COMBINAISONS DD BDAN BT DE LA LIONE DROITE

Appl. (c) : Dans l’archileclure des maures , les arcades avaient souvent la forme que présente la figure 5 de la planche X. Le contour se composait d’une horizontale BD , de deux verticales AB, CD tangentes à deux petits arcs tri-s-courbes , et de deux autres droites EF, EG tangentes aux mêmes arcs et formant un angle obtus. Les panneaux qui fermaient des portes ou dos fenêtres de cette forme , étaient donc des faces limitées par cinq droites et deux arcs de cercle.

Appl. (rf) : Enfin , pour fermer une arcade en arc rampant (p. 178), en anse de panier (p. 175), il faudrait employer une face terininée par trois droites et deux, trois ou un plus grand nombre d’arcs (p. 177 et 2 45).

« Nous ne pousserons pas plus loin ces applications : les formes qu’on peut donner aux produits de l’industrie, en combinant la ligne droite et le cercle, sont tellement variées, qu’il serait impossible de citer seulement celles qui ont été exécutées. Si j’ai parlé des combinaisons imaginées par les goths et les maures , c’est qu’on peut avoir à les reproduire, soit dans la peinture des décorations de théâtre, soit dans ces petits édifices antiques dont on décore les jardins d’agrément. »

Combinaisons du jdan et de la ligne droite.

Maintenant que l’étude des faces planes limitées est terminée , nous devons reprendre celle des faces planes illimitées , cl combiner le plan avec la ligne droite (*).

236. Un plan coupe une droite ou bien il ne la rencontre jamais. La droite que coupe un plan, peut lui cire perpendiculaire ou oblique.

Plaçons le sommet de l’angle droit d’une équerre sur un plan , de façon que l’un des petits côtés s’y applique et que l’autre ne s’y applique pas. Si autour de ce dernier considéré comme fixe, l’équeri’q peut pivoter, sans que le premier abandonne le plan et sans que le sommet de l’angle droit quitte sa position , le petit côté qui fait pivot est perpendiculaire à ce plan.

Ainsi , la perpendiculaire à un plan forme des angles droits , avec toutes les droites qui peuvent y être menées par le point où elle le perce. Ce point est dit la trace de la perpendiculaire. Donc enfin , une droite est perpendiculaire à un plan, quand elle l’est à toutes les droites qu’on peut y mener par sa trace.

Réciproquement, un plan est perpendiculaire à une droite, lorsqu’il renferme toutes les perpendiculaires qui peuvent être menées à cette

(*) Pour comprendre facilement ce qui va cire dit sur les plans combinés avec les droites et entre rnx , il convient de les représenter par dis planchettes no des carions, et de figurer par des fiches implantées, les droites qui les rencontrent ,

iyS COMBINAISONS DU PLAN CT D( LA LIONS DBOITE.

droite, par la trace. Mais, il suffit que le plan contienne deux de ces perpendiculaires, pour qu’il les contienne toutes, puisque ■ deux concourantes déterminent la position d’un plan ( i55); par conséquent , un plan est perpendiculaire à une droite , s’il renferme deux perpendiculaires au même point de cette droite. ' j

Comme alors la droite est aussi perpendiculaire au plan, il suffit qu’une droite soit perpendiculaire à deux autres menées sur un plan, par sa trace , pour qu’elle soit perpendiculaire à ce plan.

^ Problème : Planter une tige perpendiculairement sur un plan et de manière quelle passe par un poiat donné.

Il faut pour cela une équerre à trois branches (P. X, F. 6), dans laquelle l’aréte AB soit perpendiculaire aux arêtes BC , BD.

On applique les deux dernières sur le plan , de façon que la première passe par le point donné, et l’on place la tige le long de celle-ci.

A défaut d’une équerre à trois branches , on peut employer deux équerres ordinaires , qu’on dispose de manière que l’un des petits côtés de l’une se confonde avec l’un des petits cotés de l’autre.

La figure 7 représente déformé, cet appareil: ABC et ABD sont les deux équerres; leur côté commun est AB; AC et AD sont les bypothéiiuscs ou les grands côtés.

237. On ne peut mener par un point donné , qu’une seule perpendiculaire à un plan. 1

Que le point soit donné sur le plan ou en dehors, l’équerre à trois branches (P. X, F. G) pourra toujours être placée de manière que AB passe par ce point , BC et BD étant sur le plan , et alors AB satisfera aux conditions. Si une autre droite pouvait y satisfaire aussi , il y aurait une certaine position de l’équerre où le plan ABC, par exemple, contiendrait cette autre droite qui serait, par , conséquent , perpendiculaire sur BC , comme AB (u56j. Ainsi , dans le même plan ABC, on aurait deux droites passant par le même ^ point et perpendiculaires à la même droite, ce qui a été démontré impossible (.55). , • ,

Appl. (il): Il suit du n" ajG que si une équerre tourne autour de l’un de ses petits côtés, l’autre engendre un plan perpendiculaire au premier. Or, le battant d’une porte est terminé à sa partie inférieure, par une arête perpendiculaire à la droite des gonds. Si donc cette droite est perpendiculaire au plancher, l’arête inférieure du battant s’appuiera sur ce plancher dans toutes ses 'positions, le battant jouera facilement et la porte pourra être exactement fermée.

<t On voit par là que tout battant de porte doit satisfaire aux conditions suivantes: être parfaitement rectangulaire, du moins . dans sa partie inférieure , et avoir ses gonds ou scs fiches placées selon une perpendiculaire au plancher. Alors, il n’y aura pas de jour par le bas, quand la porte sera fermée. Il est vrai qu’on '

pourrait obtenir le même résultat en inclinant la ligne des gonds

COMBINAiSOKS DU PLAN ET DE LA LIGNE DROITE. lyg

vers le montant opposé ; mais dans ce cas , il faudrait que l’aréte inférieure du ballant #it avec cette ligne, un angle aigu; le battant serait un parallélogramme ou un trapèze; il n’y aurait plus aucune sorte de régularité , ni cette apparence de solidité qui plait aux yeux, et il faudrait un grand effort pour ouvrir. »

Appl. (è): Lorsqu’un point A (P. X, F. 8) est attaché à une droite BC qui pivote sur ses deux extrémités, la distance du point à la droite, est la même dans toutes les positions. Or , celte distance, c’est la perpendiculaire AD abaissée de A sur BC (47); par conséquent , la longueur de cette perpendiculaire ne change pas pendant le mouvement, et comme celle du lien AE ne peut pas changer non plus, il s’ensuit que le triangle rectangle ADE conserve toujours la même grandeur (1G7), que la longueur de DE est invariable, et que les perpendiculaires abaissées sur BC , de toutes les positions de A, aboutissent au même point D. Le point A décrit donc une circonférence qui a pour rayon AD , pour centre D et dont le plan est perpendiculaire à la droite pivotante (?5G). Cela nous montre que si un plan attaché à une droite perpendiculairement, tourne autour de celle droite, chaque point du plan décrit une circonférence qui s’y trouve contenue toute entière.

< Ainsi, un cercle perpendiculaire à un axe de rotation (7) qui passe par son centre, peut tourner ou pivoter sur cet axe, en décrivant sans cesse sa propre circonférence. Voilà pourquoi deux roues dentées qui sont montées sur des arbrex, engrènent toujours de la même manière pendant leur rotation. Voilà pourquoi, dans certaines manufactures, on lime ou l’on fraise au moyen d’un plateau circulaire, tailld en lime, qui tourne sur un axe au bout duquel il est (Ixé. Voilà pourquoi enün, les scies rondes peuvent débiter les bois. L’emploi de cette sorte de scies est fort avantageux, car elles coupent constamment et avec une grande rapidité : il en est qui ont la à i8 pouces de diamètre, font 700 tours par minute et n’emploient que 4® secondes pour former un Irait de 9 pieds de long, sur 4 pouces et demi de large; les faces qu’elles produisent sont parfaitement planes, très-unies et très- lisses. »

Appl. (c) : Une face plane peut être exécutée au tour, aussi bien qu’à la scie et au rabot : il suffit de maintenir l’outil tranchant, dans une direction perpendiculaire à l’axe de rotation qui est la ligne des pointes, et de le faire avancer par degrés vers cet a.xe, sans changer sa direction ; car il trace alors des circonférences concentriques, toutes situées dans un même plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux pointes du tour, et par conséquent, la face unie qui renferme ces circonférences, est plane. C’est ce procédé qu’on emploie communément dans les grandes manufactures de machines , pour former des plateaux et pour dresser les extrémités de certaines pièces d’assemblage.

11S8. Quand une droite qui perce un plan, ne satisfait pas aux conditions du n‘‘a56, elle est oblique sur ce plan. Ainsi, AC

aSo COMBlifAISONS DC PLA» ET DE LA LIGNE DEOITE.

qui est oblique sur BC X , F. 7), le serait aussi par rapport au plan sur lequel BC et BD se trouveraient ap^iquëes , parce que AC ne serait pas perpendiculaire à toutes les droites qui pourraient être menées par sa trace C, dans le plan.

L’angle ACB que fait l’oblique AC avec la droite CB qui joint ■sa trace à celle de la perpendiculaire , est l’-inclinaison de cette oblique sur le plan ; de sorte que si cet angle est de 4o°, on dit que ' l’oblique est inclinée de 4<>° sur le plan.

Mais , comme il serait assez incommode , dans la pratique , de déterminer au moyen d’un angle , la position d’une droite AC oblique ou inclinée sur un plan , on emploie de préférence à l’inclinaison , ce qu’on appelle la pen/e, c’est-à-dire la longueur de la perpendiculaire EF élevée sur BC , en un point E placé à l’unité de distance de C, jusqu’à la rencontre de AC.

Si , par exemple , EF = 2“, quand CEcr: i”“, on dit que la pente de l’inclinée AC est de 2 mètres pour un mètre , ou plus simplement que cette pente est de a mètres ; car le mot pente suffit pour faire entendre que le pied E de la perpendiculaire EF, est à i mètre du pied C de AC. Si EF se trouvait de 4 centimètres , CE étant toujours de i mètre, nous dirions que AC a une pente de o"‘,o4.

Lorsque BC et BD sont égales , les deux triangles rectangles ABC, ABD sont égaux ( 1 65) , et par suite les hypothénuses AC , AD sont égales. Il en serait de même pour celles de toutes les équerres qui pourraient être placées autour de AB , ainsi que le sont les deux de la figure. Donc, pour un plan, comme pour une droite, les obliques également éloignées de la perpendiculaire , sont égales; celles qui sont inégalement éloignées sont inégales; la plus éloignée est la plus longue, et les obliques égales sont également inclinées tant sur le plan que sur la perpendiculaire.

Il s’ensuit que si l’on fait tourner autour d’un point A pris hors d’un plan (P. X, F. 9), une droite AC dont l’extrémité C reste constamment snr le plan, cette extrémité décrira une circonférence dont le centre sera la trace B de la perpendiculaire abaissée de A sur le même plan. »

La figure présente inégales, les obliques AC, AC', AC", AC'", etc. ; cela tient à ce que la perpendiculaire AB et les obliques , au lieu d’être couchées sur le papier où la circonférence se trouve tracée, devraient s’élever au-dessus. On ne peut représenter autrement les choses qui ne se trouvent pas dans un même plan, à moins de recourir à la méthode des projections (p. 79). Mais, puisqu’il ne s’agit pas de corps, il est plus facile pour les commençans, de relever en ima^nation, les lignes droites de la figure, au - dessus du cercle. Ils concevront alors que les obliques AC , AC', etc. peuvent être égales.

Au reste, un moyen sûr de bien voir et de bien comprendre les figures qui offrent, comme celle-ci, une sorte de perspective, c’est de les construire en relief. Plantez perpendiculairement sur un jarlon , une tige droite en fil de for; attachez à son extrémité

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COMBmiSONS DÜ PlAW ET DE LA LICSB DÏOITK. a8l

supérieure A, des fils égaux; fixez au carton, les autres bouts C,

C',' etc. de ces fils , et vous pourrez tracer une circonférence qui ait son centre en B et passe par tous les points C , C', etc. ; ou bien décrivez un cercle sur un carton, et plantez au centre une tige perpendiculaire ; tous les fils qui joindront l’extrémité de cette tige ou tout autre de ses points à ceux de la circonférence , seront de même longueur.

Probùmb: baisser d’un point donné hors d’un plan, une

perpendiculaire à ce plan, sans équerre à trois branches.

Avec le compas à curseur (6), ou avec un cordeau, marquez sur le plan , trois points qui soient à la même distance du point donné; cherchez le centre de la circonférence où se trouvent ces trois points (p. 1 1 1); la droite ou la tige qui unira ce centre et le point indiqué , sera la perpendiculaire demandée , et sa longueur 'donnera la plus courte ou la vraie distance du point au plan.

259. Le plan qui partage une de ses perpendiculaires en deux parties égales, est le lieu de tout point situé à égales distances des ' extrémités de cette droite.

Pour démontrer ce principe et les suivans, nous représenterons par un parallélogramme, tout plan différent de celui du papier, et nous le désignerons par deux lettres seulement, afin de bien indiquer qu’il ne s'agit pas d’une face limitée.

Soient donc le plan MN (P . X , F. i o) et la perpendiculaire AB , coupée en deux parties égales an point C où elle perce le plan. Il est clair d’abord que tout point D pris sur le plan, est également distant de A et de B ; car , si nous menons DG , cette droite sera perpendiculaire à AB (a56), et puisque AC = BG, les obliques DA, DB seront égales (48).

De plus, tout antre point E pris en dehors du plan, sera inégalement éloigné de A et de B. Joignons E à A et à B. La droite EB, par exemple , percera le plan en un certain point F , pour lequel on aura BF=FA , ce qui rendra la ligne brisée AFE égale à la ligne droits BE. Or, AE sera nécessairement plus courte que AFE. Donc,

A£ sera plus courte aussi que BE; par conséquent, tout point situé à égales distances de A et de B, est nécessairement sur le plan MN.