QUESTIONS D'EXAMEN

1. Passer d'une position AB d'une droite à une position AjB^ au moyen d'une rotation autour d'un axe convenablement choisi.

(Prendre pour axe l'intersection des plans menés perpendiculairement à A^Aj et BB^ par les milieux de ces segments).

2. Une droite s'appuie sur deux droites données non dans un même plan, en restant parallèle à un plan donné ; trouver le lieu des points qui divisent la droite dans un rapport donné.

(Mener une droite parallèle au plan donné s'appuyant sur les deux droites ; mener un plan parallèle aux deux droites par le point de la droite précédente, qui la divine dans le rapport donné ; ce plan contient le lieu demandé ; projeter la figure sur ce plan ; on trouve comme lieu une droite). Deux solutions.

3. Trouver et construire le lieu du milieu d'une droite de longueur constante, qui s'appuie sur deux droites orthogonales non situées dans un même plan.

4. Trouver le chemin minimum pour aller d'un point M à un point Q en passant par un point d'un plan donné (Prendre le symétrique M' de M par rapport au plan ; joindre M'Q ; prendre l'intersection de M'Q avec le plan donné)*

5. Etant donnés un plan et un segment de droite en dehors de ce plan, trouver le lieu des points du plan d'où l'on voit le segment sous un angle droit.

6. Trouver sur une droite un point tel que la somme des distances de ce point à deux plans donnés P et Q soit une longueur donné d (Le lieu des points de l'espace, dont la somme des distances aux deux plans est égale à d^ se compose de plans dont on prend les intersections avec la droite).

Trouver le minimum de d (Condition de possibilité du problème).

7. Construire un trièdre connaissant une face et la droite lieu des points équidistants des trois faces.

8. Construire un trièdre connaissant une face, un dièdre adjacent et la droite suivant laquelle se coupent les plans menés par les arêtes perpendiculairement aux faces opposées.

9. Construire un trièdre connaissant une face, un dièdre adjacent et l'axe d'un cône de révolution contenant les trois arêtes.

Même problème connaissant une deuxième face au lieu du dièdre adjacent.

10. Construire un trièdre connaissant une face et une sphère inscrite dans le trièdre.

11. Construire un trièdre connaissant une face^ une sphère tangente aux trois arêtes et un dièdre adjacent à la face.

Même problème connaissant le dièdre opposé à la face 11U lieu d'un dièdre adjacent.

12. Construire un trièdre connaissant une face, une sphère tangente aux trois arêtes, sachant que la troisième arête cherchée fait avec un plan donné un angle donné.

i3. Projeter un cube suivant un hexagone régulier.

14. Construire un parallélipipède sur trois droites non situées deux à deux dans un même plan.

i5. Mener par une droite un plan coupant un trièdre suivant un triangle rectangle.

16. Plus courte distance de deux points sur la sur* face d'un trièdre donné.

17. Plus courte distance de deux points sur la surface d'un cylindre ou d'un cône de révolution.

18. Construire les projections d'un parallélipipède connaissant les arêtes et leurs angles. (On se donnera le plan d'une face et une arête dans ce plan.)

EXEHCWKS . 29^9

19. Construire un cube connaissant son arête et sachant que trois arêtes issues d'un mênae sommet passent par trois points donnés.

Faire Fépure en prenant les trois points dans un plan horizontal.

20. Etant donnés un plan et la projection horizontale d'un point, trouver sa cote, sachant qu'il est à une distance donnée du plan.

Généralisation, — Trouver sur une droite un point à une distance donnée d'un plan donné.

21. Mener dans un plan donné, par un point de ce plan, une droite faisant avec un plan donné ou avec une droite donnée un angle donné.

22. Mener par un point un plan perpendiculaire à deux plans donnés.

23. Étant donnés deux points et une droite, déterminer sur la droite un point à égale distance des deux points donnés.

Généralisation. — Trouver sur la droite un point dont le rapport des distances aux deux points soit donné.

ù.\. Etant donnés deux droites et un point, mener par le point une droite rencontrant Tune des droites données et faisant avec les deux droites des angles égaux.

25. Déterminer deux plans connaissant deux horizontales de même cote, la projection de leur intersection et l'angle des deux plans.

3oo GÉOMÉTRIE COTÉE

26. Projection d'un cube connaissant les projections de Tune de ses arêtes et la projection horizontale d'une autre arête.

27. Mener par quatre points des plans parallèles équidistants.

28. Construire un trièdre trirectangle connaissant le sommet et les projections horizontales des trQis arêtes.

29. Amener par rotation autour d'axes passant par son sommet un tétraèdre dans une position d'équilibre.

30. Construire un tétraèdre connaissant sa base et le point d'intersection des plans bissecteurs des dièdres.

3i. Construire un tétraèdre connaissant trois arêtes concourantes et le centre de la sphère circonscrite.

32. Etant donné un cône de révolution dont l'axe est vertical et une génératrice de ce cône, déterminer une seconde génératrice faisant avec la première un angle donné. Cela donne la solution du problème suivant :

Etant donné un cône de révolution dont l'axe est vertical et une droite, mener par cette droite un plan qui coupe le cône suivant une hyperbole dont les asymptotes fassent entre elles un angle donné.

33. Déterminer un tétraèdre ABCD connaissant les sommets A et B, la plus courte distance des arêtes opposées AB et CD, les longueurs des arêtes AC et BC, et la direction de l'arête CD.

EXERCICES 3oi

34. Etant donné un cône de révolution, dont Taxe est horizontal, lui mener un plan tangent de pente donnée.

35. Faire passer par une droite un plan dont la trace horizontale fasse avec la droite un angle donné.

36. Etant donnés une sphère et deux plans la coupant suivant deux petits cercles, déterminer le plan d'un grand cercle tangent aux deux petits cercles.

37. Construire un cône de révolution de sommet donné tangent à une sphère en un point donné, et d'angle au sommet donné.

38. Construire un cylindre de révolution tangent à une droite donnée en un point donné et de rayon donné, connaissant la direction des génératrices.

39* Mener par un point une droite qui rencontre un cercle et une droite non située dans le plan du cercle.

40. Mener par un point une ( à deux cônes, droite tangente : \ à deux cylindres.

Même problème, le point étant à l'infini dans une direction donnée, c'est-à-dire mener une droite parallèle à une direction donnée tangente à deux cônes ou à deux cylindres.

41. Mener une droite tangente à un cône passant par un point donné et rencontrant une droite donnée.

42. On donne deux droites qui se coupent : mener par l'une d'elles un plan qui fasse un angle donné avec l'autre.

3oa GÉOMÉTRIE COTÉE

43. Trouver un point lumineux tel que Tombre portée par une sphère donnée sur un plan horizontal soit une parabole de foyer donné.

44. Construire un cône de révolution d'angle au sommet donné et tangent à deux sphères, le sommet donné étant dans un plan tangent aux deux sphères (Prendre ce plan tangent pour plan horizontal).

45. Mener par une droite un plan coupant une sphère donnée suivant un cercle de rayon donné.

46. Déterminer une sphère de rayon donné tangente à un cône de révolution donné et dont le centre soit sur une droite.

(Faire l'épure, Taxe du cône étant donné vertical).

47. Construire un cylindre de "révolution, connaissant son axe et sachant qu'il est tangent à une sphère donnée ou à un cône de révolution donné, ou à un cylindre de révolution donné.

48. Etant donnés deux points et un cercle par sou plan, son centre et son rayon, déterminer sur le cercle les points dont le rapport des distances aux deux points donnés soit connu.

49. Construire un cylindre de révolution de rayon donné, tangent à deux sphères et dont les génératrices soient connues en direction.

50. Construire un cylindre de révolution passant par un point et tangent à deux plans, Tun vertical, l'autre horizontal.

EXERCICES 3o3

3i. Mener par un point une droite passant à dès distances données d'un point et d'une droite.

(Faire l'épure en supposant la droite horizontale).

52. Déterminer une sphère de rayon donné tangente à une droite en un point et passant par un point donné.

53. Déterminer une sphère passant par deux points et tangente à une droite en un point donné.

54. Déterminer une sphère tangente à quatre arêtes d'un tétraèdre, dont trois issues du même sommet.

55. Etant donné un tétraèdre ABGD, construire une sphère tangente aux quatre arêtes AB, BG, AC, CD.

56. Déterminer une sphère passant par trois points et tangente à une sphère.

(Faire passer une sphère par les trois points ; déterminer l'intersection du plan des trois points avec le plan radical, et mener par cette droite des plans tangents à la sphère).

Faire l'épure en prenant les trois points dans le plan horizontal. Résoudre le même problème par inversion.

57. Déterminer une sphère passant par deux points et tangente à deux sphères.

58. Déterminer une sphère tangente à quatre sphères (On ramène le problème à un autre qu'on traite par inversion. Mener par un point une sphère tangente à trois sphères).