P01TU03ES

Irois centinièlres (probj. e, p. 2î5), diviser un des côtés en dix parties égales , faire quatre autres octogones réguliers dans l’intérieur du premier, comme le montre ia figure G (P. IX), et se conformer pour le reste, à ce qui a été prescrit dans le probl. (c), p. 24 1. »

« Si l’on veut faire un filet à une volute ainsi tracée , il faudra répéter pour la seconde arête en spirale, toutes les opérations qu’a nécessitées la première. On sc donnera d’abord la largeur Au du Glel à son terme; retranchant celte largeur de i.A, on aura pour reste i.a, distance dç l’origine commune i, au nouveau terme a.

Puis, l’égalité t.n = 8/n fera connaître le nouveau module m.

On le portera sur i .6 , à partir de i ; on construira cinq nouveau;^ octogones réguliers, et l’on .achèvera du reste, comme, pour la première spirale. »

« J’ai voulu , en présentant aussi longuement l'application des polygones réguliers à l’imilalion de la spirale , vous mettre à meme de tracer, dans tous les cas, une des courbes les plus utiles à l’industrie. Je terminerai en faisant observer que la spir.alc dont les rayons ont une différence variable , est employée quand on désire que la volute se resserre moins rapidement autour de l’œil. »

Appt.. (A): La courbe à deux centres de l’appl. (/i), p. 178, forme un arc rani]Kint peu gracieux : la grande différence des deux arcs, qui se trouve inverse de celle des nombres de degrés, fait apercevoir le défaut de continuité. Mais, il existe un procédé, fondé sur le tracé des polygones réguliers , au moyen duquel on peut midliplicr les arcs de cercle, au point que l’arc rampant paraisse décrit d’un mouvement continu , même aux yeux des connaisseurs.

« Soient AB la différence des deux piédroits verticaux , et BC leur distance horizontale (I*. IX , F. 7). 11 s’agit de tracer par arcs de cercle, une portion de courbe qui parte de A, sc termine en C et soit tangente aux parallèles AB, CD. »

« L’arc rampant demandé comprendra donc 1 80°, et il semble , au premier aperçu , qu’on pourrait le décrire en développant la moitié d un polygone régulier pair, construit sur AB considérée comme ligne milieu. Mais le côté du polygone dépend de la ligne milieu, et il dépend en même temps de BC , puisque le développement du demi-contour doit égaler cette droite. Les données AB , BC devraient donc avoir une relation conven.able , pour qu’au moyen de l’une ou de l’autre, on obtint le même côté de polygone. Or une telle relation aura rarement lieu , et quand elle existera, rien ne le fera coniiaitre. »

« La solution générale du problème runsiste donc dans le tracé d’un dcmi-poIygone, régulier pair dont la ligne milieu, parallèle à AB , ait même longueur que cette droite et coupe BC en deux parties telles que la plus grande EC égale le développement. »

< Il faut' d'abçrd déterminer le point E. A cet effet, vous décrirez une demi -circonférence dont AB soit le diamètre, et vous

POLTGOÎtES.

y circonscrirez la moitié d’un polygone régulier dont le nombre de côtés soit double de celui des arcs à décrire (probl. u, p. a3i). Comme l’arc rampant de la figure est composé de quatre arcs de cercle , c’est un demi -octogone régulier qu’on a construit à gauche de AB, et pour cela, on a élevé une perpendiculaire au milieu de AB, rapporté la moitié de AB sur cette perpendiculaire, à partir de l’intersection , achevé le demi-carré ABFG , et employé le tracé du probl. (g), page aao , pour trouver le côté du demioctogone régulier circonscrit à la demi-circonférence dont AB est le diamètre. » , <

« Vous porterez ensuite successivement et bout à bout , sur le prolongement de BC , à partir de B, les côtés du demi-polygone construit. Cela vous donnera une droite BII égale au développement. Enfin , vous élèverez une perpendiculaire El au milieu de CH ; le point E ainsi placé, rendra EC égale au développement BH + BE ou égale à BIH-AI. »

« Si donc , au moyen de parallèles à FC , vous construisez à droite de El , un contour égal à celui du demi-polygone situé à gauche de AB (appl. P , p. 8i), il est clair qu’en développant ce contour augmenté de IA, comme pour tracer une portion de spirale qui parte de A (probl. b,p. 241), vous aurez un quatrième rayon KL=K.C , puisque EKL = EC. »

« Presque toujours BC est assez grand par rfjjport à AB, pour que le point E tombe 'entre B cl C. Si cependant il venait à se trouver entre B et H , les conditions de tangence pourraient être remplies , tant que A serait entre I et M. > ' ■

222. Polygones étoilés : Du tracé des polygones réguliers dérive encore celui des polygones étoilés réguliers. On donne le nom de polygone étoilé à toute face limitée par des droites , dans laquelle deux quelconques des angles saillans sont séparés par un angle rentrant. Quand tous les angles saillans sont égaux entre eux, qu’il en est de même des angles rentrans , et que tous les côtés ont la meme longueur, le polygone étoilé est dit régulier ; dans tout autre cas , il est irrégulier.

Les polygones étoilés irréguliers n’ont aucune importance, et nous n’en parierons pas ; mais nous consacrerons quelques momens à l’étude des réguliers , attendu qu’ils sont employés dans plusieurs ai'ts, tels que la vitrerie , la mosaïque, la marqueterie, le décor, la broderie, le jardinage, etc. On construit même des forts dont les parapets suivent les contours de polygones étoilés réguliers , et une foule de produits industriels présentent des formes ou des dessins dans lesquels figurent ces mêmes polygones.

Il y a deux manières de déduire d’un polygone régulier ordinaire, un polygone étoilé régulier : on l’obtient par réduction , et alors il est moindre que le polygone primitif, ou bien on l’obtient par extension, et alors il est plus grand que le polygone qui a servi à le former.

P0LXG03US.

Problème : Tracer par réduction, un polygone étoilé régulier.

Construisez un polygone régulier ordinaire qui ait autant de sommets ou de côtés, que le polygone étoile doit avoir de pointes, et joignez chaque sommet avec le second des suivans (P. IX , F. 8). Lorsque le polj'gone primitif a plus de six côtés , on peut aussi joindre chaque sommet avec le troisième des suivans (F. ii)", et l’on obtient un polygone étoilé à pointes plus saillantes. Les pointes sont encore plus prononcées, si, quand le polygone primitif a plus de huit côtés on joint chaque sommet avec le quatrième des suivans. Enfin , les pointes ont d’autant plus de saillie , que le sommet avec lequel on en joint un autre , porte un numéro plus élevé.

Supposons qu’il s’agisse de tracer un polygone étoilé régulier à cinq pointes. Vous construirez un pentagone régulier ABCDE (F. 8), et vous tirerez la diagonale AC, en passant le sommet B, puis la diagonale CE , eu passant le sommet D , puis les diagonales EB, BD, DA qui retranchent chacune un sommet. Vous formerez ainsi un polygone étoilé à cinq pointes et régulier , AFBGCHDIEKA.

D’abord les côtés sont égaux. En effet, la corde AC = la corde AD, puisque l’arc ABC = l’arc AED, et BÈ est parallèle à CD, puisque l’arc BC = l’arc DE (gS). Par conséquent AF=AK, comme AC=AD (79). De plus, .\C = BE, AB est parallèle à CE, et par suite AF = BF. On ferait voir de même que BF = BG , que BG = CG, etc. H

En second lieu , les angles saillans KAF, FBG , etc , sont égaux , puisqu’ils sont tous inscrits et qu’ils comprennent des arcs égaux (98). Les angles reutrans AFB, BGC, etc., sont aussi égaux, par la raison que les triangles ABF, BGC, etc. sont égaux (tC4).

Il est visible d’ailleurs que cette démonstration peut s’appliquer à tous les cas.

223. Les sommets des angles rentrons d'un polygone étoilé régulier, construit par réduction , forment un polygone régulier de même nom. que le polygone primitif; c’est-à-dire, par exemple, que la figure FGIIIK. est un pentagone régulier, comme la figure

Il résulte effectivement de la démonstration précédente , que le triangle FAK = FBG = GCII = etc. (i65); donc KF==FG = GH — etc., et puisque l’angle rentrant AFB = BGC = etc., leurs opposés par le sommet KFG , FGII , etc. , sont aussi égaux. Enfin, les' côtés de la figure f GllIK , eu meme nombre que les pointes du polygone étoilé, sont aussi en meme nombre que les sommets ou les côtés du polygone primitif ABCDE.

Cette démonstration convient visiblement à tous les cas , comme la précédente.

Problème : Tracer par extension, un polygone étoilé régulier.

Construisez un polygone régulier ordinaire qui ait autant de côtés