SECTIONS ELLIPTIQUES

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le triangle dont nous avons parlé plus haut (AA^R). Si de A comme centre avec ic comme rayon nous décrivons un arc de cercle, nous obtenons le point R à la rencontre avec le cercle décrit sur AA^ comme diamètre. L'angle AAjR est Tangle des génératrices avec le plan horizontal.

Il est évident que les génératrices peuvent faire le même

Fi g. 192.

angle avec le plan horizontal en sens inverse ; il y a donc deux solutions, comme pour placer une ellipse sur un cylindre donné.

Cône de révolution, — Section elliptique. — Supposons d'abord qu'il n'y ait pas de points de la section à l'infini, c'est-à-dire que le plan parallèle au plan sécant mené par le sommet ne coupe pas le <îône. .

Prenons pour plan de projection le plan passant par Taxe du cône et perpendiculaire au plan sécant, dont la trace est alors une droite P, telle que la parallèle, menée par S, soit en dehors du contour apparent du cône (fig. igS).

^ Prenons la sphère o^ inscrite dans le cône ^t tangente au plan ; son contour apparent est le cercle inscrit dans le triangle ASA^^ ; son contact avec P est le point Fj. Le cercle o exinscrit au triangle ASA^ est le contour apparent de la deuxième sphère inscrite dans le cône et tangente au plan P ; le contact est F.

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

Théorème. — La section est une ellipse admettant pour foyers les points F et F^ et pour directrice correspondante à F, par exemple^ V intersection de P et du plan CK de la courbe de contact du cône avec la sphère O,

Foyers, — Soit m la projection d'un point de la section. Menons la génératrice qui passe par ce point ;

soient cp et cp^ les projections des points où elle touche les sphères inscrites.

On a M<& = MF comme tangentes issues d'un même point à une sphère.

Or, M<ï>, vraie grandeur de m'3, est égale à KR^ (distance constante des deux cercles RR^ et CK comptée sur une génératrice). De même, la vraie grandeur de m^^ est C^Ri, et Ton a, d'autre part, M^j = MF.

Donc MF + MF, = M0 + M<ï>, = KR, + R,K,=KK, qui est constant quand M varie sur la section. Cette section est donc une ellipse ayant F et F, pour foyers.

Directrices, — Nous allons montrer que la directrice relative à F est la perpendiculaire au plan de projection menée par l'intersection des plans P et

MF KC, c'est-à-dire que -^^== G^'.

Fig. 193.