FF,==KK, — A,K, — KT,==AJ,= AT

Placer une ellipse donnée sur un cône de révolution donnée. — Dans le triangle AA^T on connaît AA, = 2a et AT = ac, qui sont donnés avec Tellipse ;

on connaît Tangle en T, qui est égal à 1 , 0 étant

l'angle au sommet du cône donné (fig. 194) •

Sur une parallèle à SG, prenons AT = 2c. Menons TjAj perpendiculaire à Taxe du cône, et du point A comme centre avec 2a comme rayon, traçons un arc de cercle qui donne le point A, ; au milieu de r,A,, élevons une perpendiculaire qui rencontre T^A en S. Il n'y a plus qu'à reporter la ligure ainsi construite

•yS'2 SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

sur le contour apparent du cône donné, en prenant

des longueurs égales à SA, SA,.

Le plan P, qui a pour trace AA, sur le plan de la figure, coupera le cône suivant une ellipse égale à Tellipse donnée.

Il V a évidemment deux solutions symétriques par rapport à Taxe du cône. Le problème est toujours possible, puisque 2.a étant > ac, on pourra toujours construire le triangle.

Lieu des sommets des cônes de révolution contenant une ellipse donnée,^ — Prenons comme plan de projection un plan perpendiculaire au plan P de Tellipse donnée (fig. ipS).

On sait que le sommet du cône se trouve dans ce plan.

Soit S le sommet de Tun de ces cônes.

Menons A,T perpendiculaire à Taxe. AT, qui est la distance focale 2C de Tellipse, est une constante.

On a : SA — SA, = AT = constante.

Le lieu du point S est donc une hyperbole, admettant pour foyers les points A et Aj, puisque AT = FF,, FF, est la longueur de Taxe de Fhyperbole ; F et F, sont les sommets de cette hyperbole. Elle est appelée la focale de Tellipse.

Fig. 195.

COMQUES FOCALES a33

Remarque. — Si Ton veut faire passer un cylindre par Tellipse donnée, il faut prendre les points à l'infini de l'hyperbole que nous venons de trouver ; les directions asymptotiques de cette hyperbole donnent deux directions possibles pour les génératrices du cylindre ; ce sont ces deux directions que nous a données la solution directe ; elles sont également inclinée^ sur le plan de Tellipse et se projettent sur ce plan suivant le grand axe.

Section hyperbolique du cône de révolution, — La section présente des points à Tinfini si le plan parallèle au plan sécant mené par le sommet coupe le cône ; dans ce cas, il le coupe suivant deux génératrices qui sont des directions asymptotiques. En prenant toujours le même plan de projection, la trace P du plan sécant rencontre les deux nappes du cône (fig. 196).

Traçons les deux sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan P. Soient CK et C^K^ les cercles de contact avec le cône, F et F^ les points de contact avec le plan sécant.

Soit m la projection d'un point M de la section.

Menons l'a génératrice SM, projetée en Sm; cp et ^^^ sont les points de CK et C^K^ où la génératrice touche les sphères o et o^.

On a MF = M<t> comme tangentes issues de M à la sphère o.

Or, M^, vraie grandeur de /w^, est égale à KR, distance constante des deux cercles RR^etCK comptée sur une génératrice et obtenue par rabattement autour de SO.

De même MF, = RC,..

"^ 'Winyçp 7

SECTIONS PLANES DES CONES ET CYLINDRES

Par suite, MF, — MF = RK, — KR = KK„ qui est une longueur constante.

La section est donc une hyperbole admettant pour foyers F et F,.

Directrices. — La directrice correspondant au

J\ Cy

Fijf. 196.

foyer F, par exemple, est Tintersection du plan sécantr avec le plan CK.

Soit d le point suivant lequel se projette cette droite.

MF Nous allons montrer que .r-pp- = C*^ ^ MD

MD, distance du point M à la verticale projetée en c/,

se projette en vraie grandeur suivant md\ MF = KR

d'après ce que nous avons vu ; il faut donc prouver

que

HYPERBOLE PLACÉE SUR UN CONE aiS

Les triangles semblables CAd et mAR^ donnent :

mA AR^ mk + M AR, + CA Kd ~ CA ' Kd ~ GA