtés sont égaux , tracer une droite qui se terminant à ces côtés , soit égale à chacune des parties formées à V opposite du sommet (P. III , F. aS). ^

« Joignez B , C , par une droite que vous prolongerez , jusqu'à ce que CD soit égale à CA ; menez AD, et par C , tracez une parallèle CE à cette ligne ; enfin , par E y tracez une parallèle à BC ; cette parallèle EF sçra égale à BE et à CF, comme il est prescrit. »

« D’abord, BE=CF; car BE:EA"CF;FA (79), ou bien

be:be-i-ea::cf:cf-i-fa (75), ou encore be;cf::ba:

CA , et comme le dernier de ces denx rapports est i , le premiet est I anssi. »

« Pour faire voir ensuite que EF = CF, nous mènerons FG parallèlement à AD. Cela donnera une partie CG égale à CF , puisse CD = CA. Or, CG , EF sont égales , comme parallèles comprises entre parallèles ;doncEFet CF ont chacune mémo longueur que CG ; donc elles sont égales entre elles. »

Appi. (a) : Le premier des deux tracés précédens pourrait servir, par exemple, dans le cas où l’on voudrait faire sur l’angle BCD d’un mur (P. ni, F. 22), un pan coupé, et qu’une porte, de position donnée, par suite de quelque convenance , dût se trouver au milieu de ce pan. Si le point A était la position de l’axe ou ligne milieu de la porte , FG serait la direction et la longueur du pan coupé.

Appl. (ù) : Voici à quoi le dernier des deux tracés précédens peut être employé. Si AB et AC (P. Ill , F. 23) sont en plan (p. 79) deux murs de façade , deux murs qui forment l’encoignuré A d’une maison donnant sur deux rues , et si B , C sont les projections horizontales des arêtes verticales de deux fenêtres, on pourra désirer de faire un pan coupé EF qui laisse la même longueur de mur entre soi et chacune des fenêtres, et qui^dc plus ait cette longueur; car une telle disposition aurait certainement pins de grâce que toute autre. Dans ce cas, il faudrait exécuter sur le dessin ou sur l’épure en grand; le tracé que nous avons décrit , et la figure BEFC représenterait le plan ou projection horizontale du pan coupé et des parties restantes des deux murs. On pourrait donc , d’après ce plan , savoir au juste où devraient être faites les nouvelles encoignures E , F, pour remplir les conditions qu’on se serait imposées.

COHBINAISOKS c£xÉlLAI.ES DES DBOITES.

Parmi les droites que nous avons considérées jusqu’ici , les unes sont assujetties à sc couper sous des angles parfois déterminés ; les autres ne se rencontrent jamais. De telles combinaisons ne sont que des cas particuliers: la propriété démontrée dans le n° 79, par

too COMBINAISONS GÉNÉHALES DES DHOITBS.

exemple , convient seulement à un système de droites dont quelquesunes sont parallèles. Il nous reste donc à étudier les combinaisonê générales des lignes droites tracées sur un tableau , c’est-à-dire les combinaisons dans lesquelles rien n’est prescrit, relativement aux positions de ces lignes les unes par rapport aux autres.

84. Quatre droites AB, BC, CA, DE (P. III, F. u4) qui, tracées au hasard, se coupent deux à deux, d’une manière quelconque , forment un système qu’il faut bien se garder de croire dénué de propriétés ; il en a de constantes qui sont d’une grande importance , puisqu’elles fournissent les moyens les plus simples d’of)érer géométriquement sur le terrain. Pour bien saisir ces propriétés, vous devez remarquer que chaque droite, DE par exemple, est une transversale, par rapport au S3œtèmc des trois autres considérées comme illimitées (p. 67); que sur chacune de ces dernières, elle forme deux parties comprises entre son intersection et celles des deux droites restantes: ELA, ËBsur AB; FC, FA sur AC; DB, DC sur BC ; que de ces six parties , il en est qui ont une extrémité commune: telles sont EA, EB, et EB, DB; enfin, que d’autres sont séparées ou n’ont pas d’extrémité commune : EA est séparée de DB par EB , FC est séparée de EIA par FA , DB est séparée de FC par DC, et chacune des parties EB , FA, DC çst séparée de celle qui la suit dans ce groupe, par une de celles du groupe EA, FC, DB.

Pour former facilement les deux groupes de parties séparées, il convient de partir successivement deS' trois points E, F, D de la transversale. Les parties comprises entre ces points et les intersections différentes des droites coupées, composent un groupe de parties séparées ; les parties restantes font l’autre groupe.

Ainsi, partant de E, je prends EA; puis partant de F, je prends FC, parce que C est une intersection diflférente de l’intersection A à laquelle je viens de m’arrêter; enfin, partant de D, je prends DB, parce que B est différent de A et de C. Je trouve de la sorte, pour les parties séparées relatives à la transversale ED ,

t" groupe: EA, FC, DB, groupe: EB, FA, DC.

Pour les parties séparées relatives à AB , considérée comme transversale du système des trois autres droites , on a :

i”' groupe: AF, ED, BC, x"' groupe: AC, EF, BD.

Pour les parties séparées relatives à la transversale AC , on a :•

i” groupe: AE, FD, CB, a' groupe: AB, FE, CD.

Enfin, pour les parties séparées relatives à la transversale .BD , on a: '

1" groupe; BE, CA, DF, ‘3.° groupe: BA, CF, DE.

85. Toute transversale DE d’wt système de trois droites illimitées

loi

COXBIRAISONS CÉ5ÉBAI.ES DBS DROITES.

qui se coupent deux à deux, forment sur ces droites six parties telles, qu'il y a i‘galitc entre le produit de trois parties séparées et celui des trois autres; c’est-à-dire que DE considérée comme transversale de AB, BC, CA (P. III, F. a4), donne ce qui suit: EA X FC X DB = EB XFA X DC.

Menons CG parallèlement à AB. Nous aurons (8i)

e.v;fa:: cg:fc db;dc;:eb:cG;

et si nous mulüplions les termes correspondans , il viendra (73) EA X DB : FA X DC : .* CG X EB FC X CG.

Donc (70),