P. VII, F

Il suffit pour cela de mener par le sommet C , une droite parallèle à BA , et par le sommet A , une parallèle à BC. Ces deux parallèles se rencontrent en uij point E , et forment le polygone ABCE qui est un parallélogramme (i86) de même base BC et de même hauteur AD que le triangle.

Il suit de là et du n° 1 86 , que tout triangle est la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.

192. Deux triangles de même base et de même hauteur sont équivalens; car ils sont chacun la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur , et comme ces deux parallélogrammes ont des bases égales et des hauteurs égales, ils sont équivalens ; or , les moitiés de deux choses équivalentes doivent être équivalentes.

Deux triangles ABC , FBC (P. VII , F. 33) qui ont même base BC et dont les troisièmes sommets A , F se trouvent sur une parallèle EF à cette base , ont nécessairement aussi même hauteur , car celle de chacun est la distance des deux parallèles (67). On peut donc dire aussi que deux triangles de même base, compris entre parallèles, sont équivalens.

PaOBLàME : Faire un triangle qui soit équivalent à un autre donné ABC (P. VII, F. 33).

Menez par un sommet A, une parallèle AF au côté 'opposé BC, et joignez les extrémités B , C de ce côté à un point quelconque F de la parallèle. Les triangles FBC , ABC seront éqpivalens , parce qu’ils auront même base BC et seront compris entre parallèles.

' Si les triangles devaient être séparés, il faudrait abaisser une perpendiculaire AD du sommet A, sur le côté opposé; puis, en on point quelconque d’une droite égale à BC , élever une perpendiculaire égale à AD, pour avoir le troisième sommet du triangle demandé. >■

QCADHIIATÈRES. 201

Appl. (a) : Le parallélograininc joiie un grand rûTe dans la mécanique. Si deux efforts sont e.xcrecs sur un même point A (P^VII, F. 34), selon deux directions différentes AB, AC, et tpt’iK soient proportionnels à deux parties AD , AE de ces directions , l’effort total est dirigé selon la diagonale AF du parallélogramme ADFE construit sur DAE , et de plus le rapport de cet effort total .i chaque effort particulier, est le même que celui de la diagonale AF an côté correspondant du parallélogramme; de sorte que l’effort total l’effort selon AB, par exemple ÎI ÀF î AD, proportion <[ui permet de déterminer l’effort total, quand on connaît les efforts particuliers (p. 88).

Appl. (Z>): Le parallélogramme est employé lorsqu’il p’agit de transformer un mouvement de v.a-et-vient , selon une ligne droite, en mouvement de va-et-vient circulaire, on réciproquement. Dans CCS cas, on attache un parallélogramme ABCD (P. VII, F. 35) .à un balancier AE dont l’axe de rotation est E. Les angles de ce parallélogramme peuvent changer .à mesure que AE tourne autour de E , ou pendant que A et B décrivent des arcs de cercle , car il y a des articulations aux quatre sommets. Il est vrai que ' le mouvement circulaire de AE tend à écarter le point D , de la direction DF ; mais le sommet C étant lié à un point fixé G, au moyen d’une barre GC, se trouve obligé de tourner autour de G, ce qui tend à écarter D de la droite DF, dans un sens contraire au premier écartement, et il en résulte que D peut suivre FF' pendant un certain temps. Si donc la tige d’un piston de machine ,i vapeur est attachée en D et dirigée suivant FF', l’extrémité du balancier pourra parcourir un arc ,\A" et le piston une longueur DD", sans que cette tige dévie de sa direction. <■

« Ordinairement, on sait quelles doivent être la course verticale du piston et la longueur du balancier EA. Il reste à trouver la longueur du contre-balancier CG et la position de l’axe G; on y parvient en construisant l’épure du mécanisme, soit en grand, soit d’après une échelle. »

« Pour faire cette épure, vous tirerez deux droites EH, EF' qui se coupent d'équerre en I ; de chaque côté de I , vous porterez la moitié de la course du piston, et par les points rf, d' qui en résulteront, vous tirerez deux parallèles à EH. Ensuite, il faudra marquer le centre d’oscillation E, à une distance de I un peu plus grande que EA, et décrire de ce point, avec le rayon EA, un arc qui coupe les deux parallèles à Eli. Par là seront déterminées les positions extrêmes AE , A"E du balancier. Prenez alors une longueur arbitraire, pour chaque petit côté du parallélogramme, et décrivez, avec cette longueur et du point A , uu arc qui coupe FF', afin d’avoir la position la plus élevée du sommet D. Une parallèle à AD, menée par .4", vous donnera le point D" qui sera la position la moins élevée du sommet D. »

« Eu effet , le rabattement de la figure sur la figure L/AE ,

montre que la charnière lE passe par le milieu de l’arc AA'^" et

903 QCÀDBILATSBIS.

par le milieu de la corde AA"; cette corde est donc perpendiculaire sur lE (g3) et parallèle à dd' (54). Conséquemment AA"D"D est un parallélogramme (186), A"I)" = AD, et DD" = AA" = dd' . j>

« Prenez maintenant une longueur quelconque AB , pour chaque grand côté du parallélogramme, et achevez cette figure (p. 199); vous obtiendrez les deux positions extrêmes C, C" du quatrième sommet. Mais il en faut encore une intermédiaire ; vous la trouverez en construisant, par exemple, le parallélogramme A'B'C'D', comme vous avez construit ABCD. Cherchez enfin le centre d’un cercle qui passe par C , C', C" ; ce centre sera la position de l’axe G , et CG, la longueur du contre-balancier. Vous pourrez même mesurer l’horizontale EU, la verticale GH, et vous en servir pour placer convenablement le point G, en montant la machine.

Atpl. (c): Il existe un instrument nommé Pantographe, qu’on a inventé pour copier mécaniquement les dessins de toute sorte, soit en petit, soit en grand, et qui est fondé sur le parallélisme constant des côtés opposés du parallélogramme. Réduit à sa plus grande simplicité , il est composé de deux grandes règles dont les arêtes intérieures sont représentées par les droites concourantes AB, AC (P. VII, F. 36), et de deux petites règles dont les arêtes DE, DF forment les deux autres côtés d’un parallélogramme AEDF qui a des articulations a ses quatre sommets,

« Supposez qu’avec cet instrument, on veuille réduire un dessin de telle Caçon, que toutes" Tes lignes de la copie soient moitié des lignes correspondantes du modèle: On marque sur l’une des règles, sur AB par exemple , un point B tel que BE soit la moitié de BA , et l’on fixe ce point sur le tableau, de manière que l’instrument puisse tourner autour de B. Le crayon qui doit tracer la copie en petit, se place en un point quelconque G de DE, et la pointe qui doif suivre les traits du modèle , se met à l’intersection H de AC et de la droite BG, intersection qu’on peut trouver en appliquant une règle sur B et sur G ou en tendant un fil qui passe par ces deux points. Les choses ainsi disposées , si en poussant convenablement la règle AC , on fait parcourir à la pointe , je suppose , la doite HH', le crayon tracera une droite GG' qui se trouvera parallèle à HH' et çn sera la moitié. » •

« En effet , décrivons un arc , de B , avec un rayon BA ; décrivons de H', avec un rayon HA, unvsWoad arc qui coupe le premier en A'; BA'H' sera la nouvelle position du pantographe. Or, dans le passage de la première position à celle-ci, les angles seuls auront changé : les côtés du parallélogramme n’auront pas cessé d’être parallèles et les longueurs ne se seront point altérées. Par conséquent, BE' est la moitié de BA'; E'G' qui vautEG, est' la moitié de A'H', comme EG est la moitié de AH (81), et l’on a E'G' I A'B' ; : BE' : BA', ce qui nécessite que B , G', H' soient en ligne droite et que BG' soit moitié de BH' (79). Mais , puisque BE est la moitié de BA , BG est la moitié de BU ; les droites BH , BH'

QVAD&ILAliRES. ao3

sont donc conpëes en parties proportionnelles par GG' et UH'; eonsequemment , ces deux dernières droites sont parallèles, et GG' est la moitié de HH'.

€ Il est visible , d’après cette démonstration , que si la pointe H suivait un arc de cercle, le crayon G tracerait un arc de cercle équidistant (i 5a), qui serait moitié du premier, et qu’en général la ligne tracée pjr le crayon , est équidistante avec la ligne suivie par la pointe, ou que ces deux lignes ont même forme et que le rapport de leurs longueurs -est égal à celui de liE à BA. Si donc on veut réduire au tiers , au quart , au dixième , etc. , il faudra que BE soit le tiers, le quart, le dixième, etc., de BA. »

« On comprendra sans doute fort aisément que pour copier en grand, pour doubler par exemple, il faudrait que la pointe fût placée en G et le crayon en H : la ligne HH' que tracerait ce cr.ayon , pendant qu’on ferait suivre à la pointe directrice la ligne GG', se trouverait équidistante avec cette dernière et en serait le double. »

« Ordinairement, le pivot B du pantographe est implanté dans une masse de plomb qui se place sur le tableau et que le jeu de l’instrument ne peut jamais faire changer de position. Ce jeu est d’ailleurs rendu facile au moyen de trois petites roulettes pivotantes, placées sous les règles , une en A , une autre vers B et la troisième près de H. Le portc-cr.iyon est façonné en bilboquet , afin qu’on puisse le charger d’un petit poids qui force le crayon à marquer d’une manière continue, et il y a des poulies de renvoi, sur lesquelles passe un fil qu’il sufit de tirer, pour soulever ce crayon et l’empêcher de tracer. »

« Enfin , on trouve sur BE et sur DE des divisions numérotées qui servent à placer le pivot et le crayon convenablement , pour opérer dans les cas ordinaires. Celles de BE ont été faites comme il suit : on a pris BE égale à la moitié de BA, et l’on a écrit a sur la ligne B, ce qui signifie que BE est contenue a fois dans B.4; on a pris B'E égale au j de B'A, et l’on a écrit 3 sur la ligne B', ce qui signifie que B'E est contenue 3 fois dans B'A; ainsi de suite. En outre , on a retranché de B.A , la dixième partie de AE ou de BE, pour avoir la ligne B" sur laquelle on a écrit ce qui signifie que B"E vaut de AE et B"A fj do AE ou que le rapport de B"E à B"A est ; on a retranché de BA , un neuvième de BE, pour avoir la ligne B'" sur laquelle on a écrit ÿ, ce qui signifie que B'"E vaut | et B"'A ^ , ou que le rapport de ces deux longueurs est ainsi de suite, jusqu’à la soustraction de qui donne le rapport |. »

« Pour diviser DE, on a déterminé H, en menant une droite par B et par un point G voisin de D. Ce point H a été pris pour position invariable de la pointe directrice; des droites ont été menées par H et par les divisions de BE ; puis les points d’intersection de ces droites avec DE, ont été marqués des mêmes numéros que les points correspondans de BE. Il en résulte que s’il s’agit de copier un dessiu au cinquième, il faut placer le pivot sur la drAsion

' 304 QVAOHILATÈRES.

5 de BE , et le crayon sur la division 5 xle DE , la pointe directrice étant toujours en II. r

195. Losange: Le parallélogramme qui a scs quatre côtés égaux entre eux, deux angles obtus et deux angles aigus, est nommmé losange. Ce mot était anciennement féminin j mais les géomètres ont pris l’habitude de dire un losange.

Puisque dans le losange ABCD (P. VII , F. 37), AB = BC, et que d’apiès le n“ 187, AE = EC, BE est perpendiculaire sur AC (5a). Donc, les diagonales cTun losange se coupent à angles droits. ' ■

Puisque les obliques AB, BC sont égales et que BE est perpendiculaire sur AC, les angles EBA, EBC sont égaux (5 1). On verrait de même que ECB — ECD, que EDC = EDA et que EAD = EAB. Donc , les diagonales d'un losange sont les biseclrices de ses anglfs.

ËnGn, comme il suit de ce qui vient d’être dit, que le triangle BCD peut couvrir BAD , par rabattement, et qu’il en est de meme de ABC a l’égard de ADC, les diagonales d'un losange sont ses axes de symétrie (pS).

D’après le principe 187, les axes de sjTuétrie d’im losange se coupent mutuellement en deux parties égales. La meme chose a lieu pour toutes les droites qui passent par E et se terminent aux côtés du losange : par exemple , le point E est le milieu de la droite quelconque FG. , .

Pour démontrer qu’il en est ainsi , nous mènerons EH de manière que l’angle DËH = DEF ; cette droite couvrira EF, si l’on opère le rabattement , au moyeu de la charnière BD. Donc EF=EH. Mais , puisque les angles DEII , DEF sont égaux , leurs dilTércnces à 90“ sont égales , ce qui donne CEII = AEF ou CEIl = CEG (35). Si donc on fait tourner ABC sur AC , EG viendra couvrir exactement EH. Par conséquent, EF, EG ont même longueur que EU, et sont égales.

Ainsi , Y intersection des axes de symétrie du losange est un CENTEX DE SYHéTRfE, c’est-à-dire qu’en ce point, il y a symétrie pour toutes les droites du polygone qui s’y croisent.

< 194. En général, il faut, pour que V intersection des axes de

symétrie d’un polygone soit centre de symétrie, que ces axes se coupent déquerre deux à deux; car c’est seulement alors que les ' déux parties de l’un peuvent se superposer exactement, quand on fait tourner sur l’autre, pour opérer un rabattement.

Le centre de symétrie n’est pas toujours centre de figure, comme . le montre l’exemple du losange dont les quatre sommets ne peuvent se trouver à la fois sur une circonférence décrite de E