ABCDE (P. IX, F

POLYGONES

que le polyg«)DC étoilë doit avoir de pointes ; puis prolongez tous les côtës , et marquez l’intersection de chaque couple de cotés séparés par un troisième (P. IX, F. 8).

Lorsque le polygone primitif a plus de six sommets, les côtés du couple dont on marque l’intersection, peuvent être sépares par deux autres (F. ii), et lorsqu’il y a plus de huit sommets, les côtés 'de chaque couple peuvent être séparés par trois autres. On obtient des pointes d’autant plus prononcées , que les côtés de chaque couple dont se marque l’intersection , sont séparés par un plus grand nombre d’autres eôtés.

Soit, pour e.xemple, à construire par extension , un polygone étoilé régulier, à cinq pointes. Vous tracerez le pentagone régulier ordinaire FGHIK (F. 8), et après en avoir prolongé tous les côtés , vous marquerez les intersections A, B, etc., de chaque couple de concourans. Il en résultera le polygone étoilé à cinq pointes et régulier AFBGCIIDIEK.

Ce tracé est une consétpience nécessaire du principe 2a3. Si cependant on en voulait une démonstration particulière, il serait facile do faire voir que les triangles FAK, FBG sont égaux (i66), puis d’en déduire l’égalité des côtés et celle des angles saillans du polygone étoilé. Quant aux angles renlrans , ils sont opposés par le sommet aux angles du polygone primitif.

, 224. On peut aussi conertfc-e du principe 2Îi3 ou démontrer

directement, que les sommets des angles saillans d’un polygone étoile régulier, construit par extension , forment un polygone régulier ABC1)E , de même nom que le polygone primitif FGIlIK (P. IX, F. 8).

225. Enfin , les tracés qui précèdent, font voir que tout polygone étoilé régulier a les mêmes axes de symétrie, que le polygone régulieé ordinaire duquel il est déduit,

226. Le polygone étoilé pentagonal est le plus simple des polygones étoilés réguliers qu’on puisse tracer ; le carré n’en peut donner un : on n’obtient que les deux diagonales , si l’on joint chaque sommet avec le second des sulvans. Quant au triangle équilatéral, il n’a point de diagonales.

227. Le nombre des polygones étoilés qui peuoent être déduits d’un polygone ordinaire impair , ea* la moitié du nombre de côtés de ce polygone diminué de trois.

« Il est visible en, effet, qu’il y a égalité entre le nombre des polygones étoilés qui peuvent être déduits d’un polygone ordinaire, et le nombre des diagonales inégales qu’on peut mener d’un même sommet, dans le polygone primitif. Or, si ce polygone est impair, il faut pour trouver le nombre des diagonales inégales, ôter d’abord dii nombre des côtés ou des sommets, le sommet A de départ

POLTCO^TES. 349

(P. IX, F. 8); pois prendre seulement la moitié du reste, pour supprimer les' sommets D, E; et retrancher enfîn le sommet B qu'on doit passer au moins. Si donc nous représentons par n le nombre des sommets du poIyf;|one primitif et que nous fassions sur'n les opérations qui viennent d’être indiquées, nous trouverons pour le nombre des diagonales inégales et des polygones étoilés dilTérens ,

« Il s’ensuit que le pentagone ne peut donner qu’un seul polygone

etoile: car, pour le pentagone, n = 5 et — c=-=:i.

Il est clair effectivement que, si, au lieu de passer seulement le sommet B , vous passez B cl C , vous joignez alors A à D ; que cela revient à passer le sommet E, en suivant une marche inverse, et qu’il doit en résulter la même figure. »

« L’heptagone donne deux polygones étoilés (F. toct 1 car, n — 3 7 — 3 4 O- .

dans ce cas , = =r - = a. Si 1 on voulait passer les

trois sommets B, C , D (F. 1 1), on aurait la diagonale AE, comme en passant seulement les deux sommets F, G. a

228. Le nombre des polj'ffones étoilés qui peuvent être déduits éTun polygone ordinaire pair , est la moitié du nombre de côtés de ce polygone diminué de quatre.

« En effet, pour obtenir le nombre des diagonales inégales qui, n’étant pas axes de symétrie, peuvent être tirées d’un même sommet A (P. IX, F. 9), il faut d’abord ôter du nombre n des sommets ou des côtés , A et D , extrémités d’un axe de symétrie , ce qui donne n — a; puis prendre la moitié du reste, afin de supprimer n— a

E , F, ce qui donne — -- , et retrancher enfîn le sommet B qu'on

doit passer au moins. On a donc, pour le nombre des polygones étoilés différens fournis par un polygone pair.

Fl— a n — a a n — a — a n — 4

< Ainsi, l’hexagone ne peut produire qu’un seql polygone étoilé;

Fl — 4 6 — 4 > .

car, dans ce cas, = =-=i. Effectivement, on

n’obtiendrait que l’axe de symétrie AD, si l’on voulait passer les

deux sommets B, G. »

< L’octogone peut donner deux polygones étoilés différens

(F. ta et i3); car, pour ce cas , — ^ = — - — = - = a. Si l’on

passait les trois sommets B, G, D (F. 13), on obtiendrait seulemenl l’axe de symétrie A£. >

aSo poiTcoires. ^

■■ « Vou» verrez tout aussi facilement que ^e polygone de neuf côtés donne teois polygones étoilés difFérens , que le décagone n’en fournit pas davantage , et qu’on peut en déduire quatre seulement , des polygonesWe onze et de douze côtés. »

Donc , un polygone pair ne donne pas plus de polygones étoilés , que le polygone impair qui a un côté de moins.

Enfin, il faut observer que dans certains cas (F, g et la), le tracé par réduction, d’un polygone étoilé, exige qu’on prenne deux points de départ A, B, tandis que dans d’autres (F. 8, lo,

1| I , i5) , un seul point de départ A est suffisant.

Il est bon de remarquer aussi que les cotés d’un polygone étoilé de seconde espèce (F. 1 1 et 1 3 ) , forment en se coupant , un polygone étoile de première espèce (F. lo et la). i

Éexuré DES POLVGOKES : Nous avons assigné les caractères auxquels on reconnaît que deux triangles sont égaux ; nous avons fait ' connaître aussi les conditions nécessaires pour que deux parallélogrammes puissent se superposer. C’est de l’égalité des autres pol}'gones , que nous allops maintenant nous occuper.

229. Deux polygones réguliers sont égaux, quand l’angle intérieur et le coté de l’un, sont égaux, à l'angle intérieur et au côté de Vautre ; car il est visible qu’alors les deux figures peuvent se superposer dans toute leur étendue: les côtés de l’une prennent les directions des côtés de l’autre et se terminent aux memes points. Or, quand deux polygones réguliers ont un même nombre de côtés, ils ont le même angle intérieur (p. aai). On peut donc dire que deux polygones réguliers sont égaux, lorsqu’ils portent le méms nom , et qu’en même temps le côté de l’un égale le côté de l’autre.

250. Deux polygones réguliers sont encore égaux, quand ils portent le même nom, et que les rayons des circonférences circonscrites sont de même longueur.

En effet, chaque circonférence sera partagée en parties égales par les sommets , et comme il y aura le même nombre de parties dans les deux courbes , les arcs de l’une contiendront autant de ■degrés que les arcs de l’autre. Or , puisque les rayons sont égaux , les premiers arcs auront la même longueur que les seconds (17); par conséquen t , le côté AB ( P . IX , F, 14), sera égal au côté A' B' (2 3), et en vertu du principe qui précède, les deux polygones seront égaux.

PaoBLÈME : Construire un polygone régulier qui soit égal à un polygone régulier donné ABCDEF (P. IX, F. i4)-

Cherchez le centre G de la circonférence circonscrite au polygone donné (p. 217); décrivez avec le rayon GA , une circonférence G' ; ’ prenez le côté AB et portez-le comme corde , sur cette circonférence , antant de fois qu’il pourra y être contenu. Vous obtiendrez le poly-

Il Cj*

P0LTCO5BS. a Si

^ne A'B'C'D'E'F' qui aura autant de côtés que le polygone donné et pourra le couvrir exactement.

231. Le moyen le plus simple de reconnaître si deux polygones irréguliers sont égaux , c’est d'examiner s'ils peuvent être partagés en un même nombre de triangles et si les triangles de même rang sont égaux; car lorsque les triangles ABC, ACD, ADE (P. IX, F. i5) égalent les triangles de même rang A'B'C', A'C^D', A'D'E', les deux polygones sont exactement superposables , puisque chaque triangle du second peut couvrir exactement son égal dans le premier. Or, de l’égalité des triangles de même fang, résulte qu’ils ont des côtés égaux , et réciproquement l’égalité des côtés entraîne celle des figures triangulaires (164). On peut donc dire aussi que deux polygones quelconques sont égaux , qtmnd les côtés et les diagonales tirées d'un sommet y dans l’une des figures , ont même longueur que les côtés et les diagonales de même rang, appartenans à l’autre,

Probl. (a): Construire par trùtngles , un polygone qui soit égal à un polygone quelconque donné ABCDE (1*. IX, F. i5).

Faites le triangle A'B'C' égal au triangle ABC dont vous pouve* prendre les côtés (164); tracez sur A'C', le triangle A'C'D' égal à ACD ; formez sur A'I)', le triangle A'D'E' égal au triangle ADE , et continuez toujours ainsi , jusqu’à ce que vous ayez construit tous les triangles qu'on pourrait faire dans le polygone donné , en tirant des diagonales d’un sommet à tous les autres.

Observez qu’il serait superflu de tracer les droites AC, A'C' et AD, A'D'; les distances AC, AD peuvent être prises sans cela, et il suffit de marquer les sommets C', D', pour les joindre aux autres.

Lorsqu’on veut vérifier l’opération , ce qui est toujours convenable , il faut ex.aminer s’il y aurait égalité entre les diagonales qui seraient menées par un des sommets voisins de A et A': si , par exemple, les droites E'B', E'C' sont égales aux droites EB, EC.

Le tracé qui vient d’être enseigné, est simple et rapide; mais dans le cas où quelques-uns des triangles ont des angles fort aigus et des angles très-obtus , il devient difficile de déterminer exactement les troisièmes sommets , au moyen d’arcs de cercle. Si , par exemple , l’angle A du triangle ADE était très-aigu et l’angle D très-obtus, les arcs décrits pour trouver le troisième somnv*t E' du triangle A'D'E', seraient presque tangens , et l’on ne pourrait marquer avec précision leur intersection. Le procédé suivant n’a pas cet inconvénient.

Probl. (ô):' Construire un polygone égal à un autre , au moyen de projections sur une diagonale (P. IX , F. 16). *

Tirez , dans le polygone donné, la plus grande diagonale possible AB ; projetez tous les côtés sur cette droite , en y abaissant une perpendiculaire de chacun des autres sommets ; puis tirez une droite A'B' égale à AB ; porlcz-y les projections des côtés : AD de A' en D',

FOLreons.

aSa

DF de D' ca F’, etc. ; ëlercz par les points D', F', etc. qui «a résultent, des perpendiculaires sur A'B'; prenez D'C' = DC, F'E' = FE , etc. ; joignez A' et C', C' et E', etc., et vous aurez un ^polygone A'C'E'...B'... qui sera parfaitement égal à ACE. ..B...

Vous avez dû reconnaiire le procédé donné page 8i, pour reporter une courbe , d'une épure sur la face d’un corps, et vous verrez sans peine, que la ligure qu’il donne, peut Couvrir exactement celle que vous deviez copier. Mais , quand les perpendiculaires sont longues , la moindre erreur dans leurs directions , 'peut en causer de fort grandes sur les positions des sommets du polygone demandé. C'est pourquoi l’on doit préférer, dans ce cas, de projeter sur trois droites et même sur quatre : les perpendiculaires en deviennent plus courtes et les erreurs moins graves.' .

. Phobl. (c): Construire un polygone égal à un autre, au moyen de projections sur les côtés d'urt triangle (P. IX , F. ty).

Choisissez trois sommcls A, B, C, tels qu’en les joignant deux à deux , vous obteniez un des triangles les plus grands et les moins irréguliers que puisse fournir le polygone donné. Des sommets qui avoisinent chaque côté du triangle, abaissez des perpendiculaires sur ce côté. Construisez un triangle A'B'C' égal au triangle ABC (i64),

' et faites sur chaque côté de celle figure , ce qu’il a été prescrit de foire sur A'B' (probl. b et F. i6). >

Les côtés du triangle ABC (F. 17) doivent dilierer le moins qu’il est possible , afin que cette figure ne renferme pas d’angles très-aigus; qu’elle soit pour cela même, plus susceptible d’être copiée avec précision , et qu’il puisse y avoir exacte superposition de A'B'C' sur ABC ; car, de cette superposition des deux triangles, dépend celle du polygone construit et du polygone donné , ou leur égalité.

PaoBL. (rf) : Construire un polygone égal à un autre, au moyen ■de projections sur les côtés d un rectangle.

Tracez un rectangle qui renferme le polygone donné (igS), et ;foites pour. les côtés de ce rectangle, ce qui est prescrit pour les côtés du triangle , dans le problème précédent.

On doit employer le rectangle ou le carré , au lieu de tout antre .quadrilatère , parce qu'une figure à angles inégaux est , dans certains cas, plus difficile à tracer avec précision.

Pbobl. (e) : Construire un polygone égal à un autre ABCDEF, au moyen du tricage (P. IX, F. 18).

. Tracez par tous les sommets dit polygone ABCDEF, des droites parallèles entre elles (p. 8a , appl. </) ; portez sur toutes , une même Jongueur arbitraire AA', et parmi les points qui en résultent , joignez ceux dont les correspoodans sont unis par les côtés du polygone donné. Vous formerez ainsi le polygone A'B'C'D'E'F' qui sera égal Ml polygone ABCDEF; car des droites qui joignent les extrémités

povrcrnsB. î53

de parallèles égales , sont parallèles et égales (6G) ; donc A'B'= AB^ B'C'==BC, etc., l’angle A' = A, B' = B, etc. (64), et les deux polygones peuvent se superposer exactement.

L’emploi du iricage est , comme vous voyez, bien plus expéditif que les procédés précédens. 11 faut donc le préférer, toutes les fois que le polygone demandé peut être placé sur le tableau où sc trouve le polygone donné.

Appl. (a) : Méthode de» carreaux. Les dessinateurs de plans , de cartes , et plusieurs autres artistes emploient le procédé du probl. (rf), de la manière suivante. Sur unedroite AB (P. 1X,F. ig), ils portent autant de parties égales qu’il en faut, pour que cette droite soit plus grande que la plus longue parallèle à AB , qui puisse être tracée dans

le polygone donné CDEF Aux extrémités A , B, ils élèvent des

perpendiculaires AM, BX , sur lesquelles ib portent des parties égales à celles de AB, jusqu’à ce que le polygone soit dépassé. Joignant M, N, ils ont un rectangle ABNM qu’ils divisent en iiandes par des droites, en joignant les points de division de AB, avec ceux de MX , et les points de division de AM , avec ceux de BN. Les premières de ces droites sont perpendiculaires aux secondes , et le rectangle ABNM se trouve partagé en carrés. Pour sc reconnaître facilement dans ce grand nombre de carrés , les artistes numérotent les* parallèles qui les forment. Ensuite, ils construisent un rectangle A'B'N'M' égal au rectangle ABNM (igS); ils portent Ai sur A'B' et sur M'N', sur A'M' et sur B'A', autant de fois qu’il peut y être contenu , et ils numérotent les parallèles de la seconde figure, comme celles de la première.

« Tout est alors disposé pour que la copie du polygone donné puisse être facilement exécutée. Veut-on marquer, par exemple, le sommet C , dans le rectangle A'B'N'M' ; on prend avec le compas , la distance de C à la droite I.I de ABNM et on la porte sur 1.1 de A'B'N'M', de P en Q ; on prend la distance de C à 9 .a de ABNM , et on la porte perpendiculairement à a. a de l’autre figure, de Q en G'. Le point G' est la position de G sur la copie. »

« Les' distances dont nous venons de parler, peuvent toujours être prises et portées , sans qu’on ait besoin de tracer des perpendiculaires , à cause de leur peu de longueur. >

« Pour avoir D', on prend sur 3.3, la distance de D à I.I, et on la porte de R en D'. En voilà bien assez pour montrer comment on obtient sur la copie , la position de chacun des autres sommets. Quand ils y, sont tous marqués , on les unit deux à deux par des

droites , et l’on obtient le polygone G'D'E'F' qui peut couvrir

exactement le polygone donné , si les rectangles et les parallèles ont été tracés avec beaucoup de soin , et si les distances des sommets aux parallèles , ont été prises et portées par quelqu’un dont l’œil soit exercé. >

« Gelte méthode des carreaux a cela d’avantageux sur les antres , qu’elle permet de tracer à vue, sans prendre de mesures , les sinuosités

z54 P0LTG0:«E3.

que pourrait présenter le plan ou la carte, entre deux sommet* du polygone; les côtés des petits carrés sont des limites qui ne permettent pas qu’on s'écarte sensiblement du vrai contour de ces sinuosités. » >

« Quand le dessin qu’il s’agit de copier , est précieux , on forme avec un châssis et des fils de soie, le treillis ABN5I et on Fapplique fixément sur le modèle. Un pareil treillis peut aussi être employé pour la copie, si l’on veut éviter de tracer les carrés ou carreaux. > Appi.. (Ï): Dans plusieurs métiers et même dans quelques arts, la copie d’une figure s’obtient par des procédés qui se rattachent encore plus directement que le précédent, à ce principe, que deux figures égales sont superposables.

« Les tailleurs, les couturières, les chaudronniers, les ferblantiers, les tailleurs de pierres, les charpentiers, les serruriers , etc. , posent un patron sur le tissu , sur la tôle , sur la pierre , sur le bois , sur le fer, etc., et abattent tout ce qui dépasse ce patron, soit avant de l’enlever, soit après en avoir tracé le contour. »

« Les dessinateurs appliquent par fois leur modèle sur une feuille de papier, puis avec une pointe très-fine, ils piquent tous les points dont ils ont besoin pour tracer la figure donnée; ou bien ils appliquent le modèle après en avoir piqué tous les contours , puis ils frappent dessus avec un poncif ou sachet rempli de charbon pulvérisé , ce qui produit une copie entière. C’est ainsi qu’on trace sur les tissus , les dessins des broderies; seulement, on emploie une pondre qui s’attache beaucoup plus fortement que celle du charbon. Mais, les deux derniers moyens gâtent tout-à-fait les dessins. 11 en existe encore trois antres: celui que nous allons décrire d’abord nuit aussi au modèle; les deux autres ne l'endommagent nullement, t

« On barbouille une feuille de papier avec du crayon noir ou rouge ; on applique sur une feuille blandie , le côté mâchuré ; on place le modèle sur le tout, et l’on en suit tous les traits avec une pointe un peu émoussée, qu’on appuie suffisamment pour produire une empreinte sur le papier blanc. C’est là ce qu’on appelle calquer. »

< Pour avoir une copie qu’on puisse facilement multiplier , sans recourir au modèle, il faut imbiber d’huile une feuille de papier, l’appliquer sur le dessin quand elle est bien sèche , et suivre avec un crayon , les traits de la figure donnée. Comme le papier huilé est transparent , il permet de bien distinguer tous les contours de cette figure. »

« Appliquez sur une vitre, la copie huilée; placez par-dessus, une feuille blanche et mince ; vous pourrez , avec un qrayon , suivre tous les traits de la figure donnée et la copier de nouveau. C’est là ce qu’on appelle calquer à la vitre. >

252. Il y a des faces qui peuvent se superposer exactement soit par application , soit par rabattement (a 5) ; d’autres , quoiqu’égales , ne sauraient se superposer que par rabattement. Dans la première classe sont tontes les faces qui ont de la s}miélrie. Ainsi, deux