C — C' : C' : : AC — AB : AB

ce qui montre que BC ou AC — AB , différence des rayons donnés , est rayon d’une circonférence égale à C — C', différence des courbes données, comme AB est rayon de C'.

Probl. (c) ; Trouver le rapport de detuc circonférences données.

Soient AB, CD les rayons (P. IX, F. Sy). Vous porterez le

, DiûiîlZk”'

c ’u Wgl

POLTGOXBS.

plus petit CD , sur le plus grand , autant de fois qu’il sçra possible ,

2 fois, par exemple, et vous écrirez ce nombre. Le reste BB devra être porté ensuite sur CD, et s’il y est reçu 3 fois, par

i6 exemple , vous écrirez ce nombre 3 au-dessous du nombre 2

2 7 déjà trouvé. Le rayon CD fournit-il un reste DF, vous le

3 2 portez sur le premier reste BE. Supposons qu’il y soit

2 I reçu 2 fois tout juste.

Après avoir écrit le troisième quotient 2 sous les précédens , mettez l’unité vis-:i-vis, à drbite, et le troisième quotient lui-même, vis-à-vis du second ; multipliez le nombre 2 par le quotient 3 qui se trouve spr la même ligne ; ajoutez au produit 6 , le nombre t placé au-dessous du multiplicande,^! mettez la somme 7 vis-à-vis du premier quotient. Multipliez 7 par 2 ; ajoutez au produit i4» le nombre 2 placé au-dessous de 7 , puis écrivez la somme 16 au-dessus de la précédente.

Formant alors une fraction dont le numérateur soit l’avant-dernière somme 7, et le dénominateur , la dernière 1 6 , vous trouverez ■— pour le rapport ^ des rayons, et vous en conclurez que celui des circonférences données est aussi , ou que la petite est les de la grande (247). ‘

Le procédé qui vient d’être employé pour obtenir le rapport de deux droites données , n’a pas besoin de démonstration , car il est absolument le même que celui dont on se sert en Arithmétique, pour trouver l’expression la plus simple d’une fraction ou d'un rapport numérique.^ '

249. Les deux premiers des trois problèmes précédens établissent ces principes :

Une circonférence égale à la somme de deux autres, a pour rayon, la somme de lews rayons.

Une circonférence égale à la différence de deux autres, a pour rayon, la différence de leurs rayons.

230. Il est aisé de pressentir que le rapport des superficies de deux polygones semblables, dépend de celui des côtés corres-, pondans , comme le rapport des contours ; seulement on ne peut dire à l’avance , s’il en dépend ou non de la même manière.

Nous démontrerons d’abord que le rapport des superficies de deux triangles semblables, égale celui des quarrés de deux côtés correspondans.

Soient les triangles semblables ABC, abc (P. IX, F. 38). Si nous prenons BC , bc pour l>ases , les hauteurs seront les perpen- ' diculaircs AD , ad, et nous pourrons écrire la proportion

ABC : aèc : ; BC X AD : ftc X ad (200).

Mais, les triangles rectangles ADC, ade sont semblables (169) et donnent

ad : ad : : ac : ac : : BC ; bc.

VOhYGOVtS.

Multipliant les deux proportions, nous obtiendrons

ABCXAD.-aicXfldr.'BCXBCXAD; 6cX6cX«rf (73),

ou

ABCXAD:BCXBCXAD;;a6cXad;6cX6cXad (7s),

ou ABC î BCXBC CI aftc I fcc Xic (77).

ou enfin ABC * abe 1 ! BC Z bc C900).

Comme on peut prendre pour base d’un triangle , un côté quelconque, le principe énoncé est vrai. La démonstration permet même de l’étendre , car établissant la proportionnalité des côtés qt des hauteurs ou de droites AD, ad qui font des angles égaux D, d, elle montre que le rapport des superjicics de deux trianf^les ‘semblables , égale celui des quarrés de deux lignes correspondantes.

231. Les polygones semblables suivent, la même loi que les triangles semblables; ainsi, le rapport des super/icies de deux polygones semblables quelconques , égale celui des quarrés de deux lignes correspondantes, ces lignes étant exprimées en nombres, au moyen d’une commnne mesure.

La démonstration de ce principe est fondée sur ce que des polygones semblables sont composés d’un même nombre de triangles semblables, pareillement placés (a36); car d’après cela (P. IX, F. 29), les triangles ABC , abc des polygones semblables ABCDE, abede, sont semblables, et

' ABC ; «fcc : : BC’ : fc^’. ,

Pour la meme raison, ' '

ACD : «cd : ; CD’ : 7d\ etc.

Mais les quarrés de nombres proportionnels, le sont aus'si (y3); puis donc que les côtés correspondans de deux polygones semblables forment proportion,

BC r fcc r I CD I cd ,

et par conséquent,

ABC : abc : ; ACD : acd : ; ade ; ade.

Cette suite de rapports égaux donne (i tfi)

ABC-{-ACD-}-ÂDE ; afce-f«c(/-|-a</e : : ADE : ade ; ; AE ’,ae’.‘. AD ; ad • Donc enfin,

ABCDE î abede C 1 AE ae AD C ad .

252. Deux cercles ont pour rapport de leurs superficies, celui des quarrés de leurs diamètres ou celui des quarrés de leurs rayons;

POLYGONES

•JlTI

car deux cercles sont deux polygones semblables (t»4o) , les diamètres sont les diagonales correspondantes , et leurs quarrés sont proportionnels à ceux des rayons.

Appl. (a) : Les principes que nous Tenons de découvrir, servent à éviter des mesurages longs et pénibles ; car supposons qde la superlicic du polygone abede, plan ou copie du polygone ABCDE , soit mesurée (P. IX, F. ug); on pourra connaitre la grande superCcic sans ^arpenter: il suffira d’en mesurer un côté, CD par exemple, puis d’établir la proportion cef C CB T I afterfe î ABCDE , et d’appliquer la règle de trois (p. 88) j elle fera connaitre le quatrième terme , si cd et CD sont exprimés en nombres , au moyeu de la même mesure, et si abede a été mesuré comme on veut que le soit ABCDE.

Appl. (6) : Les mêmes principes servent eneore à déterminer le rapport de la superficie d’une copie plaqf à celle du modèle , sans qu’on ait besoin de les mesurer. Si par exemple, on a réduit au tiers les lignes d’un objet, un côté quelconque delà copie est le tiers du côte correspondant du modèle, ou bien quand le premier est représenté par I , le second égale 3 , et par conséquent, la superficie de la copie est contenue dans celle du modèle, comme le quarré de i est contenu dans celui de 3 ou comme i I gj c’est-à-dire que la première est la neuvième partie de la seconde. Ainsi , lorsqu’on réduit les lignes d’un dessin à la moitié, au tiers, au quart, etc., on réduit la superficie ' au quart, au neuvième, au seizième, etc. , et réciproquement.

253. Voici une conséquence fort importante du principe aSi : Vn polygone quelconque ayant pour coté ou pour diagonale , l'hypothénusc d'un triangle rectangle, vaut la somme de deux autres polygones qui lui sont semblables et qui sont construits sur les cotés de l'angle droit , considérés comme lignes correspondantes de l’hypothénusc.

En ('IFct , les trois polygones étant semblables , sont entre eux comme les quarrés des trois ' côtés du triangle rectangle ABC (P. IX , F. 3g). Mais , si du sommet de l’angle droit A , on abaisse la perpendiculaire AD, les trois triangles BAC, BDA, ADC sont semblables (iGg) et se contiennent, par conséquent, comme les quarés de leurs côtés correspondans , comme les quarrés des trois côtés de .4BC , car ces côtés sont les hypothénuses des trois triangles rectangles. Donc, les trois polygones semblables sont entre eux comme les trois triangles. Or, l’un ABC de ces triangles , est la somme des deux autres ; conséquemment , le polygone qui a BC pour côte ou pour diagonale, est la somme des deux pohgones semblables qui ont pour côtés correspondans ou pour diagonales correspondantes de BC , les côtés AB et AC de l’angle droit.

De là ces principes si utiles : Le carré BCEF fait sur l'hypothé— nuse d’un triangle rectangle , vaut la somme des carrés ACGH , ABIK construits sur les deux autres côtés.

poi.TGo:»E5. aj5

Le qiutrré numérique de Phrpothénuse égale la somme des quarrés numériques des deux autres côtés du triangle rectangle.

Pkobl. (fl); Construire un polygone semblable à deux autres, qui soit équivalent à leur somme.

Tirez une droite AC (P. IX , F. 5g) égale à l’un des côtés du plus grand des deux polygones ; par l’une des extrémités , élevez une perpendiculaire AB égale au côté correspondant du plus petit; /

joignez B et C ; la droite BC sera le côté correspondant du polygone /

semblable équivalent à la somme de ceux qui sont donnés (a53). '

Si les polygones sont réguliers , vous achèverez le tracé , en suivant le procédé général du probl. b (p. 26G), ou un des procédés particuliers décrits pages ai4 et suivantes. Si les polygones ne sont' pas réguliers, il faudra recourir au probl. a (p. 266).

PnOBL. (6): Construire un polygone semblable à deux autres, qui soit équivalent à leur différence.

Tracez deux droites d’équerre AB, AC (P. IX, F. 3g); j>ortez sur l’une , de A en C , un des côtés du plus petit des deux polygones donnés ; du point C et d’un rayon égal au côté correspondant du plus grand, décrivez un arc qui coupe l’autre droite en B. AB sera le côté correspondant du polygone semblable équivalent à la dilTérence des deux autres ; car le polygone fait sur BC , serait la somme des polygones semblables faits sur AC et sur AB (nSS). ^

Voyez pour le reste du tracé , ce qui a été dit à la fin du problème précédent. ^ '

Pkobl. (c)> Construire un polygone semblable à plus de dcu.r autres, qui soit équivalent à leur somme.

Exécutez le tracé du probl. (a), avec les côtés correspondans des ' deux premiers polygones semblables donnés ; vous trouverez le côté ' correspondant du polygone semblable équivalent à leur somme.

Faites le même tracé , avec ce côté et le côté correspondant du troisième des polygones donnés ; vous obtiendrez le côté correspondant du polygone semblable équivalent à la somme des trois premiers polygones donnés. Agissez encore de même en employant ce nouveau côté et le côté correspondant du quatrième des polygones donnés , et continuez ainsi jusqu’à ce que vous ayez employé un côté de chacun de ces polygones ; le dernier côté que vous obtiendrez du tracé , sera celui du polygone demandé, et vous construirez cette figure comme il a été dit dans le probl. (n).

Supposons , pour exemple , qu’il s’agisse de faire un carré équivalent à la somme des quatre carrés A , B, C , D (P. IX , F. 4o).

An sommet E du carré A , j’élève une perpendiculaire sur le côté Er ; je prends cette perpendiculaire égale au côté du carré B ; je joins F et G, pour avoir le côté du carré équivalent à la somme de A et de B. Au point G, j’élève sur FG une perpendiculaire GH égale au côté de C. FH est alors le côté d’un carré équivalent à la

pOLrco:«&$.

lyi

somme de C et du carré qu’on ferait sur FG , ou équivalent à la somme de A , B, C. Slais , si au point H, jelève sur FH un« perpendiculaire III égale au côté de D , FI sera le côté d’un carré équivalent à la somme de D et du carré qui serait fait sur FH , ou équivalent à la somme de A, B, C, D. Le carré FIKL construit sur Fl , vaut donc la somme dos quatre carrés donnés.

PnoBL. (rf): Construire un carré dont le rapport à un carré' donné ABCD soit 5, par exemple (P. IX, F. 4t).

Portez cinq parties égales arbitraires, sur une droite EF, et décrirez une demi -circonférence qui ait la somme de ces cinq parties pour diamètre. Au point G qui partage EF en deux parties EG, GF dont le rapport est , , élevez une perpendiculaire GH ; menez HE , HF; portez sur IIF, de H en I , le côté du carré donné qui doit être plus grand que l’autre j lirez IK parallèle à EF ; IIK sera le côté du carré demandé , car le carré IlkLM vaudra les | de ABCD.

En elfet , IHK est un triangle rectangle , puisque l'angle H est un angle inscrit qui comprend le diamètre EF (toi); de plus, HG est perpendiculaire sur IK qui est parallèle à EF ; par conséquent (176)

iTR’=KIXRN, Hl’ = KIXlN.

Mais, d’après le n° a5i,

IIKLM : ABCD ÏÎK.’: Ïïi’;

donc, IIKLM ; ABCD Kl X KN : Kl X EV.

Divisant les deux termes du second rapport* par Kl, ce qui ns le change pas, on obtient ,

HKL3I : ABCD : : KX ; IN ou ;;EG:FG(8a) ou :;a:3.

Il est visible que cette constniction serait applicable au cas où il s’agirait de polygones semblables autres que des carrés. Seulement, après avoir trouvé IIK côté du polygone demandé, correspondant à III côté du polygone donné , il faudrait tracer la figure , comme il a été dit dans le probl. (o).

Si le rapport au lieu d’étre f , était 7, J, etc. , on porterait sur EF, 9, 7, etc. parties égales: le nombre des parties de EF doit toujours être égal à la somme des deux termes du rapport assigné, pour que la perpendiculaire GH puisse diviser EF en' deux parties qui soient entre elles dans le même rapport. Enfin, c’est sur celle des deux droites IlE , HF qui se trouve du côté de la perpendiculaire où EF a le plus de parties , que doit être pris le^côté du plus grand des deux polygones semblables.

Applications : Il est impossible d’étudier et de pratiquer la Géométrie, sans faire de continuelles applications des propriétés qpii viennent d’être reconnues an triangle rectangle ; ces propriétés sont en quelque sorte pour les superficies, ce qu’est pour le tracé des

PACKS CIRCOl.AIRKS. t-5

lignes, la proportionnalité des concourantes et des parallèles qui se coupent.

« Ce n’est pas toutefois que le triangle rectangle ne puisse fournir aussi des tracés de lignes: on s’en sert avec avantage, par exemple, pour élever ou abaisser des perpendiculaires, dans les opérations qui s’exécutent sur le terrain. Il faut à cet effet , disposer un cordeau ABC (P. IX, F. 4u) de telle manière que les deux brins AB , BC , noués en B, soient unis encoiy par un troisième brin DF; que la partie BD soit les f de la partie DE, et que BE en soit les -j ; car si les trois brins sont alors tendus de façon que cliacun forme une ligne droite, AB se trouve perpendiculaire sur BC. »

« Pour démontrer qu’il en est ainsi, nous supjtoserons que DE ait été pris de 5 mètres. BD contiendra 3 mètres et BE, 4 mètres. Le quarré de DE sera donc u5, celui de BD , g , et celui de BE, i6; de sorte que le premier se trouvera égal à la somme des deux autres. Par conséquent, DE sera une bjpoüiénuse et ABC, un angle droit (a55). »

« Il visible que pour tracer une perpendiculaire à une droite FG, par un point marqué H, en employant le cordeau à une seule oblique DE, il faut placer le brin BC sur la droite donnée et faire passer le brin AB par le point H. Best visible aussi que cet appareil est plus simple et moins embarrassant , que le cordeau à deux obliques décrit page 6a, appl. (6). »

Face» circulaire».

n ne nous reste plus, pour terminer ce qui concerne les faces planes limitées , qu’à nous occuper de celles dont les limites sont courbes en toutou en partie. Mais , comme la Géométrie élémentaire ne considère pas d’autres courbes que la ligne circulaire , les faces dont il s’agit , se réduisent au cercle et à celles que bornent des arcs de circonférence. Or , les propriétés de la première ont été étudiées en même temps que les polygones réguliers.

2S4. Les faces planes entièrement limitées par plusieurs arcs de cercle qui se coupent ou qui se touchent , n’ont point de propriétés particulières ; elles jouissent de celles de leurs parties : un polygone et des portions de cercle. Si par exemple, dans la figure ABCD formée par quatre arcs de rayons égaux ou inégaux (P. X, F. i) , on mène les cordes AB, BC, CD, DA de ces arcs, on obtiendra quatre portions de cercles et le quadrilatère ABCD.

Appl. (n): On construisait autrefois, je ne sais par quel motif, des fenêtres dont les arêtes étaient trois arcs de cercle , formant par leurs cordes un triangle équilatéral ABC (P. X, F. a). Il s'en trouve encore de cette forme dans l’églisie S*-Eucaire , à Metz.

Appl. (6): Aujourd’hui, on n’exécute plus guère que les faces circulaires limitées par des ovales à plusieurs eentres (p. 1 76 et snir.),

a ^6 FACES ct&ctrtAiBES.

et celle qui est renfermée entre deux arcs de même rayon et .de 6o° chacun : c’est celle dernière que présente chacune des branche» d’une rosace.

« Problème : Tracer une rosace. ?

« Décrivez une circonférence C (P. X , F. 3) ; prenez un point A quelconque sur celle courbe, et avec le même raj'on, décrivez l’arc BCD J du point B , toujours avec le o^me rayon , décrivez l’arc ACF ; du point E, décrivez l’arc BCF ; de F, décrivez l’arc ECG; de G, décrivez l’arc FCD ; enfin de D, décrivez l’arc ACG. Vous obtiendrez six branches formées chacune par deux arcs de 6o", puisque la corde commune AC, par exemple, est égale au rayon (a 19). Les arcs AB, BE, etc. qui séparent les extrémités des branches, sont aussi de 60", pour la même raison. »

« Les six branches d’une rosace sont toutes égales entre elles; car la corde AC peut être appliquée sur BC , de manière que leurs extrémités se confondent , et les arcs de la branche A se superposent alors sur ceux de la branche B, puisqu’ils ont le même rayon. On démontrerait très -facilement aussi l’égalité des faces AHCIB, BKCLE , etc. comprises entre les branches de la rosace et les arcs de la circonférence circonscrite. »

255. Les faces planes lerminée.s par des droites et des arcs de cercle, n’ont pas non plus de propriétés particulières; elles peuvent toujours, comme les précédentes, se décomposer en portions de cercle et un polygone.

Appl. («): La plus simple et la plus employée des faces limitées par des arcs et des droites, est celle qui est renfermée entre un demi-cercle et .son diamètre ; tels sont les panneaux dormans en bois ou en verre qu’on place dans la partie ronde d’une arcade ; tel est, quand on .ajoute un rectangle, le plan ordinaire des amphithéâtres où le public se rassemble pour écouler un orateur. Les auditeurs se placent sur des gradins en demi-cercle et concentriques ; celui qui parte se tient au centre , et de celle façon tous ceux qui sont sur le même banc, entendent et voient également bien.

« Les théâtres des grecs et des romains avaient intérieuremeut la même forme, parce que, selon les anciens et selon le bon sens, la première convenance à observer dans ces sortes d’édifices , c’est que tous les spectateurs soient placés de façon à bien voir et a bien entendre. »

< Les mêmes peuples possédaient, pour les courses de chevaux , des hippodromes qui présentaient un long rectangle terminé par deux demi-cercles. Les chars devaient passer entre chaque circonférence et une borne placée au centre. •»

Appt, (è): Les croisées gothiques offrent des figures composées ' d’un rectangle ABCD (P. X , F. 4) et d’une partie limitée par deux arcs de même ravon , dont les centres sont en A et en D. Le contour AED est ce qu’on appelle un cintre en tiers-point.